Theorem znf1o 20243

Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/nℤ for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
znf1o.y	⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f	⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w	⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))

Assertion

Ref	Expression
znf1o	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Proof of Theorem znf1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		znf1o.y	. . . . . . 7 ⊢ 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
2	1	zncrng 20236	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑌 ∈ CRing)
3		crngring 19302	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
5	4	zrhrhm 20205	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6		zringbas 20169	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
7		znf1o.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑌)
8	6, 7	rhmf 19474	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
9	2, 3, 5, 8	4syl 19	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10		znf1o.w	. . . . . 6 ⊢ 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11		sseq1 3940	. . . . . . 7 ⊢ (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12		sseq1 3940	. . . . . . 7 ⊢ ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13		ssid 3937	. . . . . . 7 ⊢ ℤ ⊆ ℤ
14		elfzoelz 13033	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
15	14	ssriv 3919	. . . . . . 7 ⊢ (0..^𝑁) ⊆ ℤ
16	11, 12, 13, 15	keephyp 4494	. . . . . 6 ⊢ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
17	10, 16	eqsstri 3949	. . . . 5 ⊢ 𝑊 ⊆ ℤ
18		fssres 6518	. . . . 5 ⊢ (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵 ∧ 𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
19	9, 17, 18	sylancl 589	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
20		znf1o.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
21	20	feq1i 6478	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊⟶𝐵)
22	19, 21	sylibr 237	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊⟶𝐵)
23	20	fveq1i 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24		fvres 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
25	24	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
26	23, 25	syl5eq 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
27	20	fveq1i 6646	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹‘𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28		fvres 6664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
29	28	ad2antll 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
30	27, 29	syl5eq 2845	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
31	26, 30	eqeq12d 2814	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33		simprl 770	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
34	17, 33	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
36	17, 35	sseldi 3913	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
37	1, 4	zndvds 20241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
38	32, 34, 36, 37	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
39		elnn0 11887	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ 𝑊)
42	17, 41	sseldi 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43		simprr 772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ 𝑊)
44	17, 43	sseldi 3913	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45		moddvds 15610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
46	40, 42, 44, 45	syl3anc 1368	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
47	42	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48		nnrp 12388	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
49	48	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50		nnne0 11659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51		ifnefalse 4437	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
52	50, 51	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
53	10, 52	syl5eq 2845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
54	53	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
55	41, 54	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56		elfzole1 13041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58		elfzolt2 13042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
59	55, 58	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60		modid 13259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
61	47, 49, 57, 59, 60	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
62	44	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
63	43, 54	eleqtrd 2892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64		elfzole1 13041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
65	63, 64	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66		elfzolt2 13042	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
67	63, 66	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68		modid 13259	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
69	62, 49, 65, 67, 68	syl22anc 837	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
70	61, 69	eqeq12d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
71	46, 70	bitr3d 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑁 = 0)
73	72	breq1d 5040	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥 − 𝑦)))
74		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75		0nn0 11900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 ∈ ℕ0
76	74, 75	eqeltrdi 2898	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
77	76, 34	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
78	76, 36	sylan 583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
79	77, 78	zsubcld 12080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ)
80		0dvds 15622	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 − 𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
81	79, 80	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (0 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ (𝑥 − 𝑦) = 0))
82	77	zcnd 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
83	78	zcnd 12076	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
84	82, 83	subeq0ad 10996	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝑥 − 𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
85	73, 81, 84	3bitrd 308	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
86	71, 85	jaoian 954	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
87	39, 86	sylanb 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥 − 𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
88	31, 38, 87	3bitrd 308	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
89	88	biimpd 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥 ∈ 𝑊 ∧ 𝑦 ∈ 𝑊)) → ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
90	89	ralrimivva 3156	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91		dff13 6991	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑊 ∀𝑦 ∈ 𝑊 ((𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
92	22, 90, 91	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1→𝐵)
93		zmodfzo 13257	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
94	93	ancoms 462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
95	53	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
96	94, 95	eleqtrrd 2893	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97		zre 11973	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98		modabs2 13268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
99	97, 48, 98	syl2anr 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100		simpl 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
101	15, 94	sseldi 3913	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103		moddvds 15610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104	100, 101, 102, 103	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
105	99, 104	mpbid 235	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106		nnnn0 11892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107	106	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
108	1, 4	zndvds 20241	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109	107, 101, 102, 108	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110	105, 109	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111	110	eqcomd 2804	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113	112	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
114	96, 111, 113	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115		iftrue 4431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116	115	eleq2d 2875	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117	116	biimpar 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118	117, 10	eleqtrrdi 2901	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ 𝑊)
119		eqidd 2799	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120		fveq2 6645	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121	120	rspceeqv 3586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122	118, 119, 121	syl2anc 587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123	114, 122	jaoian 954	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
124	39, 123	sylanb 584	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
125	27, 28	syl5eq 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (𝐹‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126	125	eqeq2d 2809	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127	126	rexbiia 3209	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128	124, 127	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
129	128	ralrimiva 3149	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦))
130	1, 7, 4	znzrhfo 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵)
131		fofn 6567	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132		eqeq1 2802	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
133	132	rexbidv 3256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
134	133	ralrn 6831	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
135	130, 131, 134	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ 𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹‘𝑦)))
136	129, 135	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
137		forn 6568	. . . . . 6 ⊢ ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto→𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138	130, 137	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139	138	raleqdv 3364	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
140	136, 139	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦))
141		dffo3 6845	. . 3 ⊢ (𝐹:𝑊–onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊⟶𝐵 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑦 ∈ 𝑊 𝑥 = (𝐹‘𝑦)))
142	22, 140, 141	sylanbrc 586	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–onto→𝐵)
143		df-f1o 6331	. 2 ⊢ (𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝑊–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝑊–onto→𝐵))
144	92, 142, 143	sylanbrc 586	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝐹:𝑊–1-1-onto→𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ran crn 5520   ↾ cres 5521   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  –1-1→wf1 6321  –onto→wfo 6322  –1-1-onto→wf1o 6323  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  0cc0 10526   < clt 10664   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℝ⁺crp 12377  ..^cfzo 13028   mod cmo 13232   ∥ cdvds 15599  Basecbs 16475  Ringcrg 19290  CRingccrg 19291   RingHom crh 19460  ℤ_ringzring 20163  ℤRHomczrh 20193  ℤ/nℤczn 20196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-tpos 7875  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-ec 8274  df-qs 8278  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-dvds 15600  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-0g 16707  df-imas 16773  df-qus 16774  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-nsg 18269  df-eqg 18270  df-ghm 18348  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-cring 19293  df-oppr 19369  df-dvdsr 19387  df-rnghom 19463  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-lidl 19939  df-rsp 19940  df-2idl 19998  df-cnfld 20092  df-zring 20164  df-zrh 20197  df-zn 20200

This theorem is referenced by:  zzngim  20244  znleval  20246  zntoslem  20248  znhash  20250  znunithash  20256  dchrisumlem1  26073