MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmulgeq 18814
Description: A multiple of a point of finite order only has the same order if the multiplier is relatively prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulgeq (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))

Proof of Theorem odmulgeq
StepHypRef Expression
1 eqcom 2746 . 2 ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))
2 simpl2 1193 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
3 odmulgid.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 odmulgid.2 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
53, 4odcl 18794 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12050 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
8 simpl1 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simpl3 1194 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 odmulgid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
113, 10mulgcl 18375 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
128, 9, 2, 11syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
133, 4odcl 18794 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12050 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 nnne0 11762 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0)
1716adantl 485 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
183, 4, 10odmulg2 18812 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
1918adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
20 breq1 5043 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ 0 ∥ (𝑂𝐴)))
2119, 20syl5ibcom 248 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → 0 ∥ (𝑂𝐴)))
226nn0zd 12178 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
23 0dvds 15734 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
2521, 24sylibd 242 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → (𝑂𝐴) = 0))
2625necon3d 2956 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ≠ 0 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0))
2717, 26mpd 15 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0)
287, 15, 27diveq1ad 11515 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
299, 22gcdcld 15963 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12050 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℂ)
3115, 30mulcomd 10752 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
323, 4, 10odmulg 18813 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
3332adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
3431, 33eqtr4d 2777 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴))
357, 15, 30, 27divmuld 11528 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ↔ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴)))
3634, 35mpbird 260 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))
3736eqeq1d 2741 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3828, 37bitr3d 284 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
391, 38syl5bb 286 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935   class class class wbr 5040  cfv 6349  (class class class)co 7182  0cc0 10627  1c1 10628   · cmul 10632   / cdiv 11387  cn 11728  0cn0 11988  cz 12074  cdvds 15711   gcd cgcd 15949  Basecbs 16598  Grpcgrp 18231  .gcmg 18354  odcod 18782
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-er 8332  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-sup 8991  df-inf 8992  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-n0 11989  df-z 12075  df-uz 12337  df-rp 12485  df-fz 12994  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-dvds 15712  df-gcd 15950  df-0g 16830  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-grp 18234  df-minusg 18235  df-sbg 18236  df-mulg 18355  df-od 18786
This theorem is referenced by:  odngen  18832
  Copyright terms: Public domain W3C validator