MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znf1o 20114
Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/n for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
znf1o (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 20107 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 18767 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4 eqid 2817 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
54zrhrhm 20075 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6 zringbas 20039 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
7 znf1o.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
86, 7rhmf 18937 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
92, 3, 5, 84syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10 znf1o.w . . . . . 6 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11 sseq1 3834 . . . . . . 7 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12 sseq1 3834 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13 ssid 3831 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
14 elfzoelz 12701 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514ssriv 3813 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1611, 12, 13, 15keephyp 4359 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
1710, 16eqsstri 3843 . . . . 5 𝑊 ⊆ ℤ
18 fssres 6292 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
199, 17, 18sylancl 576 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
20 znf1o.f . . . . 5 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
2120feq1i 6254 . . . 4 (𝐹:𝑊𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
2219, 21sylibr 225 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊𝐵)
2320fveq1i 6416 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24 fvres 6434 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2524ad2antrl 710 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2623, 25syl5eq 2863 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2720fveq1i 6416 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28 fvres 6434 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
2928ad2antll 711 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3027, 29syl5eq 2863 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3126, 30eqeq12d 2832 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32 simpl 470 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 simprl 778 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
3417, 33sseldi 3807 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35 simprr 780 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
3617, 35sseldi 3807 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
371, 4zndvds 20112 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
3832, 34, 36, 37syl3anc 1483 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
39 elnn0 11568 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40 simpl 470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41 simprl 778 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
4217, 41sseldi 3807 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43 simprr 780 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
4417, 43sseldi 3807 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 moddvds 15221 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4742zred 11755 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 nnrp 12063 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4948adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50 nnne0 11346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51 ifnefalse 4302 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5310, 52syl5eq 2863 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
5453adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
5541, 54eleqtrd 2898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56 elfzole1 12709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58 elfzolt2 12710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60 modid 12926 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 858 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6244zred 11755 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6343, 54eleqtrd 2898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64 elfzole1 12709 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66 elfzolt2 12710 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68 modid 12926 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 858 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
7061, 69eqeq12d 2832 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7146, 70bitr3d 272 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72 simpl 470 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 = 0)
7372breq1d 4865 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75 0nn0 11581 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
7674, 75syl6eqel 2904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7776, 34sylan 571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7876, 36sylan 571 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7977, 78zsubcld 11760 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
80 0dvds 15232 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8277zcnd 11756 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8378zcnd 11756 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8482, 83subeq0ad 10694 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8573, 81, 843bitrd 296 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8671, 85jaoian 970 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8739, 86sylanb 572 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8831, 38, 873bitrd 296 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8988biimpd 220 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
9089ralrimivva 3170 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91 dff13 6743 . . 3 (𝐹:𝑊1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
9222, 90, 91sylanbrc 574 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1𝐵)
93 zmodfzo 12924 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9493ancoms 448 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9553adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
9694, 95eleqtrrd 2899 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97 zre 11654 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98 modabs2 12935 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
9997, 48, 98syl2anr 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10115, 94sseldi 3807 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103 moddvds 15221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104100, 101, 102, 103syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
10599, 104mpbid 223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106 nnnn0 11573 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107106adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1081, 4zndvds 20112 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109107, 101, 102, 108syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110105, 109mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111110eqcomd 2823 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112 fveq2 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113112rspceeqv 3531 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
11496, 111, 113syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115 iftrue 4296 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116115eleq2d 2882 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117116biimpar 465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118117, 10syl6eleqr 2907 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑊)
119 eqidd 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120 fveq2 6415 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121120rspceeqv 3531 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122118, 119, 121syl2anc 575 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123114, 122jaoian 970 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12439, 123sylanb 572 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12527, 28syl5eq 2863 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126125eqeq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127126rexbiia 3239 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128124, 127sylibr 225 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
129128ralrimiva 3165 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
1301, 7, 4znzrhfo 20110 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵)
131 fofn 6340 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132 eqeq1 2821 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
133132rexbidv 3251 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
134133ralrn 6591 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
135130, 131, 1343syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
136129, 135mpbird 248 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
137 forn 6341 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138130, 137syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139138raleqdv 3344 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
140136, 139mpbid 223 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
141 dffo3 6603 . . 3 (𝐹:𝑊onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
14222, 140, 141sylanbrc 574 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊onto𝐵)
143 df-f1o 6115 . 2 (𝐹:𝑊1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊1-1𝐵𝐹:𝑊onto𝐵))
14492, 142, 143sylanbrc 574 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wral 3107  wrex 3108  wss 3780  ifcif 4290   class class class wbr 4855  ran crn 5323  cres 5324   Fn wfn 6103  wf 6104  1-1wf1 6105  ontowfo 6106  1-1-ontowf1o 6107  cfv 6108  (class class class)co 6881  cr 10227  0cc0 10228   < clt 10366  cle 10367  cmin 10558  cn 11312  0cn0 11566  cz 11650  +crp 12053  ..^cfzo 12696   mod cmo 12899  cdvds 15210  Basecbs 16075  Ringcrg 18756  CRingccrg 18757   RingHom crh 18923  ringzring 20033  ℤRHomczrh 20063  ℤ/nczn 20066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-tpos 7594  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-oadd 7807  df-er 7986  df-ec 7988  df-qs 7992  df-map 8101  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-sup 8594  df-inf 8595  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-rp 12054  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-fl 12824  df-mod 12900  df-seq 13032  df-dvds 15211  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-0g 16314  df-imas 16380  df-qus 16381  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-mhm 17547  df-grp 17637  df-minusg 17638  df-sbg 17639  df-mulg 17753  df-subg 17800  df-nsg 17801  df-eqg 17802  df-ghm 17867  df-cmn 18403  df-abl 18404  df-mgp 18699  df-ur 18711  df-ring 18758  df-cring 18759  df-oppr 18832  df-dvdsr 18850  df-rnghom 18926  df-subrg 18989  df-lmod 19076  df-lss 19144  df-lsp 19186  df-sra 19388  df-rgmod 19389  df-lidl 19390  df-rsp 19391  df-2idl 19448  df-cnfld 19962  df-zring 20034  df-zrh 20067  df-zn 20070
This theorem is referenced by:  zzngim  20115  znleval  20117  zntoslem  20119  znhash  20121  znunithash  20127  dchrisumlem1  25402
  Copyright terms: Public domain W3C validator