Theorem oddvds 19565

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvds	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
2		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsval3 16294	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
5		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulg0 19092	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
12	11	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
14	2	zred 12722	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	1	nnrpd 13075	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
16		modlt 13920	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
18	2, 1	zmodcld 13932	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12588	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	1	nnred 12281	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19, 20	ltnled 11408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴) ↔ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
23		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	6, 23, 8, 7	odlem2 19557	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
25		elfzle2 13568	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
27	26	3com23 1127	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
28	27	3expia 1122	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
29	28	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
30	29	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
31	5, 22, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
32		elnn0 12528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
33	18, 32	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
34	33	ord 865	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
35	31, 34	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
36	13, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
37	6, 23, 8, 7	odmod 19564	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
38	37	eqeq1d 2739	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
39	4, 36, 38	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
41	40	breq1d 5153	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		0dvds 16314	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
45		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
46	45, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
48	47	eqeq1d 2739	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
49	46, 48	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
50	6, 23, 8, 7	odnncl 19563	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
51	50	nnne0d 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
52	51	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
53	52	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
54	53	necon4d 2964	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
55	54	impancom 451	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
56	49, 55	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
57	41, 44, 56	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
58	6, 23	odcl 19554	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
59	58	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
60		elnn0 12528	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
61	59, 60	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
62	39, 57, 61	mpjaodan 961	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295   ≤ cle 11296  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  ℤcz 12613  ℝ⁺crp 13034  ...cfz 13547   mod cmo 13909   ∥ cdvds 16290  Basecbs 17247  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  odcod 19542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-od 19546

This theorem is referenced by:  oddvdsi  19566  odcong  19567  odeq  19568  odmulgid  19572  odbezout  19576  gexdvds2  19603  gexod  19604  gexcl3  19605  odadd1  19866  odadd2  19867  oddvdssubg  19873  pgpfac1lem3a  20096  ablsimpgfindlem2  20128  chrdvds  21541  dchrfi  27299  dchrabs  27304  dchrptlem2  27309  idomodle  43203