Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  modqcyc2 GIF version

Theorem modqcyc2 10145
 Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)
Assertion
Ref Expression
modqcyc2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqcyc2
StepHypRef Expression
1 simplr 519 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
21zcnd 9186 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3 qcn 9438 . . . . . . . 8 (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
43ad2antrl 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
52, 4mulneg1d 8185 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
6 mulcom 7761 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
76negeqd 7969 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
84, 2, 7syl2anc 408 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
95, 8eqtr4d 2175 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
109oveq2d 5790 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) = (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)))
11 qcn 9438 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
1211ad2antrr 479 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
134, 2mulcld 7798 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ)
1412, 13negsubd 8091 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
1510, 14eqtr2d 2173 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
1615oveq1d 5789 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵))
17 znegcl 9097 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
18 modqcyc 10144 . . 3 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
1917, 18sylanl2 400 . 2 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
2016, 19eqtrd 2172 1 (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1331   ∈ wcel 1480   class class class wbr 3929  (class class class)co 5774  ℂcc 7630  0cc0 7632   + caddc 7635   · cmul 7637   < clt 7812   − cmin 7945  -cneg 7946  ℤcz 9066  ℚcq 9423   mod cmo 10107 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-cnex 7723  ax-resscn 7724  ax-1cn 7725  ax-1re 7726  ax-icn 7727  ax-addcl 7728  ax-addrcl 7729  ax-mulcl 7730  ax-mulrcl 7731  ax-addcom 7732  ax-mulcom 7733  ax-addass 7734  ax-mulass 7735  ax-distr 7736  ax-i2m1 7737  ax-0lt1 7738  ax-1rid 7739  ax-0id 7740  ax-rnegex 7741  ax-precex 7742  ax-cnre 7743  ax-pre-ltirr 7744  ax-pre-ltwlin 7745  ax-pre-lttrn 7746  ax-pre-apti 7747  ax-pre-ltadd 7748  ax-pre-mulgt0 7749  ax-pre-mulext 7750  ax-arch 7751 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-fv 5131  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-pnf 7814  df-mnf 7815  df-xr 7816  df-ltxr 7817  df-le 7818  df-sub 7947  df-neg 7948  df-reap 8349  df-ap 8356  df-div 8445  df-inn 8733  df-n0 8990  df-z 9067  df-q 9424  df-rp 9454  df-fl 10055  df-mod 10108 This theorem is referenced by:  modqadd1  10146  modqmul1  10162  q2submod  10170  modqsubdir  10178
 Copyright terms: Public domain W3C validator