Theorem oddvds 19761

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvds	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvds

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
2		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		dvdsval3 16426	. . . 4 ⊢ (((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
5		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ 𝑋)
6		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
7		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
8		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
9	6, 7, 8	mulg0 19284	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
10	5, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (0 · 𝐴) = 0 )
11		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (0 · 𝐴))
12	11	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
13	10, 12	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
14	2	zred 12803	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℝ)
15	1	nnrpd 13162	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+)
16		modlt 14020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ+) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
17	14, 15, 16	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴))
18	2, 1	zmodcld 14032	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0)
19	18	nn0red 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℝ)
20	1	nnred 12350	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℝ)
21	19, 20	ltnled 11457	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) < (𝑂‘𝐴) ↔ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
22	17, 21	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
23		odcl.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
24	6, 23, 8, 7	odlem2 19753	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
25		elfzle2 13661	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...(𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
27	26	3com23 1144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ∧ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)))
28	27	3expia 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))))
29	28	con3d 153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ) → (¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
30	29	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ ¬ (𝑂‘𝐴) ≤ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴))) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
31	5, 22, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → ¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ))
32		elnn0 12608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
33	18, 32	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ ∨ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
34	33	ord 878	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (¬ (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) ∈ ℕ → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
35	31, 34	syld 48	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 → (𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0))
36	13, 35	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) = 0 ↔ ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ))
37	6, 23, 8, 7	odmod 19760	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = (𝑁 · 𝐴))
38	37	eqeq1d 2762	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → (((𝑁 mod (𝑂‘𝐴)) · 𝐴) = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
39	4, 36, 38	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
40		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
41	40	breq1d 5112	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
42		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
43		0dvds 16446	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
44	42, 43	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
45		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝐴 ∈ 𝑋)
46	45, 9	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
47		oveq1 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
48	47	eqeq1d 2762	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
49	46, 48	syl5ibrcom 250	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
50	6, 23, 8, 7	odnncl 19759	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
51	50	nnne0d 12388	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ≠ 0 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 )) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
52	51	expr 462	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
53	52	impancom 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ≠ 0 → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
54	53	necon4d 2979	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
55	54	impancom 457	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
56	49, 55	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
57	41, 44, 56	3bitrd 308	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
58	6, 23	odcl 19750	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
59	58	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
60		elnn0 12608	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
61	59, 60	sylib 221	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
62	39, 57, 61	mpjaodan 973	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ℤcz 12693  ℝ⁺crp 13120  ...cfz 13639   mod cmo 14009   ∥ cdvds 16422  Basecbs 17387  0_gc0g 17610  Grpcgrp 19144  ._gcmg 19277  odcod 19738

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-od 19742

This theorem is used by:  oddvdsi  19762  odcong  19763  odeq  19764  odmulgid  19768  odbezout  19772  gexdvds2  19799  gexod  19800  gexcl3  19801  odadd1  20062  odadd2  20063  oddvdssubg  20069  pgpfac1lem3a  20292  ablsimpgfindlem2  20324  chrdvds  21832  dchrfi  27582  dchrabs  27587  dchrptlem2  27592  idomodle  44236