Theorem odmulgeq 18676

Description: A multiple of a point of finite order only has the same order if the multiplier is relatively prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulgeq	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))

Proof of Theorem odmulgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2805	. 2 ⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))
2		simpl2 1189	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		odmulgid.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		odmulgid.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5	3, 4	odcl 18656	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 11945	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
8		simpl1 1188	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpl3 1190	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		odmulgid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
11	3, 10	mulgcl 18237	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
12	8, 9, 2, 11	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
13	3, 4	odcl 18656	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 11945	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16		nnne0 11659	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
17	16	adantl 485	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
18	3, 4, 10	odmulg2 18674	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
19	18	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
20		breq1 5033	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ 0 ∥ (𝑂‘𝐴)))
21	19, 20	syl5ibcom 248	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → 0 ∥ (𝑂‘𝐴)))
22	6	nn0zd 12073	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		0dvds 15622	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
25	21, 24	sylibd 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → (𝑂‘𝐴) = 0))
26	25	necon3d 3008	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ≠ 0 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0))
27	17, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0)
28	7, 15, 27	diveq1ad 11414	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
29	9, 22	gcdcld 15847	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 11945	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	15, 30	mulcomd 10651	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
32	3, 4, 10	odmulg 18675	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
33	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
34	31, 33	eqtr4d 2836	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴))
35	7, 15, 30, 27	divmuld 11427	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴)))
36	34, 35	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))
37	36	eqeq1d 2800	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
38	28, 37	bitr3d 284	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
39	1, 38	syl5bb 286	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  0cc0 10526  1c1 10527   · cmul 10531   / cdiv 11286  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969   ∥ cdvds 15599   gcd cgcd 15833  Basecbs 16475  Grpcgrp 18095  ._gcmg 18216  odcod 18644

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-od 18648

This theorem is referenced by:  odngen  18694