Theorem dvdsexpnn0 40813

Description: dvdsexpnn 40812 generalized to include zero bases. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12415	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12415	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		dvdsexpnn 40812	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
4	3	3expia 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
5		nncn 12161	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		expeq0 13998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylan 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
8		0exp 14003	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
9	8	adantl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
10	9	breq1d 5115	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐵↑𝑁)))
11		nnnn0 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15		0dvds 16159	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
17	10, 16	bitrd 278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
18		nnz 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
19		0dvds 16159	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
21	20	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
22	7, 17, 21	3bitr4rd 311	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23		breq1 5108	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
25	24	breq1d 5115	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
26	23, 25	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
27	22, 26	syl5ibr 245	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
28	27	expdimp 453	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
29		nnz 12520	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvds0 16154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
31	29, 30	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∥ 0)
32	31	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ 0)
33		nnexpcl 13980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
34	11, 33	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12526	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
36		dvds0 16154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
37	35, 36	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
38	8	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
39	37, 38	breqtrrd 5133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))
40	32, 39	2thd 264	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
41		breq2 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
42		oveq1 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
43	42	breq2d 5117	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
44	41, 43	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
45	40, 44	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
46	45	impancom 452	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
47	8, 8	breq12d 5118	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
48	47	bicomd 222	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
49		breq12 5110	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 0))
50		simpl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
51	50	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
52		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
53	52	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
54	51, 53	breq12d 5118	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
55	49, 54	bibi12d 345	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
56	48, 55	syl5ibr 245	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
57	4, 28, 46, 56	ccase 1036	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
58	1, 2, 57	syl2anb 598	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
59	58	3impia 1117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5105  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  0cc0 11051  ℕcn 12153  ℕ₀cn0 12413  ℤcz 12499  ↑cexp 13967   ∥ cdvds 16136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-sup 9378  df-inf 9379  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-dvds 16137  df-gcd 16375

This theorem is referenced by:  dvdsexpb  40814