Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.19 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.19 41717
Description: Lemma 2.19 of [JonesMatijasevic] p. 696. Transfer divisibility constraints between Y-values and their indices. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.19 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem jm2.19
StepHypRef Expression
1 rmyeq0 41677 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
213adant2 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
3 0dvds 16216 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (0 βˆ₯ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
433ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 βˆ₯ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
5 frmy 41638 . . . . . . . 8 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
65fovcl 7533 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
763adant2 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
8 0dvds 16216 . . . . . 6 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€ β†’ (0 βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
97, 8syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑁) = 0))
102, 4, 93bitr4d 310 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 βˆ₯ 𝑁 ↔ 0 βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
1110adantr 481 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (0 βˆ₯ 𝑁 ↔ 0 βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ 𝑀 = 0)
1312breq1d 5157 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ 0 βˆ₯ 𝑁))
1412oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) = (𝐴 Yrm 0))
15 simpl1 1191 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
16 rmy0 41653 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
1814, 17eqtrd 2772 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) = 0)
1918breq1d 5157 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ 0 βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
2011, 13, 193bitr4d 310 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 = 0) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
215fovcl 7533 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
22213adant3 1132 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
23 dvds0 16211 . . . . . . . 8 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ 0)
2422, 23syl 17 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ 0)
25163ad2ant1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
2624, 25breqtrrd 5175 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 0))
27 oveq2 7413 . . . . . . 7 ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) = (𝐴 Yrm 0))
2827breq2d 5159 . . . . . 6 ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 0)))
2926, 28syl5ibrcom 246 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
3029adantr 481 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
31 zre 12558 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
32313ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
3332ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
34 zcn 12559 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
35343ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝑀 β‰  0)
3836, 37absrpcld 15391 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
39 modlt 13841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) < (absβ€˜π‘€))
4033, 38, 39syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) < (absβ€˜π‘€))
41 simpll1 1212 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
42 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
43 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
44 nnabscl 15268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
4543, 37, 44syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•)
4642, 45zmodcld 13853 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„•0)
47 nn0abscl 15255 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•0)
48473ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•0)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•0)
50 ltrmynn0 41672 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„•0 ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ β„•0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) < (absβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) < (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€))))
5141, 46, 49, 50syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) < (absβ€˜π‘€) ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) < (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€))))
5240, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) < (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
5346nn0zd 12580 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„€)
54 rmyabs 41682 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) = (𝐴 Yrm (absβ€˜(𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
5541, 53, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) = (𝐴 Yrm (absβ€˜(𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
5633, 38modcld 13836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
57 modge0 13840 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))
5833, 38, 57syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ 0 ≀ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))
5956, 58absidd 15365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) = (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))
6059oveq2d 7421 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm (absβ€˜(𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))
6155, 60eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) = (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))
62 rmyabs 41682 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
6341, 43, 62syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) = (𝐴 Yrm (absβ€˜π‘€)))
6452, 61, 633brtr4d 5179 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) < (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)))
655fovcl 7533 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ∈ β„€)
6641, 53, 65syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ∈ β„€)
67 nn0abscl 15255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) ∈ β„•0)
6866, 67syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) ∈ β„•0)
6968nn0red 12529 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) ∈ ℝ)
7022ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
71 nn0abscl 15255 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„•0)
7270, 71syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ β„•0)
7372nn0red 12529 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ∈ ℝ)
7469, 73ltnled 11357 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ ((absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) < (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ↔ Β¬ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))))
7564, 74mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ Β¬ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
76 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0)
77 rmyeq0 41677 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„€) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) = 0))
7841, 53, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) = 0))
7978necon3bid 2985 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0 ↔ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β‰  0))
8076, 79mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β‰  0)
81 dvdsleabs2 16251 . . . . . . . 8 (((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))))
8270, 66, 80, 81syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β†’ (absβ€˜(𝐴 Yrm 𝑀)) ≀ (absβ€˜(𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))))
8375, 82mtod 197 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) ∧ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0) β†’ Β¬ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))
8483ex 413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) β‰  0 β†’ Β¬ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
8584necon4ad 2959 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0))
8630, 85impbid 211 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
87 simpl2 1192 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
88 simpl3 1193 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
89 simpr 485 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑀 β‰  0)
90 dvdsabsmod0 41711 . . . 4 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0))
9187, 88, 89, 90syl3anc 1371 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = 0))
92 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
9332adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ ℝ)
94 zre 12558 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ β„€ β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
95943ad2ant2 1134 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
9695adantr 481 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
97 modabsdifz 41710 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) ∈ β„€)
9893, 96, 89, 97syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) ∈ β„€)
9998znegcld 12664 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ -((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) ∈ β„€)
100 jm2.19lem4 41716 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ -((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))))
10192, 87, 88, 99, 100syl121anc 1375 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))))
10232recnd 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
103102adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
10435adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ 𝑀 ∈ β„‚)
105104, 89absrpcld 15391 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (absβ€˜π‘€) ∈ ℝ+)
10693, 105modcld 13836 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ ℝ)
107106recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) ∈ β„‚)
108103, 107subcld 11567 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ∈ β„‚)
109108, 104, 89divcld 11986 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) ∈ β„‚)
110109, 104mulneg1d 11663 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀) = -(((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀))
111110oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)) = (𝑁 + -(((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))
112109, 104mulcld 11230 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀) ∈ β„‚)
113103, 112negsubd 11573 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 + -(((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)) = (𝑁 βˆ’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))
114108, 104, 89divcan1d 11987 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))))
115114oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)) = (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
116103, 107nncand 11572 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))) = (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))
117115, 116eqtrd 2772 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 βˆ’ (((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)) = (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))
118111, 113, 1173eqtrrd 2777 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)) = (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))
119118oveq2d 7421 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) = (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀))))
120119breq2d 5159 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 + (-((𝑁 βˆ’ (𝑁 mod (absβ€˜π‘€))) / 𝑀) Β· 𝑀)))))
121101, 120bitr4d 281 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁) ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm (𝑁 mod (absβ€˜π‘€)))))
12286, 91, 1213bitr4d 310 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
12320, 122pm2.61dane 3029 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑀 βˆ₯ 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) βˆ₯ (𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β„+crp 12970   mod cmo 13830  abscabs 15177   βˆ₯ cdvds 16193   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by:  jm2.20nn  41721
  Copyright terms: Public domain W3C validator