MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndodcongi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndodcongi 18228
Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. For monoids, the reverse implication is false for elements with infinite order. For example, the powers of 2 mod 10 are 1,2,4,8,6,2,4,8,6,... so that the identity 1 never repeats, which is infinite order by our definition, yet other numbers like 6 appear many times in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndodcongi ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcongi
StepHypRef Expression
1 odcl.1 . . . . . 6 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 odcl.2 . . . . . 6 𝑂 = (od‘𝐺)
3 odid.3 . . . . . 6 · = (.g𝐺)
4 odid.4 . . . . . 6 0 = (0g𝐺)
51, 2, 3, 4mndodcong 18227 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
65biimpd 220 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
763expia 1150 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
873impa 1136 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
9 nn0z 11647 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℤ)
10 nn0z 11647 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
11 zsubcl 11666 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
129, 10, 11syl2an 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
13123ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀𝑁) ∈ ℤ)
14 0dvds 15289 . . . . 5 ((𝑀𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀𝑁) = 0))
1513, 14syl 17 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀𝑁) ↔ (𝑀𝑁) = 0))
16 nn0cn 11549 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℂ)
17 nn0cn 11549 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
18 subeq0 10561 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
1916, 17, 18syl2an 589 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
20193ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
21 oveq1 6849 . . . . 5 (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
2220, 21syl6bi 244 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀𝑁) = 0 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
2315, 22sylbid 231 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
24 breq1 4812 . . . 4 ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) ↔ 0 ∥ (𝑀𝑁)))
2524imbi1d 332 . . 3 ((𝑂𝐴) = 0 → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)) ↔ (0 ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
2623, 25syl5ibrcom 238 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
271, 2odcl 18221 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
28273ad2ant2 1164 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
29 elnn0 11540 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
3028, 29sylib 209 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
318, 26, 30mpjaod 886 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑀𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155   class class class wbr 4809  cfv 6068  (class class class)co 6842  cc 10187  0cc0 10189  cmin 10520  cn 11274  0cn0 11538  cz 11624  cdvds 15267  Basecbs 16132  0gc0g 16368  Mndcmnd 17562  .gcmg 17809  odcod 18210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-inf2 8753  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-rp 12029  df-fz 12534  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-dvds 15268  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-mulg 17810  df-od 18214
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator