Theorem modqcyc2 10503

Description: The modulo operation is periodic. (Contributed by Jim Kingdon, 21-Oct-2021.)

Assertion

Ref	Expression
modqcyc2	⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Proof of Theorem modqcyc2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 528	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℤ)
2	1	zcnd 9495	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		qcn 9754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℚ → 𝐵 ∈ ℂ)
4	3	ad2antrl 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐵 ∈ ℂ)
5	2, 4	mulneg1d 8482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝑁 · 𝐵))
6		mulcom 8053	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (𝐵 · 𝑁) = (𝑁 · 𝐵))
7	6	negeqd 8266	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
8	4, 2, 7	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → -(𝐵 · 𝑁) = -(𝑁 · 𝐵))
9	5, 8	eqtr4d 2240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (-𝑁 · 𝐵) = -(𝐵 · 𝑁))
10	9	oveq2d 5959	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) = (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)))
11		qcn 9754	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ → 𝐴 ∈ ℂ)
12	11	ad2antrr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → 𝐴 ∈ ℂ)
13	4, 2	mulcld 8092	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐵 · 𝑁) ∈ ℂ)
14	12, 13	negsubd 8388	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 + -(𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)))
15	10, 14	eqtr2d 2238	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) = (𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)))
16	15	oveq1d 5958	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵))
17		znegcl 9402	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → -𝑁 ∈ ℤ)
18		modqcyc 10502	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ -𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
19	17, 18	sylanl2 403	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 + (-𝑁 · 𝐵)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))
20	16, 19	eqtrd 2237	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℚ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐵 ∈ ℚ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 − (𝐵 · 𝑁)) mod 𝐵) = (𝐴 mod 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   class class class wbr 4043  (class class class)co 5943  ℂcc 7922  0cc0 7924   + caddc 7927   · cmul 7929   < clt 8106   − cmin 8242  -cneg 8243  ℤcz 9371  ℚcq 9739   mod cmo 10465

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4479  ax-setind 4584  ax-cnex 8015  ax-resscn 8016  ax-1cn 8017  ax-1re 8018  ax-icn 8019  ax-addcl 8020  ax-addrcl 8021  ax-mulcl 8022  ax-mulrcl 8023  ax-addcom 8024  ax-mulcom 8025  ax-addass 8026  ax-mulass 8027  ax-distr 8028  ax-i2m1 8029  ax-0lt1 8030  ax-1rid 8031  ax-0id 8032  ax-rnegex 8033  ax-precex 8034  ax-cnre 8035  ax-pre-ltirr 8036  ax-pre-ltwlin 8037  ax-pre-lttrn 8038  ax-pre-apti 8039  ax-pre-ltadd 8040  ax-pre-mulgt0 8041  ax-pre-mulext 8042  ax-arch 8043

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4339  df-po 4342  df-iso 4343  df-xp 4680  df-rel 4681  df-cnv 4682  df-co 4683  df-dm 4684  df-rn 4685  df-res 4686  df-ima 4687  df-iota 5231  df-fun 5272  df-fn 5273  df-f 5274  df-fv 5278  df-riota 5898  df-ov 5946  df-oprab 5947  df-mpo 5948  df-1st 6225  df-2nd 6226  df-pnf 8108  df-mnf 8109  df-xr 8110  df-ltxr 8111  df-le 8112  df-sub 8244  df-neg 8245  df-reap 8647  df-ap 8654  df-div 8745  df-inn 9036  df-n0 9295  df-z 9372  df-q 9740  df-rp 9775  df-fl 10411  df-mod 10466

This theorem is referenced by:  modqadd1  10504  modqmul1  10520  q2submod  10528  modqsubdir  10536