Theorem jm2.19 43026

Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyeq0 42986	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
2	1	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
3		0dvds 16182	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
4	3	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
5		frmy 42947	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
8		0dvds 16182	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
10	2, 4, 9	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
14	12	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 0))
15		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
16		rmy0 42962	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = 0)
19	18	breq1d 5096	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
20	11, 13, 19	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
21	5	fovcl 7469	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
23		dvds0 16177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
25	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
26	24, 25	breqtrrd 5114	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0))
27		oveq2 7349	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm 0))
28	27	breq2d 5098	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0)))
29	26, 28	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
31		zre 12467	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
34		zcn 12468	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
38	36, 37	absrpcld 15353	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
39		modlt 13779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
40	33, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
41		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
42		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		simpll2 1214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
44		nnabscl 15228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
45	43, 37, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
46	42, 45	zmodcld 13791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 15214	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
50		ltrmynn0 42981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
51	41, 46, 49, 50	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
52	40, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
53	46	nn0zd 12489	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
54		rmyabs 42991	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
55	41, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
56	33, 38	modcld 13774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
57		modge0 13778	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
58	33, 38, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
59	56, 58	absidd 15325	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
60	59	oveq2d 7357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
61	55, 60	eqtrd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
62		rmyabs 42991	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
63	41, 43, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
64	52, 61, 63	3brtr4d 5118	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
65	5	fovcl 7469	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
66	41, 53, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
67		nn0abscl 15214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
69	68	nn0red 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℝ)
70	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
71		nn0abscl 15214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
73	72	nn0red 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
74	69, 73	ltnled 11255	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
75	64, 74	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
76		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0)
77		rmyeq0 42986	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
78	41, 53, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
79	78	necon3bid 2972	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0))
80	76, 79	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0)
81		dvdsleabs2 16218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
82	70, 66, 80, 81	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
83	75, 82	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
84	83	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
85	84	necon4ad 2947	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
86	30, 85	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
87		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
88		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
90		dvdsabsmod0 43020	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
92		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
93	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
94		zre 12467	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
95	94	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
97		modabsdifz 43019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
98	93, 96, 89, 97	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
99	98	znegcld 12574	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
100		jm2.19lem4 43025	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
101	92, 87, 88, 99, 100	syl121anc 1377	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
102	32	recnd 11135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
104	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
105	104, 89	absrpcld 15353	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
106	93, 105	modcld 13774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
108	103, 107	subcld 11467	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
109	108, 104, 89	divcld 11892	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℂ)
110	109, 104	mulneg1d 11565	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))
111	110	oveq2d 7357	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
112	109, 104	mulcld 11127	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
113	103, 112	negsubd 11473	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
114	108, 104, 89	divcan1d 11893	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
115	114	oveq2d 7357	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
116	103, 107	nncand 11472	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
117	115, 116	eqtrd 2766	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
118	111, 113, 117	3eqtrrd 2771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
119	118	oveq2d 7357	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))))
120	119	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
121	101, 120	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
122	86, 91, 121	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
123	20, 122	pm2.61dane 3015	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  ℂcc 10999  ℝcr 11000  0cc0 11001   + caddc 11004   · cmul 11006   < clt 11141   ≤ cle 11142   − cmin 11339  -cneg 11340   / cdiv 11769  ℕcn 12120  2c2 12175  ℕ₀cn0 12376  ℤcz 12463  ℤ_≥cuz 12727  ℝ⁺crp 12885   mod cmo 13768  abscabs 15136   ∥ cdvds 16158   Y_rm crmy 42934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-inf2 9526  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-se 5565  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-isom 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-supp 8086  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8617  df-map 8747  df-pm 8748  df-ixp 8817  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-fi 9290  df-sup 9321  df-inf 9322  df-oi 9391  df-card 9827  df-acn 9830  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-xnn0 12450  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-q 12842  df-rp 12886  df-xneg 13006  df-xadd 13007  df-xmul 13008  df-ioo 13244  df-ioc 13245  df-ico 13246  df-icc 13247  df-fz 13403  df-fzo 13550  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-fac 14176  df-bc 14205  df-hash 14233  df-shft 14969  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-limsup 15373  df-clim 15390  df-rlim 15391  df-sum 15589  df-ef 15969  df-sin 15971  df-cos 15972  df-pi 15974  df-dvds 16159  df-gcd 16401  df-numer 16641  df-denom 16642  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-sca 17172  df-vsca 17173  df-ip 17174  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-hom 17180  df-cco 17181  df-rest 17321  df-topn 17322  df-0g 17340  df-gsum 17341  df-topgen 17342  df-pt 17343  df-prds 17346  df-xrs 17401  df-qtop 17406  df-imas 17407  df-xps 17409  df-mre 17483  df-mrc 17484  df-acs 17486  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-submnd 18687  df-mulg 18976  df-cntz 19224  df-cmn 19689  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22804  df-topon 22821  df-topsp 22843  df-bases 22856  df-cld 22929  df-ntr 22930  df-cls 22931  df-nei 23008  df-lp 23046  df-perf 23047  df-cn 23137  df-cnp 23138  df-haus 23225  df-tx 23472  df-hmeo 23665  df-fil 23756  df-fm 23848  df-flim 23849  df-flf 23850  df-xms 24230  df-ms 24231  df-tms 24232  df-cncf 24793  df-limc 25789  df-dv 25790  df-log 26487  df-squarenn 42874  df-pell1qr 42875  df-pell14qr 42876  df-pell1234qr 42877  df-pellfund 42878  df-rmx 42935  df-rmy 42936

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43030