Theorem jm2.19 43703

Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyeq0 43663	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
2	1	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
3		0dvds 16335	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
4	3	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
5		frmy 43624	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7540	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	3adant2 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
8		0dvds 16335	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
10	2, 4, 9	3bitr4d 314	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
11	10	adantr 485	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	breq1d 5120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
14	12	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 0))
15		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
16		rmy0 43639	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2798	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = 0)
19	18	breq1d 5120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
20	11, 13, 19	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
21	5	fovcl 7540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	3adant3 1150	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
23		dvds0 16330	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
24	22, 23	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
25	16	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
26	24, 25	breqtrrd 5140	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0))
27		oveq2 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm 0))
28	27	breq2d 5122	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0)))
29	26, 28	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
30	29	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
31		zre 12596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
34		zcn 12597	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
37		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
38	36, 37	absrpcld 15504	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
39		modlt 13915	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
40	33, 38, 39	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
41		simpll1 1231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
42		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
44		nnabscl 15379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
45	43, 37, 44	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
46	42, 45	zmodcld 13927	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
48	47	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
49	48	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
50		ltrmynn0 43658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
51	41, 46, 49, 50	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
52	40, 51	mpbid 235	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
53	46	nn0zd 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
54		rmyabs 43668	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
55	41, 53, 54	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
56	33, 38	modcld 13910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
57		modge0 13914	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
58	33, 38, 57	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
59	56, 58	absidd 15476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
60	59	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
61	55, 60	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
62		rmyabs 43668	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
63	41, 43, 62	syl2anc 595	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
64	52, 61, 63	3brtr4d 5144	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
65	5	fovcl 7540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
66	41, 53, 65	syl2anc 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
67		nn0abscl 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
68	66, 67	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
69	68	nn0red 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℝ)
70	22	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
71		nn0abscl 15365	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
72	70, 71	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
73	72	nn0red 12567	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
74	69, 73	ltnled 11358	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
75	64, 74	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
76		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0)
77		rmyeq0 43663	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
78	41, 53, 77	syl2anc 595	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
79	78	necon3bid 3002	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0))
80	76, 79	mpbid 235	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0)
81		dvdsleabs2 16371	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
82	70, 66, 80, 81	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
83	75, 82	mtod 201	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
84	83	ex 417	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
85	84	necon4ad 2977	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
86	30, 85	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
87		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
88		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		simpr 489	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
90		dvdsabsmod0 43697	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
92		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
93	32	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
94		zre 12596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
95	94	3ad2ant2 1152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
96	95	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
97		modabsdifz 43696	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
98	93, 96, 89, 97	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
99	98	znegcld 12703	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
100		jm2.19lem4 43702	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
101	92, 87, 88, 99, 100	syl121anc 1402	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
102	32	recnd 11238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	102	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
104	35	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
105	104, 89	absrpcld 15504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
106	93, 105	modcld 13910	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
108	103, 107	subcld 11570	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
109	108, 104, 89	divcld 11992	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℂ)
110	109, 104	mulneg1d 11668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))
111	110	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
112	109, 104	mulcld 11230	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
113	103, 112	negsubd 11576	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
114	108, 104, 89	divcan1d 11993	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
115	114	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
116	103, 107	nncand 11575	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
117	115, 116	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
118	111, 113, 117	3eqtrrd 2803	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
119	118	oveq2d 7428	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))))
120	119	breq2d 5122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
121	101, 120	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
122	86, 91, 121	3bitr4d 314	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
123	20, 122	pm2.61dane 3045	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℝcr 11100  0cc0 11101   + caddc 11104   · cmul 11106   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11442  -cneg 11443   / cdiv 11872  ℕcn 12234  2c2 12296  ℕ₀cn0 12505  ℤcz 12592  ℤ_≥cuz 12863  ℝ⁺crp 13017   mod cmo 13904  abscabs 15287   ∥ cdvds 16311   Y_rm crmy 43611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-pre-sup 11179  ax-addf 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8158  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-2o 8455  df-oadd 8458  df-omul 8459  df-er 8695  df-map 8827  df-pm 8828  df-ixp 8897  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-fsupp 9323  df-fi 9372  df-sup 9403  df-inf 9404  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-div 11873  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-7 12309  df-8 12310  df-9 12311  df-n0 12506  df-xnn0 12579  df-z 12593  df-dec 12713  df-uz 12864  df-q 12974  df-rp 13018  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13537  df-fzo 13685  df-fl 13827  df-mod 13905  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14312  df-bc 14341  df-hash 14369  df-shft 15106  df-cj 15152  df-re 15153  df-im 15154  df-sqrt 15288  df-abs 15289  df-limsup 15524  df-clim 15541  df-rlim 15542  df-sum 15740  df-ef 16122  df-sin 16124  df-cos 16125  df-pi 16127  df-dvds 16312  df-gcd 16554  df-numer 16795  df-denom 16796  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-starv 17326  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-unif 17334  df-hom 17335  df-cco 17336  df-rest 17476  df-topn 17477  df-0g 17495  df-gsum 17496  df-topgen 17497  df-pt 17498  df-prds 17501  df-xrs 17557  df-qtop 17562  df-imas 17563  df-xps 17565  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-mulg 19135  df-cntz 19388  df-cmn 19853  df-psmet 21495  df-xmet 21496  df-met 21497  df-bl 21498  df-mopn 21499  df-fbas 21500  df-fg 21501  df-cnfld 21504  df-top 23032  df-topon 23049  df-topsp 23071  df-bases 23084  df-cld 23157  df-ntr 23158  df-cls 23159  df-nei 23236  df-lp 23274  df-perf 23275  df-cn 23365  df-cnp 23366  df-haus 23453  df-tx 23700  df-hmeo 23893  df-fil 23984  df-fm 24076  df-flim 24077  df-flf 24078  df-xms 24458  df-ms 24459  df-tms 24460  df-cncf 25018  df-limc 26006  df-dv 26007  df-log 26702  df-squarenn 43551  df-pell1qr 43552  df-pell14qr 43553  df-pell1234qr 43554  df-pellfund 43555  df-rmx 43612  df-rmy 43613

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43707