Theorem gzsumsplit0 14148

Description: Splitting off the rightmost summand of a group sum (even if it is the only summand). Similar to gzsumsplit1r 13715 except that 𝑁 can equal 𝑀 − 1. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Apr-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
gzsumsplit0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
gzsumsplit0.p	⊢ + = (+g‘𝐺)
gzsumsplit0.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
gzsumsplit0.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
gzsumsplit0.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
gzsumsplit0.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)

Assertion

Ref	Expression
gzsumsplit0	⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

Proof of Theorem gzsumsplit0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 = (𝑀 − 1))
2	1	oveq1d 6100	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = ((𝑀 − 1) + 1))
3		gzsumsplit0.m	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
4	3	zcnd 9769	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℂ)
5		1cnd 8342	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
6	4, 5	npcand 8641	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
7	6	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝑀 − 1) + 1) = 𝑀)
8	2, 7	eqtrd 2271	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) = 𝑀)
9	8	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) = (𝐹‘𝑀))
10	3	zred 9768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
11	10	ltm1d 9262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) < 𝑀)
12	11	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) < 𝑀)
13	1, 12	eqbrtrd 4152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 < 𝑀)
14		peano2zm 9682	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
15	3, 14	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
16	15	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀 − 1) ∈ ℤ)
17	1, 16	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑁 ∈ ℤ)
18		fzn 10446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
19	3, 17, 18	syl2an2r 603	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 < 𝑀 ↔ (𝑀...𝑁) = ∅))
20	13, 19	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑁) = ∅)
21	20	reseq2d 5063	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = (𝐹 ↾ ∅))
22		res0 5067	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ↾ ∅) = ∅
23	21, 22	eqtrdi 2287	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁)) = ∅)
24	23	oveq2d 6101	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (𝐺 Σgz ∅))
25		gzsumsplit0.g	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
26	25	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐺 ∈ Mnd)
27		eqid 2238	. . . . . . . 8 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
28	27	gzsum0 13713	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
29	26, 28	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz ∅) = (0g‘𝐺))
30	24, 29	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) = (0g‘𝐺))
31	30	oveq1d 6100	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
32		gzsumsplit0.f	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
33	32	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
34	3	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ∈ ℤ)
35	8, 34	eqeltrd 2315	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
36	8	eqcomd 2244	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 = (𝑁 + 1))
37		eqle 8417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 = (𝑁 + 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
38	10, 36, 37	syl2an2r 603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝑀 ≤ (𝑁 + 1))
39		eluz2 9927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 + 1)))
40	34, 35, 38, 39	syl3anbrc 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
41		eluzfz2 10436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
42	40, 41	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑁 + 1) ∈ (𝑀...(𝑁 + 1)))
43	33, 42	ffvelcdmd 5844	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵)
44		gzsumsplit0.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
45		gzsumsplit0.p	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝐺)
46	44, 45, 27	mndlid 13748	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝐹‘(𝑁 + 1)) ∈ 𝐵) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
47	25, 43, 46	syl2an2r 603	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((0g‘𝐺) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
48	31, 47	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))) = (𝐹‘(𝑁 + 1)))
49	8	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = (𝑀...𝑀))
50		fzsn 10472	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
51	3, 50	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
52	51	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...𝑀) = {𝑀})
53	49, 52	eqtrd 2271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝑀...(𝑁 + 1)) = {𝑀})
54	53	feq2d 5521	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵 ↔ 𝐹:{𝑀}⟶𝐵))
55	33, 54	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹:{𝑀}⟶𝐵)
56		fsn2g 5883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
57	3, 56	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
58	57	adantr 276	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹:{𝑀}⟶𝐵 ↔ ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})))
59	55, 58	mpbid 147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → ((𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩}))
60	59	simprd 114	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩})
61	59	simpld 112	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵)
62		fmptsn 5904	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐹‘𝑀) ∈ 𝐵) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
63	3, 61, 62	syl2an2r 603	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → {⟨𝑀, (𝐹‘𝑀)⟩} = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
64	60, 63	eqtrd 2271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → 𝐹 = (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀)))
65	64	oveq2d 6101	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))))
66		eqidd 2239	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) ∧ 𝑥 = 𝑀) → (𝐹‘𝑀) = (𝐹‘𝑀))
67		nfv 1581	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1))
68		nfcv 2392	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥(𝐹‘𝑀)
69	44, 26, 34, 61, 66, 67, 68	gzsumsnfd 14147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz (𝑥 ∈ {𝑀} ↦ (𝐹‘𝑀))) = (𝐹‘𝑀))
70	65, 69	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz 𝐹) = (𝐹‘𝑀))
71	9, 48, 70	3eqtr4rd 2282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = (𝑀 − 1)) → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
72	25	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐺 ∈ Mnd)
73	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑀 ∈ ℤ)
74		simpr 110	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
75	32	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → 𝐹:(𝑀...(𝑁 + 1))⟶𝐵)
76	44, 45, 72, 73, 74, 75	gzsumsplit1r 13715	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)) → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))
77		gzsumsplit0.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)))
78		uzp1 9956	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 − 1)) → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
79	77, 78	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))))
80	6	fveq2d 5699	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) = (ℤ≥‘𝑀))
81	80	eleq2d 2308	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1)) ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
82	81	orbi2d 802	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘((𝑀 − 1) + 1))) ↔ (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))))
83	79, 82	mpbid 147	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = (𝑀 − 1) ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
84	71, 76, 83	mpjaodan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 Σgz 𝐹) = ((𝐺 Σgz (𝐹 ↾ (𝑀...𝑁))) + (𝐹‘(𝑁 + 1))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∨ wo 720   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∅c0 3520  {csn 3709  ⟨cop 3712   class class class wbr 4130   ↦ cmpt 4192   ↾ cres 4776  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℝcr 8178  1c1 8180   + caddc 8182   < clt 8360   ≤ cle 8361   − cmin 8497  ℤcz 9644  ℤ_≥cuz 9921  ...cfz 10411  Basecbs 13352  +_gcplusg 13431  0_gc0g 13610   Σ_gz cgzsu 13611  Mndcmnd 13729

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-addass 8281  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-1o 6687  df-er 6807  df-en 7023  df-fin 7025  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9305  df-2 9363  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-fz 10412  df-seqfrec 10885  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-plusg 13444  df-0g 13612  df-gzsum 13613  df-mgm 13676  df-sgrp 13717  df-mnd 13730  df-minusg 13809  df-mulg 13923

This theorem is used by:  gsump1  14157