Theorem pcdvdstr 17034

Description: The prime count increases under the divisibility relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcdvdstr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Proof of Theorem pcdvdstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12685	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 13062	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		pcxcl 17019	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mpan2 704	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
6	5	xrleidd 13262	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
7	6	ad2antrr 739	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
8		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 0))
10		simplr3 1236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	8, 10	eqbrtrrd 5129	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∥ 𝐵)
12		simplr2 1235	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		0dvds 16426	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
14	12, 13	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 = 0)
16	15	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐵) = (𝑃 pCnt 0))
17	7, 9, 16	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
18		prmnn 16829	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
19	18	ad2antrr 739	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
20		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		simplr1 1234	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
23		pczcl 17006	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
24	20, 21, 22, 23	syl12anc 850	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
25	19, 24	nnexpcld 14369	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12700	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
27		simplr2 1235	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		pczdvds 17021	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
29	20, 21, 22, 28	syl12anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
30		simplr3 1236	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
31	26, 21, 27, 29, 30	dvdstrd 16445	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵)
32		pcdvdsb 17027	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
33	20, 27, 24, 32	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
34	31, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
35	17, 34	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7412  0cc0 11181  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  ℚcq 13056  ↑cexp 14184   ∥ cdvds 16402  ℙcprime 16826   pCnt cpc 16994

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-q 13057  df-rp 13102  df-fl 13912  df-mod 13990  df-seq 14125  df-exp 14185  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-dvds 16403  df-gcd 16645  df-prm 16827  df-pc 16995

This theorem is used by:  pcgcd1  17035  pc2dvds  17037  dvdsppwf1o  27495