Theorem dvdsabsb 15462

Description: An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dvdsabsb	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))

Proof of Theorem dvdsabsb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 4968	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ 𝑁))
2	1	bicomd 224	. . 3 ⊢ ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
4		dvdsnegb 15460	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))
5		breq2 4968	. . . . 5 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))
6	5	bicomd 224	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ -𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
7	4, 6	sylan9bb 510	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
8	7	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
9		zre 11835	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
10	9	absord 14609	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
11	10	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
12	3, 8, 11	mpjaod 855	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 842   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   class class class wbr 4964  ‘cfv 6228  -cneg 10720  ℤcz 11831  abscabs 14427   ∥ cdvds 15440

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-er 8142  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-sup 8755  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-seq 13220  df-exp 13280  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-dvds 15441

This theorem is referenced by:  dvdsleabs  15494  fzocongeq  15507  divalglem0  15577  divalglem2  15579  bezoutlem4  15719  dvdssq  15740  lcmcllem  15769  lcmdvds  15781  lcmgcdeq  15785  absproddvds  15790  mulgcddvds  15828  pc2dvds  16044  4sqlem11  16120  lgsdirprm  25589  lgsne0  25593  lgsqr  25609  2sqblem  25689  etransclem41  42116  etransclem44  42119