MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znf1o 21588
Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/n for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
znf1o (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21581 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 20263 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4 eqid 2735 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
54zrhrhm 21540 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6 zringbas 21482 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
7 znf1o.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
86, 7rhmf 20502 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
92, 3, 5, 84syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10 znf1o.w . . . . . 6 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11 sseq1 4021 . . . . . . 7 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12 sseq1 4021 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13 ssid 4018 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
14 elfzoelz 13696 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514ssriv 3999 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1611, 12, 13, 15keephyp 4602 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
1710, 16eqsstri 4030 . . . . 5 𝑊 ⊆ ℤ
18 fssres 6775 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
199, 17, 18sylancl 586 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
20 znf1o.f . . . . 5 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
2120feq1i 6728 . . . 4 (𝐹:𝑊𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
2219, 21sylibr 234 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊𝐵)
2320fveq1i 6908 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24 fvres 6926 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2524ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2623, 25eqtrid 2787 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2720fveq1i 6908 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28 fvres 6926 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
2928ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3027, 29eqtrid 2787 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3126, 30eqeq12d 2751 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
3417, 33sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
3617, 35sselid 3993 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
371, 4zndvds 21586 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
3832, 34, 36, 37syl3anc 1370 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
39 elnn0 12526 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
4217, 41sselid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
4417, 43sselid 3993 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 moddvds 16298 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4742zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 nnrp 13044 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50 nnne0 12298 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51 ifnefalse 4543 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5310, 52eqtrid 2787 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
5541, 54eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56 elfzole1 13704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58 elfzolt2 13705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60 modid 13933 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6244zred 12720 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6343, 54eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64 elfzole1 13704 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66 elfzolt2 13705 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68 modid 13933 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
7061, 69eqeq12d 2751 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7146, 70bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 = 0)
7372breq1d 5158 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75 0nn0 12539 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
7674, 75eqeltrdi 2847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7776, 34sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7876, 36sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7977, 78zsubcld 12725 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
80 0dvds 16311 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8277zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8378zcnd 12721 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8482, 83subeq0ad 11628 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8573, 81, 843bitrd 305 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8671, 85jaoian 958 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8739, 86sylanb 581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8831, 38, 873bitrd 305 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8988biimpd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
9089ralrimivva 3200 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91 dff13 7275 . . 3 (𝐹:𝑊1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
9222, 90, 91sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1𝐵)
93 zmodfzo 13931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9493ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9553adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
9694, 95eleqtrrd 2842 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97 zre 12615 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98 modabs2 13942 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
9997, 48, 98syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10115, 94sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103 moddvds 16298 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104100, 101, 102, 103syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
10599, 104mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106 nnnn0 12531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1081, 4zndvds 21586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109107, 101, 102, 108syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110105, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111110eqcomd 2741 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113112rspceeqv 3645 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
11496, 111, 113syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115 iftrue 4537 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116115eleq2d 2825 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117116biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118117, 10eleqtrrdi 2850 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑊)
119 eqidd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120 fveq2 6907 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121120rspceeqv 3645 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122118, 119, 121syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123114, 122jaoian 958 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12439, 123sylanb 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12527, 28eqtrid 2787 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126125eqeq2d 2746 . . . . . . . 8 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127126rexbiia 3090 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128124, 127sylibr 234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
129128ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
1301, 7, 4znzrhfo 21584 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵)
131 fofn 6823 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132 eqeq1 2739 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
133132rexbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
134133ralrn 7108 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
135130, 131, 1343syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
136129, 135mpbird 257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
137 forn 6824 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138130, 137syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139136, 138raleqtrdv 3326 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
140 dffo3 7122 . . 3 (𝐹:𝑊onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
14122, 139, 140sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊onto𝐵)
142 df-f1o 6570 . 2 (𝐹:𝑊1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊1-1𝐵𝐹:𝑊onto𝐵))
14392, 141, 142sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  wss 3963  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ran crn 5690  cres 5691   Fn wfn 6558  wf 6559  1-1wf1 6560  ontowfo 6561  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490  cn 12264  0cn0 12524  cz 12611  +crp 13032  ..^cfzo 13691   mod cmo 13906  cdvds 16287  Basecbs 17245  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252   RingHom crh 20486  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528  ℤ/nczn 21531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-dvds 16288  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-2idl 21278  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-zn 21535
This theorem is referenced by:  zzngim  21589  znleval  21591  zntoslem  21593  znhash  21595  znunithash  21601  dchrisumlem1  27548
  Copyright terms: Public domain W3C validator