Theorem dvdsexpnn0 42369

Description: dvdsexpnn 42368 generalized to include zero bases. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12528	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		dvdsexpnn 42368	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
4	3	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
5		nncn 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		expeq0 14133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
8		0exp 14138	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
10	9	breq1d 5153	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐵↑𝑁)))
11		nnnn0 12533	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nnexpcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15		0dvds 16314	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
17	10, 16	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
18		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
19		0dvds 16314	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
22	7, 17, 21	3bitr4rd 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23		breq1 5146	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
25	24	breq1d 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
26	23, 25	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
27	22, 26	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
28	27	expdimp 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
29		nnz 12634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvds0 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∥ 0)
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ 0)
33		nnexpcl 14115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
34	11, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12640	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
36		dvds0 16309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
38	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
39	37, 38	breqtrrd 5171	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))
40	32, 39	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
41		breq2 5147	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
42		oveq1 7438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
43	42	breq2d 5155	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
44	41, 43	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
45	40, 44	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
46	45	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
47	8, 8	breq12d 5156	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
48	47	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
49		breq12 5148	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 0))
50		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
51	50	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
52		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
53	52	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
54	51, 53	breq12d 5156	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
55	49, 54	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
56	48, 55	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
57	4, 28, 46, 56	ccase 1038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
58	1, 2, 57	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
59	58	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ↑cexp 14102   ∥ cdvds 16290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532

This theorem is referenced by:  dvdsexpb  42370