Theorem znf1o 21544

Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
znf1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21537	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20220	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	4	zrhrhm 21504	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6		zringbas 21446	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		znf1o.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	6, 7	rhmf 20458	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
9	2, 3, 5, 8	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10		znf1o.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11		sseq1 3948	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12		sseq1 3948	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13		ssid 3945	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
14		elfzoelz 13607	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	ssriv 3926	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
16	11, 12, 13, 15	keephyp 4539	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
17	10, 16	eqsstri 3969	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
18		fssres 6701	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
19	9, 17, 18	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
20		znf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
21	20	feq1i 6654	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
22	19, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶𝐵)
23	20	fveq1i 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24		fvres 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
25	24	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
26	23, 25	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
27	20	fveq1i 6836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28		fvres 6854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
29	28	ad2antll 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
30	27, 29	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
31	26, 30	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
34	17, 33	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
36	17, 35	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
37	1, 4	zndvds 21542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
38	32, 34, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
39		elnn0 12433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
42	17, 41	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
44	17, 43	sselid 3920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		moddvds 16226	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
47	42	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		nnrp 12948	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50		nnne0 12205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51		ifnefalse 4479	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
53	10, 52	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
55	41, 54	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56		elfzole1 13616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58		elfzolt2 13617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60		modid 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
61	47, 49, 57, 59, 60	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
62	44	zred 12627	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	43, 54	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64		elfzole1 13616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66		elfzolt2 13617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68		modid 13849	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
69	62, 49, 65, 67, 68	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
70	61, 69	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
71	46, 70	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 = 0)
73	72	breq1d 5096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75		0nn0 12446	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
76	74, 75	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
77	76, 34	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
78	76, 36	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
79	77, 78	zsubcld 12632	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
80		0dvds 16239	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
82	77	zcnd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	78	zcnd 12628	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
84	82, 83	subeq0ad 11509	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
85	73, 81, 84	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
86	71, 85	jaoian 959	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87	39, 86	sylanb 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
88	31, 38, 87	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
89	88	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
90	89	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91		dff13 7203	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
92	22, 90, 91	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1→𝐵)
93		zmodfzo 13847	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	93	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
95	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
96	94, 95	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97		zre 12522	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98		modabs2 13858	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
99	97, 48, 98	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
101	15, 94	sselid 3920	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103		moddvds 16226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104	100, 101, 102, 103	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
105	99, 104	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106		nnnn0 12438	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
108	1, 4	zndvds 21542	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109	107, 101, 102, 108	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110	105, 109	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111	110	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113	112	rspceeqv 3588	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
114	96, 111, 113	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115		iftrue 4473	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116	115	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117	116	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118	117, 10	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑊)
119		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120		fveq2 6835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121	120	rspceeqv 3588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122	118, 119, 121	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123	114, 122	jaoian 959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
124	39, 123	sylanb 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
125	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126	125	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127	126	rexbiia 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128	124, 127	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
129	128	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
130	1, 7, 4	znzrhfo 21540	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵)
131		fofn 6749	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
133	132	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
134	133	ralrn 7035	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
135	130, 131, 134	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
136	129, 135	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
137		forn 6750	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138	130, 137	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139	136, 138	raleqtrdv 3298	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
140		dffo3 7049	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
141	22, 139, 140	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–onto→𝐵)
142		df-f1o 6500	. 2 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝑊–onto→𝐵))
143	92, 141, 142	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086  ran crn 5626   ↾ cres 5627   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  –1-1→wf1 6490  –onto→wfo 6491  –1-1-onto→wf1o 6492  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ℝcr 11031  0cc0 11032   < clt 11173   ≤ cle 11174   − cmin 11371  ℕcn 12168  ℕ₀cn0 12431  ℤcz 12518  ℝ⁺crp 12936  ..^cfzo 13602   mod cmo 13822   ∥ cdvds 16215  Basecbs 17173  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209   RingHom crh 20443  ℤ_ringczring 21439  ℤRHomczrh 21492  ℤ/nℤczn 21495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-ec 8639  df-qs 8643  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-dvds 16216  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-0g 17398  df-imas 17466  df-qus 17467  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-nsg 19094  df-eqg 19095  df-ghm 19182  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-rhm 20446  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201  df-rsp 21202  df-2idl 21243  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-zn 21499

This theorem is referenced by:  zzngim  21545  znleval  21547  zntoslem  21549  znhash  21551  znunithash  21557  dchrisumlem1  27469