Proof of Theorem odmulgeq
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eqcom 2746 |
. 2
⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) |
2 | | simpl2 1193 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋) |
3 | | odmulgid.1 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺) |
4 | | odmulgid.2 |
. . . . . . 7
⊢ 𝑂 = (od‘𝐺) |
5 | 3, 4 | odcl 18794 |
. . . . . 6
⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈
ℕ0) |
6 | 2, 5 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈
ℕ0) |
7 | 6 | nn0cnd 12050 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ) |
8 | | simpl1 1192 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp) |
9 | | simpl3 1194 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ) |
10 | | odmulgid.3 |
. . . . . . . 8
⊢ · =
(.g‘𝐺) |
11 | 3, 10 | mulgcl 18375 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) |
12 | 8, 9, 2, 11 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋) |
13 | 3, 4 | odcl 18794 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈
ℕ0) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈
ℕ0) |
15 | 14 | nn0cnd 12050 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ) |
16 | | nnne0 11762 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0) |
17 | 16 | adantl 485 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0) |
18 | 3, 4, 10 | odmulg2 18812 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)) |
19 | 18 | adantr 484 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴)) |
20 | | breq1 5043 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ 0 ∥ (𝑂‘𝐴))) |
21 | 19, 20 | syl5ibcom 248 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → 0 ∥ (𝑂‘𝐴))) |
22 | 6 | nn0zd 12178 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ) |
23 | | 0dvds 15734 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0)) |
24 | 22, 23 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0)) |
25 | 21, 24 | sylibd 242 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → (𝑂‘𝐴) = 0)) |
26 | 25 | necon3d 2956 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ≠ 0 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0)) |
27 | 17, 26 | mpd 15 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0) |
28 | 7, 15, 27 | diveq1ad 11515 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
29 | 9, 22 | gcdcld 15963 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈
ℕ0) |
30 | 29 | nn0cnd 12050 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ) |
31 | 15, 30 | mulcomd 10752 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
32 | 3, 4, 10 | odmulg 18813 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
33 | 32 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))) |
34 | 31, 33 | eqtr4d 2777 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴)) |
35 | 7, 15, 30, 27 | divmuld 11528 |
. . . . 5
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴))) |
36 | 34, 35 | mpbird 260 |
. . . 4
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) |
37 | 36 | eqeq1d 2741 |
. . 3
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)) |
38 | 28, 37 | bitr3d 284 |
. 2
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)) |
39 | 1, 38 | syl5bb 286 |
1
⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1)) |