Theorem odmulgeq 19464

Description: A multiple of a point of finite order only has the same order if the multiplier is relatively prime. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odmulgid.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odmulgid.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odmulgid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
odmulgeq	⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))

Proof of Theorem odmulgeq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqcom 2738	. 2 ⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)))
2		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
3		odmulgid.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
4		odmulgid.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
5	3, 4	odcl 19443	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
6	2, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
7	6	nn0cnd 12439	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℂ)
8		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐺 ∈ Grp)
9		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		odmulgid.3	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
11	3, 10	mulgcl 18999	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
12	8, 9, 2, 11	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋)
13	3, 4	odcl 19443	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 · 𝐴) ∈ 𝑋 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
14	12, 13	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℕ0)
15	14	nn0cnd 12439	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∈ ℂ)
16		nnne0 12154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
18	3, 4, 10	odmulg2 19462	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
19	18	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴))
20		breq1 5089	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ 0 ∥ (𝑂‘𝐴)))
21	19, 20	syl5ibcom 245	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → 0 ∥ (𝑂‘𝐴)))
22	6	nn0zd 12489	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℤ)
23		0dvds 16182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑂‘𝐴) = 0))
25	21, 24	sylibd 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = 0 → (𝑂‘𝐴) = 0))
26	25	necon3d 2949	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ≠ 0 → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0))
27	17, 26	mpd 15	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ≠ 0)
28	7, 15, 27	diveq1ad 11901	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
29	9, 22	gcdcld 16414	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
30	29	nn0cnd 12439	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ∈ ℂ)
31	15, 30	mulcomd 11128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
32	3, 4, 10	odmulg 19463	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
33	32	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) = ((𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) · (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))))
34	31, 33	eqtr4d 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴))
35	7, 15, 30, 27	divmuld 11914	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) ↔ ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) · (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴))) = (𝑂‘𝐴)))
36	34, 35	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)))
37	36	eqeq1d 2733	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑂‘𝐴) / (𝑂‘(𝑁 · 𝐴))) = 1 ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
38	28, 37	bitr3d 281	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) = (𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))
39	1, 38	bitrid 283	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘(𝑁 · 𝐴)) = (𝑂‘𝐴) ↔ (𝑁 gcd (𝑂‘𝐴)) = 1))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  1c1 11002   · cmul 11006   / cdiv 11769  ℕcn 12120  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463   ∥ cdvds 16158   gcd cgcd 16400  Basecbs 17115  Grpcgrp 18841  ._gcmg 18975  odcod 19431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-n0 12377  df-z 12464  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-od 19435

This theorem is referenced by:  odngen  19484