MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  odmulgeq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem odmulgeq 19164
Description: A multiple of a point of finite order only has the same order if the multiplier is relatively prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odmulgid.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3 · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
odmulgeq (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))

Proof of Theorem odmulgeq
StepHypRef Expression
1 eqcom 2745 . 2 ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))
2 simpl2 1191 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
3 odmulgid.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
4 odmulgid.2 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
53, 4odcl 19144 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
62, 5syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
76nn0cnd 12295 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℂ)
8 simpl1 1190 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10 odmulgid.3 . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
113, 10mulgcl 18721 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
128, 9, 2, 11syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
133, 4odcl 19144 . . . . . 6 ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
1514nn0cnd 12295 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16 nnne0 12007 . . . . . 6 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0)
1716adantl 482 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
183, 4, 10odmulg2 19162 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
1918adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴))
20 breq1 5077 . . . . . . . 8 ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂𝐴) ↔ 0 ∥ (𝑂𝐴)))
2119, 20syl5ibcom 244 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → 0 ∥ (𝑂𝐴)))
226nn0zd 12424 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℤ)
23 0dvds 15986 . . . . . . . 8 ((𝑂𝐴) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝑂𝐴) ↔ (𝑂𝐴) = 0))
2521, 24sylibd 238 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → (𝑂𝐴) = 0))
2625necon3d 2964 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ≠ 0 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0))
2717, 26mpd 15 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0)
287, 15, 27diveq1ad 11760 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
299, 22gcdcld 16215 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
3029nn0cnd 12295 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ∈ ℂ)
3115, 30mulcomd 10996 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
323, 4, 10odmulg 19163 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
3332adantr 481 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
3431, 33eqtr4d 2781 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴))
357, 15, 30, 27divmuld 11773 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) ↔ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂𝐴))) = (𝑂𝐴)))
3634, 35mpbird 256 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂𝐴)))
3736eqeq1d 2740 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
3828, 37bitr3d 280 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
391, 38bitrid 282 1 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂𝐴)) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5074  cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   / cdiv 11632  cn 11973  0cn0 12233  cz 12319  cdvds 15963   gcd cgcd 16201  Basecbs 16912  Grpcgrp 18577  .gcmg 18700  odcod 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mulg 18701  df-od 19136
This theorem is referenced by:  odngen  19182
  Copyright terms: Public domain W3C validator