Theorem jm2.19 43010

Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.19	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.19

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rmyeq0 42970	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
2	1	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
3		0dvds 16315	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
4	3	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
5		frmy 42931	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
6	5	fovcl 7562	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
7	6	3adant2 1131	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
8		0dvds 16315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
10	2, 4, 9	3bitr4d 311	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
11	10	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝑀 = 0)
13	12	breq1d 5152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
14	12	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 0))
15		simpl1 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
16		rmy0 42946	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
18	14, 17	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) = 0)
19	18	breq1d 5152	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
20	11, 13, 19	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 = 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
21	5	fovcl 7562	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
22	21	3adant3 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
23		dvds0 16310	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
24	22, 23	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ 0)
25	16	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
26	24, 25	breqtrrd 5170	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0))
27		oveq2 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm 0))
28	27	breq2d 5154	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 0)))
29	26, 28	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 → (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
31		zre 12619	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
32	31	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℝ)
33	32	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
34		zcn 12620	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
35	34	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℂ)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
37		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
38	36, 37	absrpcld 15488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
39		modlt 13921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
40	33, 38, 39	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀))
41		simpll1 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
42		simpll3 1214	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
44		nnabscl 15365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
45	43, 37, 44	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
46	42, 45	zmodcld 13933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0)
47		nn0abscl 15352	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
48	47	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ0)
50		ltrmynn0 42965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℕ0 ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℕ0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
51	41, 46, 49, 50	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) < (abs‘𝑀) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀))))
52	40, 51	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) < (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
53	46	nn0zd 12641	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ)
54		rmyabs 42975	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
55	41, 53, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
56	33, 38	modcld 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
57		modge0 13920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (abs‘𝑀) ∈ ℝ+) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
58	33, 38, 57	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → 0 ≤ (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
59	56, 58	absidd 15462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
60	59	oveq2d 7448	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (abs‘(𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
61	55, 60	eqtrd 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
62		rmyabs 42975	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
63	41, 43, 62	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝑀)))
64	52, 61, 63	3brtr4d 5174	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)))
65	5	fovcl 7562	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
66	41, 53, 65	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ)
67		nn0abscl 15352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
68	66, 67	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℕ0)
69	68	nn0red 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) ∈ ℝ)
70	22	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
71		nn0abscl 15352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
72	70, 71	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℕ0)
73	72	nn0red 12590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
74	69, 73	ltnled 11409	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) < (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
75	64, 74	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
76		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0)
77		rmyeq0 42970	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℤ) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
78	41, 53, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = 0))
79	78	necon3bid 2984	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0))
80	76, 79	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0)
81		dvdsleabs2 16350	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
82	70, 66, 80, 81	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝑀)) ≤ (abs‘(𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))))
83	75, 82	mtod 198	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0) → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
84	83	ex 412	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) ≠ 0 → ¬ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
85	84	necon4ad 2958	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
86	30, 85	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
87		simpl2 1192	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℤ)
88		simpl3 1193	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
89		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ≠ 0)
90		dvdsabsmod0 43004	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
91	87, 88, 89, 90	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = 0))
92		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
93	32	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℝ)
94		zre 12619	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℝ)
95	94	3ad2ant2 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℝ)
96	95	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℝ)
97		modabsdifz 43003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
98	93, 96, 89, 97	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
99	98	znegcld 12726	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ)
100		jm2.19lem4 43009	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ -((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
101	92, 87, 88, 99, 100	syl121anc 1376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
102	32	recnd 11290	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
104	35	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → 𝑀 ∈ ℂ)
105	104, 89	absrpcld 15488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℝ+)
106	93, 105	modcld 13916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℝ)
107	106	recnd 11290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) ∈ ℂ)
108	103, 107	subcld 11621	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ∈ ℂ)
109	108, 104, 89	divcld 12044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) ∈ ℂ)
110	109, 104	mulneg1d 11717	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))
111	110	oveq2d 7448	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
112	109, 104	mulcld 11282	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) ∈ ℂ)
113	103, 112	negsubd 11627	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 + -(((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
114	108, 104, 89	divcan1d 12045	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀) = (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))))
115	114	oveq2d 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
116	103, 107	nncand 11626	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀)))) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
117	115, 116	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 − (((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)) = (𝑁 mod (abs‘𝑀)))
118	111, 113, 117	3eqtrrd 2781	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑁 mod (abs‘𝑀)) = (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))
119	118	oveq2d 7448	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀))))
120	119	breq2d 5154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 − (𝑁 mod (abs‘𝑀))) / 𝑀) · 𝑀)))))
121	101, 120	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (abs‘𝑀)))))
122	86, 91, 121	3bitr4d 311	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))
123	20, 122	pm2.61dane 3028	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) ∥ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2939   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  ℂcc 11154  ℝcr 11155  0cc0 11156   + caddc 11159   · cmul 11161   < clt 11296   ≤ cle 11297   − cmin 11493  -cneg 11494   / cdiv 11921  ℕcn 12267  2c2 12322  ℕ₀cn0 12528  ℤcz 12615  ℤ_≥cuz 12879  ℝ⁺crp 13035   mod cmo 13910  abscabs 15274   ∥ cdvds 16291   Y_rm crmy 42917

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234  ax-addf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-ioc 13393  df-ico 13394  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-mod 13911  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-shft 15107  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-limsup 15508  df-clim 15525  df-rlim 15526  df-sum 15724  df-ef 16104  df-sin 16106  df-cos 16107  df-pi 16109  df-dvds 16292  df-gcd 16533  df-numer 16773  df-denom 16774  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-submnd 18798  df-mulg 19087  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-fbas 21362  df-fg 21363  df-cnfld 21366  df-top 22901  df-topon 22918  df-topsp 22940  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-nei 23107  df-lp 23145  df-perf 23146  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-haus 23324  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-fil 23855  df-fm 23947  df-flim 23948  df-flf 23949  df-xms 24331  df-ms 24332  df-tms 24333  df-cncf 24905  df-limc 25902  df-dv 25903  df-log 26599  df-squarenn 42857  df-pell1qr 42858  df-pell14qr 42859  df-pell1234qr 42860  df-pellfund 42861  df-rmx 42918  df-rmy 42919

This theorem is referenced by:  jm2.20nn  43014