Theorem mndodcongi 19612

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. For monoids, the reverse implication is false for elements with infinite order. For example, the powers of 2 mod 10 are 1,2,4,8,6,2,4,8,6,... so that the identity 1 never repeats, which is infinite order by our definition, yet other numbers like 6 appear many times in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcongi	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcongi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	mndodcong 19611	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
6	5	biimpd 232	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
7	6	3expia 1137	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
8	7	3impa 1125	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
9		nn0z 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		nn0z 12614	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		zsubcl 12635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
14		0dvds 16333	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
15	13, 14	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
16		nn0cn 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
17		nn0cn 12513	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
18		subeq0 11483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
19	16, 17, 18	syl2an 607	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
20	19	3ad2ant3 1151	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
21		oveq1 7418	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
22	20, 21	biimtrdi 256	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
23	15, 22	sylbid 243	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
24		breq1 5116	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝑀 − 𝑁)))
25	24	imbi1d 344	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)) ↔ (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
26	23, 25	syl5ibrcom 250	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
27	1, 2	odcl 19605	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
28	27	3ad2ant2 1150	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
29		elnn0 12505	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
30	28, 29	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
31	8, 26, 30	mpjaod 873	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11097  0cc0 11099   − cmin 11440  ℕcn 12232  ℕ₀cn0 12503  ℤcz 12590   ∥ cdvds 16309  Basecbs 17268  0_gc0g 17491  Mndcmnd 18791  ._gcmg 19132  odcod 19593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176  ax-pre-sup 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9401  df-inf 9402  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11871  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fl 13824  df-mod 13902  df-seq 14037  df-dvds 16310  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-mulg 19133  df-od 19597

This theorem is referenced by: (None)