MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  znf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem znf1o 21570
Description: The function 𝐹 enumerates all equivalence classes in ℤ/n for each 𝑛. When 𝑛 = 0, ℤ / 0ℤ = ℤ / {0} ≈ ℤ so we let 𝑊 = ℤ; otherwise 𝑊 = {0, ..., 𝑛 − 1} enumerates all the equivalence classes. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jun-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-May-2016.) (Revised by AV, 13-Jun-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
znf1o.y 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
znf1o.b 𝐵 = (Base‘𝑌)
znf1o.f 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
znf1o.w 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
Assertion
Ref Expression
znf1o (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)

Proof of Theorem znf1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 znf1o.y . . . . . . 7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
21zncrng 21563 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0𝑌 ∈ CRing)
3 crngring 20242 . . . . . 6 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
4 eqid 2737 . . . . . . 7 (ℤRHom‘𝑌) = (ℤRHom‘𝑌)
54zrhrhm 21522 . . . . . 6 (𝑌 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
6 zringbas 21464 . . . . . . 7 ℤ = (Base‘ℤring)
7 znf1o.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑌)
86, 7rhmf 20485 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
92, 3, 5, 84syl 19 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵)
10 znf1o.w . . . . . 6 𝑊 = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁))
11 sseq1 4009 . . . . . . 7 (ℤ = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → (ℤ ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
12 sseq1 4009 . . . . . . 7 ((0..^𝑁) = if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) → ((0..^𝑁) ⊆ ℤ ↔ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ))
13 ssid 4006 . . . . . . 7 ℤ ⊆ ℤ
14 elfzoelz 13699 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 ∈ ℤ)
1514ssriv 3987 . . . . . . 7 (0..^𝑁) ⊆ ℤ
1611, 12, 13, 15keephyp 4597 . . . . . 6 if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ⊆ ℤ
1710, 16eqsstri 4030 . . . . 5 𝑊 ⊆ ℤ
18 fssres 6774 . . . . 5 (((ℤRHom‘𝑌):ℤ⟶𝐵𝑊 ⊆ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
199, 17, 18sylancl 586 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
20 znf1o.f . . . . 5 𝐹 = ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)
2120feq1i 6727 . . . 4 (𝐹:𝑊𝐵 ↔ ((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊):𝑊𝐵)
2219, 21sylibr 234 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊𝐵)
2320fveq1i 6907 . . . . . . . 8 (𝐹𝑥) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥)
24 fvres 6925 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2524ad2antrl 728 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2623, 25eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥))
2720fveq1i 6907 . . . . . . . 8 (𝐹𝑦) = (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦)
28 fvres 6925 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
2928ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌) ↾ 𝑊)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3027, 29eqtrid 2789 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
3126, 30eqeq12d 2753 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
32 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
33 simprl 771 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
3417, 33sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
35 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
3617, 35sselid 3981 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
371, 4zndvds 21568 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
3832, 34, 36, 37syl3anc 1373 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑥) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
39 elnn0 12528 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℕ)
41 simprl 771 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥𝑊)
4217, 41sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
43 simprr 773 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦𝑊)
4417, 43sselid 3981 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
45 moddvds 16301 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4640, 42, 44, 45syl3anc 1373 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ (𝑥𝑦)))
4742zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℝ)
48 nnrp 13046 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
4948adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 ∈ ℝ+)
50 nnne0 12300 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ≠ 0)
51 ifnefalse 4537 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑁 ≠ 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ∈ ℕ → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = (0..^𝑁))
5310, 52eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑊 = (0..^𝑁))
5453adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑊 = (0..^𝑁))
5541, 54eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ (0..^𝑁))
56 elfzole1 13707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑥)
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑥)
58 elfzolt2 13708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (0..^𝑁) → 𝑥 < 𝑁)
5955, 58syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 < 𝑁)
60 modid 13936 . . . . . . . . . . 11 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥 < 𝑁)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6147, 49, 57, 59, 60syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥 mod 𝑁) = 𝑥)
6244zred 12722 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℝ)
6343, 54eleqtrd 2843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ (0..^𝑁))
64 elfzole1 13707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 0 ≤ 𝑦)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 0 ≤ 𝑦)
66 elfzolt2 13708 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ (0..^𝑁) → 𝑦 < 𝑁)
6763, 66syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 < 𝑁)
68 modid 13936 . . . . . . . . . . 11 (((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑦𝑦 < 𝑁)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
6962, 49, 65, 67, 68syl22anc 839 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑦 mod 𝑁) = 𝑦)
7061, 69eqeq12d 2753 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥 mod 𝑁) = (𝑦 mod 𝑁) ↔ 𝑥 = 𝑦))
7146, 70bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
72 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑁 = 0)
7372breq1d 5153 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 0 ∥ (𝑥𝑦)))
74 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → 𝑁 = 0)
75 0nn0 12541 . . . . . . . . . . . . 13 0 ∈ ℕ0
7674, 75eqeltrdi 2849 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → 𝑁 ∈ ℕ0)
7776, 34sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℤ)
7876, 36sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℤ)
7977, 78zsubcld 12727 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑥𝑦) ∈ ℤ)
80 0dvds 16314 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝑦) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8179, 80syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (0 ∥ (𝑥𝑦) ↔ (𝑥𝑦) = 0))
8277zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑥 ∈ ℂ)
8378zcnd 12723 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → 𝑦 ∈ ℂ)
8482, 83subeq0ad 11630 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝑥𝑦) = 0 ↔ 𝑥 = 𝑦))
8573, 81, 843bitrd 305 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8671, 85jaoian 959 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8739, 86sylanb 581 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → (𝑁 ∥ (𝑥𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8831, 38, 873bitrd 305 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) ↔ 𝑥 = 𝑦))
8988biimpd 229 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑥𝑊𝑦𝑊)) → ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
9089ralrimivva 3202 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
91 dff13 7275 . . 3 (𝐹:𝑊1-1𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝑊𝑦𝑊 ((𝐹𝑥) = (𝐹𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
9222, 90, 91sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1𝐵)
93 zmodfzo 13934 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9493ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ (0..^𝑁))
9553adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑊 = (0..^𝑁))
9694, 95eleqtrrd 2844 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊)
97 zre 12617 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℤ → 𝑧 ∈ ℝ)
98 modabs2 13945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
9997, 48, 98syl2anr 597 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁))
100 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ)
10115, 94sselid 3981 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ)
102 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ ℤ)
103 moddvds 16301 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
104100, 101, 102, 103syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((𝑧 mod 𝑁) mod 𝑁) = (𝑧 mod 𝑁) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
10599, 104mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧))
106 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
107106adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1081, 4zndvds 21568 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (𝑧 mod 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
109107, 101, 102, 108syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → (((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) ↔ 𝑁 ∥ ((𝑧 mod 𝑁) − 𝑧)))
110105, 109mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
111110eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
112 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (𝑧 mod 𝑁) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁)))
113112rspceeqv 3645 . . . . . . . . . 10 (((𝑧 mod 𝑁) ∈ 𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘(𝑧 mod 𝑁))) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
11496, 111, 113syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
115 iftrue 4531 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 = 0 → if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) = ℤ)
116115eleq2d 2827 . . . . . . . . . . . 12 (𝑁 = 0 → (𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)) ↔ 𝑧 ∈ ℤ))
117116biimpar 477 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧 ∈ if(𝑁 = 0, ℤ, (0..^𝑁)))
118117, 10eleqtrrdi 2852 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → 𝑧𝑊)
119 eqidd 2738 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
120 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑧 → ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧))
121120rspceeqv 3645 . . . . . . . . . 10 ((𝑧𝑊 ∧ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧)) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
122118, 119, 121syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
123114, 122jaoian 959 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) ∧ 𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12439, 123sylanb 581 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
12527, 28eqtrid 2789 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑊 → (𝐹𝑦) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
126125eqeq2d 2748 . . . . . . . 8 (𝑦𝑊 → (((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦)))
127126rexbiia 3092 . . . . . . 7 (∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑦))
128124, 127sylibr 234 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑧 ∈ ℤ) → ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
129128ralrimiva 3146 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦))
1301, 7, 4znzrhfo 21566 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ0 → (ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵)
131 fofn 6822 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → (ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ)
132 eqeq1 2741 . . . . . . . 8 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
133132rexbidv 3179 . . . . . . 7 (𝑥 = ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) → (∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
134133ralrn 7108 . . . . . 6 ((ℤRHom‘𝑌) Fn ℤ → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
135130, 131, 1343syl 18 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦) ↔ ∀𝑧 ∈ ℤ ∃𝑦𝑊 ((ℤRHom‘𝑌)‘𝑧) = (𝐹𝑦)))
136129, 135mpbird 257 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥 ∈ ran (ℤRHom‘𝑌)∃𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
137 forn 6823 . . . . 5 ((ℤRHom‘𝑌):ℤ–onto𝐵 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
138130, 137syl 17 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → ran (ℤRHom‘𝑌) = 𝐵)
139136, 138raleqtrdv 3328 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦))
140 dffo3 7122 . . 3 (𝐹:𝑊onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝑊 𝑥 = (𝐹𝑦)))
14122, 139, 140sylanbrc 583 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊onto𝐵)
142 df-f1o 6568 . 2 (𝐹:𝑊1-1-onto𝐵 ↔ (𝐹:𝑊1-1𝐵𝐹:𝑊onto𝐵))
14392, 141, 142sylanbrc 583 1 (𝑁 ∈ ℕ0𝐹:𝑊1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 848   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ran crn 5686  cres 5687   Fn wfn 6556  wf 6557  1-1wf1 6558  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  ..^cfzo 13694   mod cmo 13909  cdvds 16290  Basecbs 17247  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231   RingHom crh 20469  ringczring 21457  ℤRHomczrh 21510  ℤ/nczn 21513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-dvds 16291  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218  df-rsp 21219  df-2idl 21260  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-zn 21517
This theorem is referenced by:  zzngim  21571  znleval  21573  zntoslem  21575  znhash  21577  znunithash  21583  dchrisumlem1  27533
  Copyright terms: Public domain W3C validator