Theorem znf1o 21518

Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
znf1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 21511	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 20192	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	4	zrhrhm 21478	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6		zringbas 21420	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		znf1o.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	6, 7	rhmf 20432	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
9	2, 3, 5, 8	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10		znf1o.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12		sseq1 3961	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13		ssid 3958	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
14		elfzoelz 13587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	ssriv 3939	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
16	11, 12, 13, 15	keephyp 4553	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
17	10, 16	eqsstri 3982	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
18		fssres 6708	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
19	9, 17, 18	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
20		znf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
21	20	feq1i 6661	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
22	19, 21	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶𝐵)
23	20	fveq1i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24		fvres 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
25	24	ad2antrl 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
26	23, 25	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
27	20	fveq1i 6843	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28		fvres 6861	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
29	28	ad2antll 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
30	27, 29	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
31	26, 30	eqeq12d 2753	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		simprl 771	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
34	17, 33	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
36	17, 35	sselid 3933	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
37	1, 4	zndvds 21516	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
38	32, 34, 36, 37	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
39		elnn0 12415	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
42	17, 41	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43		simprr 773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
44	17, 43	sselid 3933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		moddvds 16202	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
47	42	zred 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		nnrp 12929	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
49	48	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50		nnne0 12191	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51		ifnefalse 4493	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
53	10, 52	eqtrid 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
54	53	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
55	41, 54	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56		elfzole1 13595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58		elfzolt2 13596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60		modid 13828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
61	47, 49, 57, 59, 60	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
62	44	zred 12608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	43, 54	eleqtrd 2839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64		elfzole1 13595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66		elfzolt2 13596	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68		modid 13828	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
69	62, 49, 65, 67, 68	syl22anc 839	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
70	61, 69	eqeq12d 2753	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
71	46, 70	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 = 0)
73	72	breq1d 5110	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75		0nn0 12428	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
76	74, 75	eqeltrdi 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
77	76, 34	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
78	76, 36	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
79	77, 78	zsubcld 12613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
80		0dvds 16215	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
82	77	zcnd 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	78	zcnd 12609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
84	82, 83	subeq0ad 11514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
85	73, 81, 84	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
86	71, 85	jaoian 959	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87	39, 86	sylanb 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
88	31, 38, 87	3bitrd 305	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
89	88	biimpd 229	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
90	89	ralrimivva 3181	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91		dff13 7210	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
92	22, 90, 91	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1→𝐵)
93		zmodfzo 13826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	93	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
95	53	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
96	94, 95	eleqtrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97		zre 12504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98		modabs2 13837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
99	97, 48, 98	syl2anr 598	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
101	15, 94	sselid 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103		moddvds 16202	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104	100, 101, 102, 103	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
105	99, 104	mpbid 232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107	106	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
108	1, 4	zndvds 21516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109	107, 101, 102, 108	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110	105, 109	mpbird 257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111	110	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113	112	rspceeqv 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
114	96, 111, 113	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115		iftrue 4487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116	115	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117	116	biimpar 477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118	117, 10	eleqtrrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑊)
119		eqidd 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120		fveq2 6842	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121	120	rspceeqv 3601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122	118, 119, 121	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123	114, 122	jaoian 959	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
124	39, 123	sylanb 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
125	27, 28	eqtrid 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126	125	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127	126	rexbiia 3083	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128	124, 127	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
129	128	ralrimiva 3130	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
130	1, 7, 4	znzrhfo 21514	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵)
131		fofn 6756	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132		eqeq1 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
133	132	rexbidv 3162	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
134	133	ralrn 7042	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
135	130, 131, 134	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
136	129, 135	mpbird 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
137		forn 6757	. . . . 5 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138	130, 137	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139	136, 138	raleqtrdv 3300	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
140		dffo3 7056	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
141	22, 139, 140	sylanbrc 584	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–onto→𝐵)
142		df-f1o 6507	. 2 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝑊–onto→𝐵))
143	92, 141, 142	sylanbrc 584	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ran crn 5633   ↾ cres 5634   Fn wfn 6495  ⟶wf 6496  –1-1→wf1 6497  –onto→wfo 6498  –1-1-onto→wf1o 6499  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℝ⁺crp 12917  ..^cfzo 13582   mod cmo 13801   ∥ cdvds 16191  Basecbs 17148  Ringcrg 20180  CRingccrg 20181   RingHom crh 20417  ℤ_ringczring 21413  ℤRHomczrh 21466  ℤ/nℤczn 21469

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117  ax-mulf 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-er 8645  df-ec 8647  df-qs 8651  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-dvds 16192  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-0g 17373  df-imas 17441  df-qus 17442  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-mhm 18720  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19010  df-subg 19065  df-nsg 19066  df-eqg 19067  df-ghm 19154  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-rhm 20420  df-subrng 20491  df-subrg 20515  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-sra 21137  df-rgmod 21138  df-lidl 21175  df-rsp 21176  df-2idl 21217  df-cnfld 21322  df-zring 21414  df-zrh 21470  df-zn 21473

This theorem is referenced by:  zzngim  21519  znleval  21521  zntoslem  21523  znhash  21525  znunithash  21531  dchrisumlem1  27468