Theorem oddvds 19675

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvds	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
2		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsval3 16350	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
5		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulg0 19198	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
12	11	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
14	2	zred 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	1	nnrpd 13086	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
16		modlt 13943	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
18	2, 1	zmodcld 13955	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	1	nnred 12275	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19, 20	ltnled 11384	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴) ↔ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
23		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	6, 23, 8, 7	odlem2 19667	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
25		elfzle2 13584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
27	26	3com23 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
28	27	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
29	28	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
30	29	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
31	5, 22, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
32		elnn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
33	18, 32	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
34	33	ord 878	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
35	31, 34	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
36	13, 35	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
37	6, 23, 8, 7	odmod 19674	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
38	37	eqeq1d 2764	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
39	4, 36, 38	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
41	40	breq1d 5117	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		0dvds 16370	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
44	42, 43	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
45		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
46	45, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47		oveq1 7423	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
48	47	eqeq1d 2764	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
49	46, 48	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
50	6, 23, 8, 7	odnncl 19673	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
51	50	nnne0d 12313	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
52	51	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
53	52	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
54	53	necon4d 2981	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
55	54	impancom 457	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
56	49, 55	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
57	41, 44, 56	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
58	6, 23	odcl 19664	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
59	58	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
60		elnn0 12533	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
62	39, 57, 61	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕcn 12260  ℕ₀cn0 12531  ℤcz 12618  ℝ⁺crp 13044  ...cfz 13563   mod cmo 13932   ∥ cdvds 16346  Basecbs 17305  0_gc0g 17528  Grpcgrp 19058  ._gcmg 19191  odcod 19652

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-fz 13564  df-fl 13855  df-mod 13933  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-dvds 16347  df-0g 17530  df-mgm 18734  df-sgrp 18823  df-mnd 18839  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-od 19656

This theorem is used by:  oddvdsi  19676  odcong  19677  odeq  19678  odmulgid  19682  odbezout  19686  gexdvds2  19713  gexod  19714  gexcl3  19715  odadd1  19976  odadd2  19977  oddvdssubg  19983  pgpfac1lem3a  20206  ablsimpgfindlem2  20238  chrdvds  21740  dchrfi  27489  dchrabs  27494  dchrptlem2  27499  idomodle  44019