Theorem mndodcongi 19453

Description: If two multipliers are congruent relative to the base point's order, the corresponding multiples are the same. For monoids, the reverse implication is false for elements with infinite order. For example, the powers of 2 mod 10 are 1,2,4,8,6,2,4,8,6,... so that the identity 1 never repeats, which is infinite order by our definition, yet other numbers like 6 appear many times in the sequence. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndodcongi	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Proof of Theorem mndodcongi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		odcl.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		odcl.2	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
3		odid.3	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4		odid.4	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
5	1, 2, 3, 4	mndodcong 19452	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
6	5	biimpd 228	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
7	6	3expia 1120	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
8	7	3impa 1109	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
9		nn0z 12588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
10		nn0z 12588	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
11		zsubcl 12609	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
12	9, 10, 11	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
13	12	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ)
14		0dvds 16225	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 − 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
15	13, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ (𝑀 − 𝑁) = 0))
16		nn0cn 12487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
17		nn0cn 12487	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
18		subeq0 11491	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
19	16, 17, 18	syl2an 595	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
20	19	3ad2ant3 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 ↔ 𝑀 = 𝑁))
21		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑀 = 𝑁 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
22	20, 21	syl6bi 252	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑀 − 𝑁) = 0 → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
23	15, 22	sylbid 239	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))
24		breq1 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝑀 − 𝑁)))
25	24	imbi1d 340	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)) ↔ (0 ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
26	23, 25	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))))
27	1, 2	odcl 19446	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
28	27	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
29		elnn0 12479	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
30	28, 29	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
31	8, 26, 30	mpjaod 857	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑀 − 𝑁) → (𝑀 · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  ℂcc 11111  0cc0 11113   − cmin 11449  ℕcn 12217  ℕ₀cn0 12477  ℤcz 12563   ∥ cdvds 16202  Basecbs 17149  0_gc0g 17390  Mndcmnd 18660  ._gcmg 18987  odcod 19434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190  ax-pre-sup 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-sup 9440  df-inf 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-dvds 16203  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mulg 18988  df-od 19438

This theorem is referenced by: (None)