Theorem dvdsabsb 16235

Description: An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabsb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))

Proof of Theorem dvdsabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5090	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))
2	1	bicomd 223	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
4		dvdsnegb 16233	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))
5		breq2 5090	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))
6	5	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ -𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
7	4, 6	sylan9bb 509	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
8	7	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
9		zre 12519	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	absord 15369	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
11	10	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
12	3, 8, 11	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  -cneg 11369  ℤcz 12515  abscabs 15187   ∥ cdvds 16212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-rp 12934  df-seq 13955  df-exp 14015  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  16271  fzocongeq  16284  divalglem0  16353  divalglem2  16355  bezoutlem4  16502  dvdssq  16527  lcmcllem  16556  lcmdvds  16568  lcmgcdeq  16572  absproddvds  16577  mulgcddvds  16615  pc2dvds  16841  4sqlem11  16917  lgsdirprm  27308  lgsne0  27312  lgsqr  27328  2sqblem  27408  cos9thpiminplylem2  33943  absdvdsabsb  42774  etransclem41  46721  etransclem44  46724