Theorem dvdsexpnn0 42881

Description: dvdsexpnn 42880 generalized to include zero bases. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12469	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12469	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		dvdsexpnn 42880	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
4	3	3expia 1130	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
5		nncn 12204	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		expeq0 14091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylan 588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
8		0exp 14096	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
9	8	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
10	9	breq1d 5100	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐵↑𝑁)))
11		nnnn0 12474	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nnexpcl 14073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2 601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15		0dvds 16282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
17	10, 16	bitrd 281	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
18		nnz 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
19		0dvds 16282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
21	20	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
22	7, 17, 21	3bitr4rd 314	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23		breq1 5093	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
25	24	breq1d 5100	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
26	23, 25	bibi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
27	22, 26	imbitrrid 248	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
28	27	expdimp 455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
29		nnz 12575	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvds0 16277	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∥ 0)
32	31	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ 0)
33		nnexpcl 14073	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
34	11, 33	sylan2 601	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
36		dvds0 16277	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
38	8	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
39	37, 38	breqtrrd 5118	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))
40	32, 39	2thd 267	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
41		breq2 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
42		oveq1 7388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
43	42	breq2d 5102	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
44	41, 43	bibi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
45	40, 44	syl5ibrcom 249	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
46	45	impancom 454	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
47	8, 8	breq12d 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
48	47	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
49		breq12 5095	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 0))
50		simpl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
51	50	oveq1d 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
52		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
53	52	oveq1d 7396	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
54	51, 53	breq12d 5103	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
55	49, 54	bibi12d 347	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
56	48, 55	imbitrrid 248	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
57	4, 28, 46, 56	ccase 1046	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
58	1, 2, 57	syl2anb 606	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
59	58	3impia 1126	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 856   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   class class class wbr 5090  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  0cc0 11059  ℕcn 12196  ℕ₀cn0 12467  ℤcz 12554  ↑cexp 14060   ∥ cdvds 16258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-div 11831  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-rp 12980  df-fl 13788  df-mod 13866  df-seq 14001  df-exp 14061  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16259  df-gcd 16501

This theorem is referenced by:  dvdsexpb  42882