Theorem oddvds 19452

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvds	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
2		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsval3 16159	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
5		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulg0 18979	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
10	5, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
12	11	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
14	2	zred 12569	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	1	nnrpd 12924	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
16		modlt 13776	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
18	2, 1	zmodcld 13788	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12435	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	1	nnred 12132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19, 20	ltnled 11252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴) ↔ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
22	17, 21	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
23		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	6, 23, 8, 7	odlem2 19444	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
25		elfzle2 13420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
27	26	3com23 1126	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
28	27	3expia 1121	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
29	28	con3d 152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
30	29	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
31	5, 22, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
32		elnn0 12375	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
33	18, 32	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
34	33	ord 864	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
35	31, 34	syld 47	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
36	13, 35	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
37	6, 23, 8, 7	odmod 19451	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
38	37	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
39	4, 36, 38	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
41	40	breq1d 5099	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42		simpl3 1194	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		0dvds 16179	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
44	42, 43	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
45		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
46	45, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47		oveq1 7348	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
48	47	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
49	46, 48	syl5ibrcom 247	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
50	6, 23, 8, 7	odnncl 19450	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
51	50	nnne0d 12167	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
52	51	expr 456	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
53	52	impancom 451	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
54	53	necon4d 2950	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
55	54	impancom 451	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
56	49, 55	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
57	41, 44, 56	3bitrd 305	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
58	6, 23	odcl 19441	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
59	58	3ad2ant2 1134	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
60		elnn0 12375	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
61	59, 60	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
62	39, 57, 61	mpjaodan 960	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926   class class class wbr 5089  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  ℝcr 10997  0cc0 10998  1c1 10999   < clt 11138   ≤ cle 11139  ℕcn 12117  ℕ₀cn0 12373  ℤcz 12460  ℝ⁺crp 12882  ...cfz 13399   mod cmo 13765   ∥ cdvds 16155  Basecbs 17112  0_gc0g 17335  Grpcgrp 18838  ._gcmg 18972  odcod 19429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075  ax-pre-sup 11076

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-div 11767  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-n0 12374  df-z 12461  df-uz 12725  df-rp 12883  df-fz 13400  df-fl 13688  df-mod 13766  df-seq 13901  df-exp 13961  df-cj 14998  df-re 14999  df-im 15000  df-sqrt 15134  df-abs 15135  df-dvds 16156  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-minusg 18842  df-sbg 18843  df-mulg 18973  df-od 19433

This theorem is referenced by:  oddvdsi  19453  odcong  19454  odeq  19455  odmulgid  19459  odbezout  19463  gexdvds2  19490  gexod  19491  gexcl3  19492  odadd1  19753  odadd2  19754  oddvdssubg  19760  pgpfac1lem3a  19983  ablsimpgfindlem2  20015  chrdvds  21456  dchrfi  27186  dchrabs  27191  dchrptlem2  27196  idomodle  43203