Theorem pcdvdstr 16838

Description: The prime count increases under the divisibility relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pcdvdstr	⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Proof of Theorem pcdvdstr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0z 12526	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℤ
2		zq 12895	. . . . . . 7 ⊢ (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℚ
4		pcxcl 16823	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
5	3, 4	mpan2 692	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
6	5	xrleidd 13094	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
7	6	ad2antrr 727	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
8		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
9	8	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 0))
10		simplr3 1219	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
11	8, 10	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∥ 𝐵)
12		simplr2 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
13		0dvds 16236	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
15	11, 14	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 = 0)
16	15	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐵) = (𝑃 pCnt 0))
17	7, 9, 16	3brtr4d 5118	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
18		prmnn 16634	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
19	18	ad2antrr 727	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
20		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
21		simplr1 1217	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
23		pczcl 16810	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
24	20, 21, 22, 23	syl12anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
25	19, 24	nnexpcld 14198	. . . . 5 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
26	25	nnzd 12541	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
27		simplr2 1218	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
28		pczdvds 16825	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
29	20, 21, 22, 28	syl12anc 837	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
30		simplr3 1219	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∥ 𝐵)
31	26, 21, 27, 29, 30	dvdstrd 16255	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵)
32		pcdvdsb 16831	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
33	20, 27, 24, 32	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
34	31, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
35	17, 34	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∥ 𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  (class class class)co 7360  0cc0 11029  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℚcq 12889  ↑cexp 14014   ∥ cdvds 16212  ℙcprime 16631   pCnt cpc 16798

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-pc 16799

This theorem is referenced by:  pcgcd1  16839  pc2dvds  16841  dvdsppwf1o  27163