Theorem rpdvds 16581

Description: If 𝐾 is relatively prime to 𝑁 then it is also relatively prime to any divisor 𝑀 of 𝑁. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rpdvds	⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)

Proof of Theorem rpdvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → 𝐾 ∈ ℤ)
2		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		gcddvds 16424	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀))
5	4	simpld 494	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾)
6		ax-1ne0 11085	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ≠ 0
7		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) = 1)
8	7	neeq1d 2989	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0 ↔ 1 ≠ 0))
9	6, 8	mpbiri 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑁) ≠ 0)
10	9	neneqd 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝐾 gcd 𝑁) = 0)
11		simprl 770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 𝐾 = 0)
12		simprr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 𝑀 = 0)
13		simplrr 777	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
14	12, 13	eqbrtrrd 5119	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 0 ∥ 𝑁)
15		simpll3 1215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 𝑁 ∈ ℤ)
16		0dvds 16197	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
18	14, 17	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → 𝑁 = 0)
19	11, 18	jca 511	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) ∧ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
20	19	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
21		simpl3 1194	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → 𝑁 ∈ ℤ)
22		gcdeq0 16438	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
23	1, 21, 22	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑁) = 0 ↔ (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0)))
24	20, 23	sylibrd 259	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0) → (𝐾 gcd 𝑁) = 0))
25	10, 24	mtod 198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0))
26		gcdn0cl 16423	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∧ 𝑀 = 0)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
27	1, 2, 25, 26	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ)
28	27	nnzd 12505	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ)
29	4	simprd 495	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑀)
30		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → 𝑀 ∥ 𝑁)
31	28, 2, 21, 29, 30	dvdstrd 16216	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑁)
32	10, 23	mtbid 324	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ¬ (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0))
33		dvdslegcd 16425	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝐾 = 0 ∧ 𝑁 = 0)) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 gcd 𝑀) ≤ (𝐾 gcd 𝑁)))
34	28, 1, 21, 32, 33	syl31anc 1375	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (((𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝐾 ∧ (𝐾 gcd 𝑀) ∥ 𝑁) → (𝐾 gcd 𝑀) ≤ (𝐾 gcd 𝑁)))
35	5, 31, 34	mp2and 699	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ≤ (𝐾 gcd 𝑁))
36	35, 7	breqtrd 5121	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) ≤ 1)
37		nnle1eq1 12165	. . 3 ⊢ ((𝐾 gcd 𝑀) ∈ ℕ → ((𝐾 gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ (𝐾 gcd 𝑀) = 1))
38	27, 37	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → ((𝐾 gcd 𝑀) ≤ 1 ↔ (𝐾 gcd 𝑀) = 1))
39	36, 38	mpbid 232	1 ⊢ (((𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ ((𝐾 gcd 𝑁) = 1 ∧ 𝑀 ∥ 𝑁)) → (𝐾 gcd 𝑀) = 1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  0cc0 11016  1c1 11017   ≤ cle 11157  ℕcn 12135  ℤcz 12478   ∥ cdvds 16173   gcd cgcd 16415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11072  ax-resscn 11073  ax-1cn 11074  ax-icn 11075  ax-addcl 11076  ax-addrcl 11077  ax-mulcl 11078  ax-mulrcl 11079  ax-mulcom 11080  ax-addass 11081  ax-mulass 11082  ax-distr 11083  ax-i2m1 11084  ax-1ne0 11085  ax-1rid 11086  ax-rnegex 11087  ax-rrecex 11088  ax-cnre 11089  ax-pre-lttri 11090  ax-pre-lttrn 11091  ax-pre-ltadd 11092  ax-pre-mulgt0 11093  ax-pre-sup 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8879  df-dom 8880  df-sdom 8881  df-sup 9336  df-inf 9337  df-pnf 11158  df-mnf 11159  df-xr 11160  df-ltxr 11161  df-le 11162  df-sub 11356  df-neg 11357  df-div 11785  df-nn 12136  df-2 12198  df-3 12199  df-n0 12392  df-z 12479  df-uz 12743  df-rp 12901  df-seq 13919  df-exp 13979  df-cj 15016  df-re 15017  df-im 15018  df-sqrt 15152  df-abs 15153  df-dvds 16174  df-gcd 16416

This theorem is referenced by:  pgpfac1lem2  19999  mpodvdsmulf1o  27141  dvdsmulf1o  27143  lgsquad2lem2  27333  aks6d1c1  42219  aks6d1c4  42227  aks5  42307