MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvds 19415
Description: The only multiples of ๐ด that are equal to the identity are the multiples of the order of ๐ด. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
odcl.2 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
odid.3 ยท = (.gโ€˜๐บ)
odid.4 0 = (0gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
oddvds ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds
StepHypRef Expression
1 simpr 486 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
2 simpl3 1194 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
3 dvdsval3 16201 . . . 4 (((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
41, 2, 3syl2anc 585 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
5 simpl2 1193 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
6 odcl.1 . . . . . . 7 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
7 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0gโ€˜๐บ)
8 odid.3 . . . . . . 7 ยท = (.gโ€˜๐บ)
96, 7, 8mulg0 18957 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
105, 9syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
11 oveq1 7416 . . . . . 6 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
1211eqeq1d 2735 . . . . 5 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท ๐ด) = 0 ))
1310, 12syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ))
142zred 12666 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
151nnrpd 13014 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+)
16 modlt 13845 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
1714, 15, 16syl2anc 585 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด))
182, 1zmodcld 13857 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0)
1918nn0red 12533 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„)
201nnred 12227 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
2119, 20ltnled 11361 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) < (๐‘‚โ€˜๐ด) โ†” ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
2217, 21mpbid 231 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
23 odcl.2 . . . . . . . . . . . 12 ๐‘‚ = (odโ€˜๐บ)
246, 23, 8, 7odlem2 19407 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
25 elfzle2 13505 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ (1...(๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
2624, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
27263com23 1127 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โˆง (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)))
28273expia 1122 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))))
2928con3d 152 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
3029impancom 453 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ยฌ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰ค (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด))) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
315, 22, 30syl2anc 585 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•))
32 elnn0 12474 . . . . . . 7 ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3318, 32sylib 217 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3433ord 863 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (ยฌ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3531, 34syld 47 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0))
3613, 35impbid 211 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) = 0 โ†” ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 ))
376, 23, 8, 7odmod 19414 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = (๐‘ ยท ๐ด))
3837eqeq1d 2735 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ (((๐‘ mod (๐‘‚โ€˜๐ด)) ยท ๐ด) = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
394, 36, 383bitrd 305 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
40 simpr 486 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0)
4140breq1d 5159 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” 0 โˆฅ ๐‘))
42 simpl3 1194 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
43 0dvds 16220 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
4442, 43syl 17 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (0 โˆฅ ๐‘ โ†” ๐‘ = 0))
45 simpl2 1193 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐‘‹)
4645, 9syl 17 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (0 ยท ๐ด) = 0 )
47 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = (0 ยท ๐ด))
4847eqeq1d 2735 . . . . 5 (๐‘ = 0 โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†” (0 ยท ๐ด) = 0 ))
4946, 48syl5ibrcom 246 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘ = 0 โ†’ (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
506, 23, 8, 7odnncl 19413 . . . . . . . . 9 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•)
5150nnne0d 12262 . . . . . . . 8 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ โ‰  0 โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 )) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0)
5251expr 458 . . . . . . 7 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง ๐‘ โ‰  0) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0))
5352impancom 453 . . . . . 6 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ (๐‘ โ‰  0 โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โ‰  0))
5453necon4d 2965 . . . . 5 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5554impancom 453 . . . 4 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘ ยท ๐ด) = 0 โ†’ ๐‘ = 0))
5649, 55impbid 211 . . 3 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ (๐‘ = 0 โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
5741, 44, 563bitrd 305 . 2 (((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โˆง (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
586, 23odcl 19404 . . . 4 (๐ด โˆˆ ๐‘‹ โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
59583ad2ant2 1135 . . 3 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0)
60 elnn0 12474 . . 3 ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„•0 โ†” ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0))
6159, 60sylib 217 . 2 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆˆ โ„• โˆจ (๐‘‚โ€˜๐ด) = 0))
6239, 57, 61mpjaodan 958 1 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐ด โˆˆ ๐‘‹ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ค) โ†’ ((๐‘‚โ€˜๐ด) โˆฅ ๐‘ โ†” (๐‘ ยท ๐ด) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   < clt 11248   โ‰ค cle 11249  โ„•cn 12212  โ„•0cn0 12472  โ„คcz 12558  โ„+crp 12974  ...cfz 13484   mod cmo 13834   โˆฅ cdvds 16197  Basecbs 17144  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  odcod 19392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-od 19396
This theorem is referenced by:  oddvdsi  19416  odcong  19417  odeq  19418  odmulgid  19422  odbezout  19426  gexdvds2  19453  gexod  19454  gexcl3  19455  odadd1  19716  odadd2  19717  oddvdssubg  19723  pgpfac1lem3a  19946  ablsimpgfindlem2  19978  chrdvds  21080  dchrfi  26758  dchrabs  26763  dchrptlem2  26768  idomodle  41938
  Copyright terms: Public domain W3C validator