MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds 18174
Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvds ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds
StepHypRef Expression
1 simpr 471 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
2 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3 dvdsval3 15194 . . . 4 (((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
41, 2, 3syl2anc 567 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
5 simpl2 1229 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴𝑋)
6 odcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
7 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
8 odid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
96, 7, 8mulg0 17755 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
105, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11 oveq1 6801 . . . . . 6 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1211eqeq1d 2773 . . . . 5 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
1310, 12syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
142zred 11685 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
151nnrpd 12074 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ+)
16 modlt 12888 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
1714, 15, 16syl2anc 567 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴))
182, 1zmodcld 12900 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0)
1918nn0red 11555 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℝ)
201nnred 11238 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ ℝ)
2119, 20ltnled 10387 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) < (𝑂𝐴) ↔ ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
2217, 21mpbid 222 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
23 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 𝑂 = (od‘𝐺)
246, 23, 8, 7odlem2 18166 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂𝐴))))
25 elfzle2 12553 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
27263com23 1120 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)))
28273expia 1114 . . . . . . . 8 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))))
2928con3d 149 . . . . . . 7 ((𝐴𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
3029impancom 439 . . . . . 6 ((𝐴𝑋 ∧ ¬ (𝑂𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
315, 22, 30syl2anc 567 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ))
32 elnn0 11497 . . . . . . 7 ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3318, 32sylib 208 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3433ord 845 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3531, 34syld 47 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0))
3613, 35impbid 202 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
376, 23, 8, 7odmod 18173 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
3837eqeq1d 2773 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
394, 36, 383bitrd 294 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40 simpr 471 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
4140breq1d 4797 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42 simpl3 1231 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43 0dvds 15212 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
4442, 43syl 17 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
45 simpl2 1229 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝐴𝑋)
4645, 9syl 17 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47 oveq1 6801 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
4847eqeq1d 2773 . . . . 5 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
4946, 48syl5ibrcom 237 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
506, 23, 8, 7odnncl 18172 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
5150nnne0d 11268 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
5251expr 444 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂𝐴) ≠ 0))
5352impancom 439 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂𝐴) ≠ 0))
5453necon4d 2967 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
5554impancom 439 . . . 4 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 = 0))
5649, 55impbid 202 . . 3 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
5741, 44, 563bitrd 294 . 2 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
586, 23odcl 18163 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
59583ad2ant2 1128 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
60 elnn0 11497 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
6159, 60sylib 208 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
6239, 57, 61mpjaodan 933 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382  wo 828  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943   class class class wbr 4787  cfv 6032  (class class class)co 6794  cr 10138  0cc0 10139  1c1 10140   < clt 10277  cle 10278  cn 11223  0cn0 11495  cz 11580  +crp 12036  ...cfz 12534   mod cmo 12877  cdvds 15190  Basecbs 16065  0gc0g 16309  Grpcgrp 17631  .gcmg 17749  odcod 18152
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7097  ax-inf2 8703  ax-cnex 10195  ax-resscn 10196  ax-1cn 10197  ax-icn 10198  ax-addcl 10199  ax-addrcl 10200  ax-mulcl 10201  ax-mulrcl 10202  ax-mulcom 10203  ax-addass 10204  ax-mulass 10205  ax-distr 10206  ax-i2m1 10207  ax-1ne0 10208  ax-1rid 10209  ax-rnegex 10210  ax-rrecex 10211  ax-cnre 10212  ax-pre-lttri 10213  ax-pre-lttrn 10214  ax-pre-ltadd 10215  ax-pre-mulgt0 10216  ax-pre-sup 10217
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 829  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3589  df-csb 3684  df-dif 3727  df-un 3729  df-in 3731  df-ss 3738  df-pss 3740  df-nul 4065  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5824  df-ord 5870  df-on 5871  df-lim 5872  df-suc 5873  df-iota 5995  df-fun 6034  df-fn 6035  df-f 6036  df-f1 6037  df-fo 6038  df-f1o 6039  df-fv 6040  df-riota 6755  df-ov 6797  df-oprab 6798  df-mpt2 6799  df-om 7214  df-1st 7316  df-2nd 7317  df-wrecs 7560  df-recs 7622  df-rdg 7660  df-er 7897  df-en 8111  df-dom 8112  df-sdom 8113  df-sup 8505  df-inf 8506  df-pnf 10279  df-mnf 10280  df-xr 10281  df-ltxr 10282  df-le 10283  df-sub 10471  df-neg 10472  df-div 10888  df-nn 11224  df-2 11282  df-3 11283  df-n0 11496  df-z 11581  df-uz 11890  df-rp 12037  df-fz 12535  df-fl 12802  df-mod 12878  df-seq 13010  df-exp 13069  df-cj 14048  df-re 14049  df-im 14050  df-sqrt 14184  df-abs 14185  df-dvds 15191  df-0g 16311  df-mgm 17451  df-sgrp 17493  df-mnd 17504  df-grp 17634  df-minusg 17635  df-sbg 17636  df-mulg 17750  df-od 18156
This theorem is referenced by:  oddvdsi  18175  odcong  18176  odeq  18177  odmulgid  18179  odbezout  18183  gexdvds2  18208  gexod  18209  gexcl3  18210  odadd1  18459  odadd2  18460  oddvdssubg  18466  pgpfac1lem3a  18684  chrdvds  20092  dchrfi  25202  dchrabs  25207  dchrptlem2  25212  idomodle  38301
  Copyright terms: Public domain W3C validator