Theorem pfxsuff1eqwrdeq 11391

Description: Two (nonempty) words are equal if and only if they have the same prefix and the same single symbol suffix. (Contributed by Alexander van der Vekens, 23-Sep-2018.) (Revised by AV, 6-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
pfxsuff1eqwrdeq	⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Proof of Theorem pfxsuff1eqwrdeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wrdfin 11243	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → 𝑊 ∈ Fin)
2		fihashneq0 11157	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
3	1, 2	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
4	3	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → 𝑊 ≠ ∅)
5		lennncl 11244	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
6	4, 5	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
7	6	3adant2 1043	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (♯‘𝑊) ∈ ℕ)
8		fzo0end 10568	. . . 4 ⊢ ((♯‘𝑊) ∈ ℕ → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
9	7, 8	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
10		pfxsuffeqwrdeq 11390	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ ((♯‘𝑊) − 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
11	9, 10	syld3an3 1319	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)))))
12	3	biimpd 144	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) → 𝑊 ≠ ∅))
13	12	imdistani 445	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
14	13	3adant2 1043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
15	14	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅))
16		swrdlsw 11361	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
17	15, 16	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩)
18		breq2 4113	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (♯‘𝑈)))
19	18	3anbi3d 1355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ↔ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈))))
20		wrdfin 11243	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → 𝑈 ∈ Fin)
21		fihashneq0 11157	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Fin → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
22	20, 21	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) ↔ 𝑈 ≠ ∅))
23	22	biimpd 144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑈) → 𝑈 ≠ ∅))
24	23	imdistani 445	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
25	24	3adant1 1042	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅))
26		swrdlsw 11361	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
27	25, 26	syl 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
28	19, 27	biimtrdi 163	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
29	28	impcom 125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
30		oveq1 6057	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((♯‘𝑈) − 1))
31		id 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈))
32	30, 31	opeq12d 3891	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩ = ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩)
33	32	oveq2d 6066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩))
34	33	eqeq1d 2241	. . . . . . . 8 ⊢ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
35	34	adantl 277	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑈) − 1), (♯‘𝑈)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
36	29, 35	mpbird 167	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩)
37	17, 36	eqeq12d 2247	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ ⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩))
38		lswex 11276	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑊) ∈ V)
39	38	3ad2ant1 1045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑊) ∈ V)
40		lswex 11276	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ Word 𝑉 → (lastS‘𝑈) ∈ V)
41	40	3ad2ant2 1046	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
42	41	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (lastS‘𝑈) ∈ V)
43		s111 11319	. . . . . 6 ⊢ (((lastS‘𝑊) ∈ V ∧ (lastS‘𝑈) ∈ V) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
44	39, 42, 43	syl2an2r 599	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (⟨“(lastS‘𝑊)”⟩ = ⟨“(lastS‘𝑈)”⟩ ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
45	37, 44	bitrd 188	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → ((𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) ↔ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))
46	45	anbi2d 464	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) ∧ (♯‘𝑊) = (♯‘𝑈)) → (((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩)) ↔ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈))))
47	46	pm5.32da 452	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (𝑊 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩) = (𝑈 substr ⟨((♯‘𝑊) − 1), (♯‘𝑊)⟩))) ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))
48	11, 47	bitrd 188	1 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑈 ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → (𝑊 = 𝑈 ↔ ((♯‘𝑊) = (♯‘𝑈) ∧ ((𝑊 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) = (𝑈 prefix ((♯‘𝑊) − 1)) ∧ (lastS‘𝑊) = (lastS‘𝑈)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398   ∈ wcel 2203   ≠ wne 2412  Vcvv 2813  ∅c0 3508  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109  ‘cfv 5352  (class class class)co 6050  Fincfn 6975  0cc0 8127  1c1 8128   < clt 8308   − cmin 8444  ℕcn 9237  ..^cfzo 10476  ♯chash 11138  Word cword 11224  lastSclsw 11269  ⟨“cs1 11303   substr csubstr 11337   prefix cpfx 11364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710  ax-cnex 8218  ax-resscn 8219  ax-1cn 8220  ax-1re 8221  ax-icn 8222  ax-addcl 8223  ax-addrcl 8224  ax-mulcl 8225  ax-mulrcl 8226  ax-addcom 8227  ax-mulcom 8228  ax-addass 8229  ax-mulass 8230  ax-distr 8231  ax-i2m1 8232  ax-0lt1 8233  ax-1rid 8234  ax-0id 8235  ax-rnegex 8236  ax-precex 8237  ax-cnre 8238  ax-pre-ltirr 8239  ax-pre-ltwlin 8240  ax-pre-lttrn 8241  ax-pre-apti 8242  ax-pre-ltadd 8243  ax-pre-mulgt0 8244

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-nel 2508  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-if 3621  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-id 4414  df-iord 4487  df-on 4489  df-ilim 4490  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-riota 6003  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-frec 6622  df-1o 6647  df-er 6767  df-en 6976  df-dom 6977  df-fin 6978  df-pnf 8310  df-mnf 8311  df-xr 8312  df-ltxr 8313  df-le 8314  df-sub 8446  df-neg 8447  df-reap 8849  df-ap 8856  df-inn 9238  df-n0 9497  df-z 9578  df-uz 9854  df-fz 10343  df-fzo 10477  df-ihash 11139  df-word 11225  df-lsw 11270  df-s1 11304  df-substr 11338  df-pfx 11365

This theorem is referenced by: (None)