Theorem dvdsexpnn0 43579

Description: dvdsexpnn 16769 generalized to include zero bases. (Contributed by SN, 15-Sep-2024.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsexpnn0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

Proof of Theorem dvdsexpnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12635	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 ↔ (𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0))
2		elnn0 12635	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ0 ↔ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0))
3		dvdsexpnn 16769	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
4	3	3expia 1139	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
5		nncn 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℂ)
6		expeq0 14262	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
7	5, 6	sylan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐵↑𝑁) = 0 ↔ 𝐵 = 0))
8		0exp 14267	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0↑𝑁) = 0)
9	8	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
10	9	breq1d 5116	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ 0 ∥ (𝐵↑𝑁)))
11		nnnn0 12640	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
12		nnexpcl 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
13	11, 12	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℕ)
14	13	nnzd 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵↑𝑁) ∈ ℤ)
15		0dvds 16475	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵↑𝑁) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
16	14, 15	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
17	10, 16	bitrd 282	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐵↑𝑁) = 0))
18		nnz 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℤ)
19		0dvds 16475	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
21	20	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ 𝐵 = 0))
22	7, 17, 21	3bitr4rd 315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
23		breq1 5109	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 𝐵))
24		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 = 0 → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
25	24	breq1d 5116	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))
26	23, 25	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 𝐵 ↔ (0↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
27	22, 26	imbitrrid 249	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 0 → ((𝐵 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
28	27	expdimp 458	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
29		nnz 12741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℤ)
30		dvds0 16470	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℤ → 𝐴 ∥ 0)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∥ 0)
32	31	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∥ 0)
33		nnexpcl 14244	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
34	11, 33	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℕ)
35	34	nnzd 12746	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℤ)
36		dvds0 16470	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴↑𝑁) ∈ ℤ → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
37	35, 36	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ 0)
38	8	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0↑𝑁) = 0)
39	37, 38	breqtrrd 5136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))
40	32, 39	2thd 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
41		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 𝐴 ∥ 0))
42		oveq1 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 = 0 → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
43	42	breq2d 5118	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
44	41, 43	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 0 → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (𝐴 ∥ 0 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
45	40, 44	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐵 = 0 → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
46	45	impancom 457	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
47	8, 8	breq12d 5119	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → ((0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁) ↔ 0 ∥ 0))
48	47	bicomd 226	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
49		breq12 5111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ 0 ∥ 0))
50		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐴 = 0)
51	50	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐴↑𝑁) = (0↑𝑁))
52		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → 𝐵 = 0)
53	52	oveq1d 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝐵↑𝑁) = (0↑𝑁))
54	51, 53	breq12d 5119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁) ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁)))
55	49, 54	bibi12d 348	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → ((𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)) ↔ (0 ∥ 0 ↔ (0↑𝑁) ∥ (0↑𝑁))))
56	48, 55	imbitrrid 249	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 0 ∧ 𝐵 = 0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
57	4, 28, 46, 56	ccase 1053	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ ∨ 𝐴 = 0) ∧ (𝐵 ∈ ℕ ∨ 𝐵 = 0)) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
58	1, 2, 57	syl2anb 610	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁))))
59	58	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 ∥ 𝐵 ↔ (𝐴↑𝑁) ∥ (𝐵↑𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  0cc0 11227  ℕcn 12362  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ↑cexp 14231   ∥ cdvds 16451

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8745  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-sup 9461  df-inf 9462  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-n0 12634  df-z 12721  df-uz 12993  df-rp 13148  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-dvds 16452  df-gcd 16694

This theorem is used by:  dvdsexpb  43580