MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds 19409
Description: The only multiples of ๐ด that are equal to the identity are the multiples of the order of ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
oddvds ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds
StepHypRef Expression
1 simpr 485 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2 simpl3 1193 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 dvdsval3 16197 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
41, 2, 3syl2anc 584 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
5 simpl2 1192 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
6 odcl.1 . . . . . . 7 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
7 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
8 odid.3 . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulg0 18951 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
105, 9syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
11 oveq1 7412 . . . . . 6 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
1211eqeq1d 2734 . . . . 5 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท ๐ด) = 0 ))
1310, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ))
142zred 12662 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
151nnrpd 13010 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
16 modlt 13841 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
1714, 15, 16syl2anc 584 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
182, 1zmodcld 13853 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1918nn0red 12529 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
201nnred 12223 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2119, 20ltnled 11357 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
2217, 21mpbid 231 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
23 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
246, 23, 8, 7odlem2 19401 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
25 elfzle2 13501 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
27263com23 1126 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
28273expia 1121 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
2928con3d 152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
3029impancom 452 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
315, 22, 30syl2anc 584 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
32 elnn0 12470 . . . . . . 7 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3318, 32sylib 217 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3433ord 862 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3531, 34syld 47 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3613, 35impbid 211 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†” ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ))
376, 23, 8, 7odmod 19408 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
3837eqeq1d 2734 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
394, 36, 383bitrd 304 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
40 simpr 485 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0)
4140breq1d 5157 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” 0 โˆฅ ๐‘))
42 simpl3 1193 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43 0dvds 16216 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
4442, 43syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
45 simpl2 1192 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
4645, 9syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
47 oveq1 7412 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
4847eqeq1d 2734 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท ๐ด) = 0 ))
4946, 48syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
506, 23, 8, 7odnncl 19407 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5150nnne0d 12258 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0)
5251expr 457 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0))
5352impancom 452 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0))
5453necon4d 2964 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5554impancom 452 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5649, 55impbid 211 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
5741, 44, 563bitrd 304 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
586, 23odcl 19398 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
59583ad2ant2 1134 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
60 elnn0 12470 . . 3 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0))
6159, 60sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0))
6239, 57, 61mpjaodan 957 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5147  โ€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  โ„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   < clt 11244   โ‰ค cle 11245  โ„•cn 12208  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„+crp 12970  ...cfz 13480   mod cmo 13830   โˆฅ cdvds 16193  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  .gcmg 18944  odcod 19386
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-od 19390
This theorem is referenced by:  oddvdsi  19410  odcong  19411  odeq  19412  odmulgid  19416  odbezout  19420  gexdvds2  19447  gexod  19448  gexcl3  19449  odadd1  19710  odadd2  19711  oddvdssubg  19717  pgpfac1lem3a  19940  ablsimpgfindlem2  19972  chrdvds  21071  dchrfi  26747  dchrabs  26752  dchrptlem2  26757  idomodle  41923
  Copyright terms: Public domain W3C validator