MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcdvdstr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pcdvdstr 16915
Description: The prime count increases under the divisibility relation. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcdvdstr ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))

Proof of Theorem pcdvdstr
StepHypRef Expression
1 0z 12626 . . . . . . 7 0 ∈ ℤ
2 zq 12997 . . . . . . 7 (0 ∈ ℤ → 0 ∈ ℚ)
31, 2ax-mp 5 . . . . . 6 0 ∈ ℚ
4 pcxcl 16900 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 0 ∈ ℚ) → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
53, 4mpan2 691 . . . . 5 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ∈ ℝ*)
65xrleidd 13195 . . . 4 (𝑃 ∈ ℙ → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
76ad2antrr 726 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 0) ≤ (𝑃 pCnt 0))
8 simpr 484 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴 = 0)
98oveq2d 7448 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) = (𝑃 pCnt 0))
10 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐴𝐵)
118, 10eqbrtrrd 5166 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 0 ∥ 𝐵)
12 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
13 0dvds 16315 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1511, 14mpbid 232 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → 𝐵 = 0)
1615oveq2d 7448 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐵) = (𝑃 pCnt 0))
177, 9, 163brtr4d 5174 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 = 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
18 prmnn 16712 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
1918ad2antrr 726 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℕ)
20 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝑃 ∈ ℙ)
21 simplr1 1215 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℤ)
22 simpr 484 . . . . . . 7 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴 ≠ 0)
23 pczcl 16887 . . . . . . 7 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
2420, 21, 22, 23syl12anc 836 . . . . . 6 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0)
2519, 24nnexpcld 14285 . . . . 5 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℕ)
2625nnzd 12642 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∈ ℤ)
27 simplr2 1216 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐵 ∈ ℤ)
28 pczdvds 16902 . . . . 5 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ≠ 0)) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
2920, 21, 22, 28syl12anc 836 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐴)
30 simplr3 1217 . . . 4 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → 𝐴𝐵)
3126, 21, 27, 29, 30dvdstrd 16333 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵)
32 pcdvdsb 16908 . . . 4 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (𝑃 pCnt 𝐴) ∈ ℕ0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
3320, 27, 24, 32syl3anc 1372 . . 3 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → ((𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵) ↔ (𝑃↑(𝑃 pCnt 𝐴)) ∥ 𝐵))
3431, 33mpbird 257 . 2 (((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) ∧ 𝐴 ≠ 0) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
3517, 34pm2.61dane 3028 1 ((𝑃 ∈ ℙ ∧ (𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝐵)) → (𝑃 pCnt 𝐴) ≤ (𝑃 pCnt 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939   class class class wbr 5142  (class class class)co 7432  0cc0 11156  *cxr 11295  cle 11297  cn 12267  0cn0 12528  cz 12615  cq 12991  cexp 14103  cdvds 16291  cprime 16709   pCnt cpc 16875
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-sup 9483  df-inf 9484  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-prm 16710  df-pc 16876
This theorem is referenced by:  pcgcd1  16916  pc2dvds  16918  dvdsppwf1o  27230
  Copyright terms: Public domain W3C validator