MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  torsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem torsubg 19639
Description: The set of all elements of finite order forms a subgroup of any abelian group, called the torsion subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Oct-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
torsubg.1 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
torsubg (𝐺 ∈ Abel β†’ (◑𝑂 β€œ β„•) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))

Proof of Theorem torsubg
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cnvimass 6038 . . . 4 (◑𝑂 β€œ β„•) βŠ† dom 𝑂
2 eqid 2737 . . . . . 6 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
3 torsubg.1 . . . . . 6 𝑂 = (odβ€˜πΊ)
42, 3odf 19326 . . . . 5 𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0
54fdmi 6685 . . . 4 dom 𝑂 = (Baseβ€˜πΊ)
61, 5sseqtri 3985 . . 3 (◑𝑂 β€œ β„•) βŠ† (Baseβ€˜πΊ)
76a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ (◑𝑂 β€œ β„•) βŠ† (Baseβ€˜πΊ))
8 ablgrp 19574 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
102, 9grpidcl 18785 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
118, 10syl 17 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
123, 9od1 19348 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp β†’ (π‘‚β€˜(0gβ€˜πΊ)) = 1)
138, 12syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Abel β†’ (π‘‚β€˜(0gβ€˜πΊ)) = 1)
14 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ β„•
1513, 14eqeltrdi 2846 . . . 4 (𝐺 ∈ Abel β†’ (π‘‚β€˜(0gβ€˜πΊ)) ∈ β„•)
16 ffn 6673 . . . . . 6 (𝑂:(Baseβ€˜πΊ)βŸΆβ„•0 β†’ 𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ))
174, 16ax-mp 5 . . . . 5 𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ)
18 elpreima 7013 . . . . 5 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ ((0gβ€˜πΊ) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ ((0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜(0gβ€˜πΊ)) ∈ β„•)))
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 ((0gβ€˜πΊ) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ ((0gβ€˜πΊ) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜(0gβ€˜πΊ)) ∈ β„•))
2011, 15, 19sylanbrc 584 . . 3 (𝐺 ∈ Abel β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•))
2120ne0d 4300 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ (◑𝑂 β€œ β„•) β‰  βˆ…)
228ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
236sseli 3945 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2423ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
256sseli 3945 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2625adantl 483 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
282, 27grpcl 18763 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
2922, 24, 26, 28syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
30 0nnn 12196 . . . . . . . . 9 Β¬ 0 ∈ β„•
312, 3odcl 19325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3224, 31syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•0)
3332nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„€)
342, 3odcl 19325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
3526, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•0)
3635nn0zd 12532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„€)
3733, 36gcdcld 16395 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„•0)
3837nn0cnd 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„‚)
3938mul02d 11360 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) = 0)
4039breq1d 5120 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ↔ 0 βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦))))
4133, 36zmulcld 12620 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„€)
42 0dvds 16166 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„€ β†’ (0 βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) = 0))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (0 βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) = 0))
4440, 43bitrd 279 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ↔ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) = 0))
45 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•)))
4617, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•))
4746simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•)
4847ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•)
49 elpreima 7013 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•)))
5017, 49ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•))
5150simprbi 498 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•)
5251adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘¦) ∈ β„•)
5348, 52nnmulcld 12213 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„•)
54 eleq1 2826 . . . . . . . . . . 11 (((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) = 0 β†’ (((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ∈ β„• ↔ 0 ∈ β„•))
5553, 54syl5ibcom 244 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) = 0 β†’ 0 ∈ β„•))
5644, 55sylbid 239 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) β†’ 0 ∈ β„•))
5730, 56mtoi 198 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ Β¬ (0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)))
58 simpll 766 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ 𝐺 ∈ Abel)
593, 2, 27odadd1 19633 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)))
6058, 24, 26, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)))
61 oveq1 7369 . . . . . . . . . 10 ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0 β†’ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) = (0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))))
6261breq1d 5120 . . . . . . . . 9 ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0 β†’ (((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦)) ↔ (0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦))))
6360, 62syl5ibcom 244 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0 β†’ (0 Β· ((π‘‚β€˜π‘₯) gcd (π‘‚β€˜π‘¦))) βˆ₯ ((π‘‚β€˜π‘₯) Β· (π‘‚β€˜π‘¦))))
6457, 63mtod 197 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ Β¬ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0)
652, 3odcl 19325 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ) β†’ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•0)
6629, 65syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•0)
67 elnn0 12422 . . . . . . . . 9 ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•0 ↔ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„• ∨ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0))
6866, 67sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„• ∨ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0))
6968ord 863 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (Β¬ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„• β†’ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) = 0))
7064, 69mt3d 148 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•)
71 elpreima 7013 . . . . . . 7 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•)))
7217, 71ax-mp 5 . . . . . 6 ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ ((π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦)) ∈ β„•))
7329, 70, 72sylanbrc 584 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) ∧ 𝑦 ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•))
7473ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•))
75 eqid 2737 . . . . . . 7 (invgβ€˜πΊ) = (invgβ€˜πΊ)
762, 75grpinvcl 18805 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
778, 23, 76syl2an 597 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
783, 75, 2odinv 19350 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘‚β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (π‘‚β€˜π‘₯))
798, 23, 78syl2an 597 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) = (π‘‚β€˜π‘₯))
8047adantl 483 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜π‘₯) ∈ β„•)
8179, 80eqeltrd 2838 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (π‘‚β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) ∈ β„•)
82 elpreima 7013 . . . . . 6 (𝑂 Fn (Baseβ€˜πΊ) β†’ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) ∈ β„•)))
8317, 82ax-mp 5 . . . . 5 (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ↔ (((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ (π‘‚β€˜((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯)) ∈ β„•))
8477, 81, 83sylanbrc 584 . . . 4 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•))
8574, 84jca 513 . . 3 ((𝐺 ∈ Abel ∧ π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)) β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)))
8685ralrimiva 3144 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)))
872, 27, 75issubg2 18950 . . 3 (𝐺 ∈ Grp β†’ ((◑𝑂 β€œ β„•) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ ((◑𝑂 β€œ β„•) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (◑𝑂 β€œ β„•) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)))))
888, 87syl 17 . 2 (𝐺 ∈ Abel β†’ ((◑𝑂 β€œ β„•) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ) ↔ ((◑𝑂 β€œ β„•) βŠ† (Baseβ€˜πΊ) ∧ (◑𝑂 β€œ β„•) β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(βˆ€π‘¦ ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)(π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•) ∧ ((invgβ€˜πΊ)β€˜π‘₯) ∈ (◑𝑂 β€œ β„•)))))
897, 21, 86, 88mpbir3and 1343 1 (𝐺 ∈ Abel β†’ (◑𝑂 β€œ β„•) ∈ (SubGrpβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   class class class wbr 5110  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   Β· cmul 11063  β„•cn 12160  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506   βˆ₯ cdvds 16143   gcd cgcd 16381  Basecbs 17090  +gcplusg 17140  0gc0g 17328  Grpcgrp 18755  invgcminusg 18756  SubGrpcsubg 18929  odcod 19313  Abelcabl 19570
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-od 19317  df-cmn 19571  df-abl 19572
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator