Theorem dvdsexpnn0 42754

Description: dvdsexpnn 42753 generalized to include zero bases. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12428	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12428	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		dvdsexpnn 42753	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
4	3	3expia 1122	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
5		nncn 12171	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		expeq0 14043	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylan 581	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
8		0exp 14048	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
10	9	breq1d 5084	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐵↑𝑁)))
11		nnnn0 12433	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nnexpcl 14025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15		0dvds 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
17	10, 16	bitrd 279	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
18		nnz 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
19		0dvds 16234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
21	20	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
22	7, 17, 21	3bitr4rd 312	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23		breq1 5077	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
25	24	breq1d 5084	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
26	23, 25	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
27	22, 26	imbitrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
28	27	expdimp 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
29		nnz 12534	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvds0 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∥ 0)
32	31	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ 0)
33		nnexpcl 14025	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
34	11, 33	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12539	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
36		dvds0 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
38	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
39	37, 38	breqtrrd 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))
40	32, 39	2thd 265	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
41		breq2 5078	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
42		oveq1 7363	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
43	42	breq2d 5086	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
44	41, 43	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
45	40, 44	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
46	45	impancom 451	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
47	8, 8	breq12d 5087	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
48	47	bicomd 223	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
49		breq12 5079	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 0))
50		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
51	50	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
52		simpr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
53	52	oveq1d 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
54	51, 53	breq12d 5087	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
55	49, 54	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
56	48, 55	imbitrrid 246	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
57	4, 28, 46, 56	ccase 1038	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
58	1, 2, 57	syl2anb 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
59	58	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5074  (class class class)co 7356  ℂcc 11025  0cc0 11027  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426  ℤcz 12513  ↑cexp 14012   ∥ cdvds 16210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-sup 9344  df-inf 9345  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-n0 12427  df-z 12514  df-uz 12778  df-rp 12932  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-dvds 16211  df-gcd 16453

This theorem is referenced by:  dvdsexpb  42755