Theorem jm2.19 43347

Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyeq0 43307	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
2	1	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
3		0dvds 16215	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
4	3	3ad2ant3 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
5		frmy 43268	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7496	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	3adant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
8		0dvds 16215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
10	2, 4, 9	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
14	12	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 0))
15		simpl1 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
16		rmy0 43283	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = 0)
19	18	breq1d 5110	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
20	11, 13, 19	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
21	5	fovcl 7496	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	3adant3 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
23		dvds0 16210	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
25	16	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
26	24, 25	breqtrrd 5128	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0))
27		oveq2 7376	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm 0))
28	27	breq2d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0)))
29	26, 28	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
31		zre 12504	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant3 1136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
34		zcn 12505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
37		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
38	36, 37	absrpcld 15386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
39		modlt 13812	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
40	33, 38, 39	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
41		simpll1 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
42		simpll3 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		simpll2 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
44		nnabscl 15261	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
45	43, 37, 44	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
46	42, 45	zmodcld 13824	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 15247	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
48	47	3ad2ant2 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
49	48	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
50		ltrmynn0 43302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
51	41, 46, 49, 50	syl3anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
52	40, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
53	46	nn0zd 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
54		rmyabs 43312	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
55	41, 53, 54	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
56	33, 38	modcld 13807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
57		modge0 13811	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
58	33, 38, 57	syl2anc 585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
59	56, 58	absidd 15358	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
60	59	oveq2d 7384	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
61	55, 60	eqtrd 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
62		rmyabs 43312	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
63	41, 43, 62	syl2anc 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
64	52, 61, 63	3brtr4d 5132	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
65	5	fovcl 7496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
66	41, 53, 65	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
67		nn0abscl 15247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
69	68	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℝ)
70	22	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
71		nn0abscl 15247	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
73	72	nn0red 12475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
74	69, 73	ltnled 11292	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
75	64, 74	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
76		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0)
77		rmyeq0 43307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
78	41, 53, 77	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
79	78	necon3bid 2977	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0))
80	76, 79	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0)
81		dvdsleabs2 16251	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
82	70, 66, 80, 81	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
83	75, 82	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
84	83	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
85	84	necon4ad 2952	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
86	30, 85	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
87		simpl2 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
88		simpl3 1195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
90		dvdsabsmod0 43341	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
92		simpl1 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
93	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
94		zre 12504	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
95	94	3ad2ant2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
97		modabsdifz 43340	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
98	93, 96, 89, 97	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
99	98	znegcld 12610	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
100		jm2.19lem4 43346	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
101	92, 87, 88, 99, 100	syl121anc 1378	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
102	32	recnd 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
104	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
105	104, 89	absrpcld 15386	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
106	93, 105	modcld 13807	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
108	103, 107	subcld 11504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
109	108, 104, 89	divcld 11929	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℂ)
110	109, 104	mulneg1d 11602	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))
111	110	oveq2d 7384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
112	109, 104	mulcld 11164	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
113	103, 112	negsubd 11510	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
114	108, 104, 89	divcan1d 11930	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
115	114	oveq2d 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
116	103, 107	nncand 11509	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
117	115, 116	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
118	111, 113, 117	3eqtrrd 2777	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
119	118	oveq2d 7384	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))))
120	119	breq2d 5112	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
121	101, 120	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
122	86, 91, 121	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
123	20, 122	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   ≤ cle 11179   − cmin 11376  -cneg 11377   / cdiv 11806  ℕcn 12157  2c2 12212  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ℝ⁺crp 12917   mod cmo 13801  abscabs 15169   ∥ cdvds 16191   Y_rm crmy 43255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-omul 8412  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-fi 9326  df-sup 9357  df-inf 9358  df-oi 9427  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13277  df-ioc 13278  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-fac 14209  df-bc 14238  df-hash 14266  df-shft 15002  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-limsup 15406  df-clim 15423  df-rlim 15424  df-sum 15622  df-ef 16002  df-sin 16004  df-cos 16005  df-pi 16007  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-numer 16674  df-denom 16675  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-starv 17204  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-unif 17212  df-hom 17213  df-cco 17214  df-rest 17354  df-topn 17355  df-0g 17373  df-gsum 17374  df-topgen 17375  df-pt 17376  df-prds 17379  df-xrs 17435  df-qtop 17440  df-imas 17441  df-xps 17443  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-mulg 19010  df-cntz 19258  df-cmn 19723  df-psmet 21313  df-xmet 21314  df-met 21315  df-bl 21316  df-mopn 21317  df-fbas 21318  df-fg 21319  df-cnfld 21322  df-top 22850  df-topon 22867  df-topsp 22889  df-bases 22902  df-cld 22975  df-ntr 22976  df-cls 22977  df-nei 23054  df-lp 23092  df-perf 23093  df-cn 23183  df-cnp 23184  df-haus 23271  df-tx 23518  df-hmeo 23711  df-fil 23802  df-fm 23894  df-flim 23895  df-flf 23896  df-xms 24276  df-ms 24277  df-tms 24278  df-cncf 24839  df-limc 25835  df-dv 25836  df-log 26533  df-squarenn 43195  df-pell1qr 43196  df-pell14qr 43197  df-pell1234qr 43198  df-pellfund 43199  df-rmx 43256  df-rmy 43257

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43351