MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvdsabsb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvdsabsb 15222
Description: An integer divides another iff it divides its absolute value. (Contributed by Paul Chapman, 21-Mar-2011.)
Assertion
Ref Expression
dvdsabsb ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))

Proof of Theorem dvdsabsb
StepHypRef Expression
1 breq2 4846 . . . 4 ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀𝑁))
21bicomd 214 . . 3 ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
32a1i 11 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
4 dvdsnegb 15220 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ -𝑁))
5 breq2 4846 . . . . 5 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ (abs‘𝑁) ↔ 𝑀 ∥ -𝑁))
65bicomd 214 . . . 4 ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀 ∥ -𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
74, 6sylan9bb 501 . . 3 (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (abs‘𝑁) = -𝑁) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
87ex 399 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = -𝑁 → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁))))
9 zre 11645 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℝ)
109absord 14375 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
1110adantl 469 . 2 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑁) = 𝑁 ∨ (abs‘𝑁) = -𝑁))
123, 8, 11mpjaod 878 1 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀𝑁𝑀 ∥ (abs‘𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865   = wceq 1637  wcel 2156   class class class wbr 4842  cfv 6099  -cneg 10550  cz 11641  abscabs 14195  cdvds 15201
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2782  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5094  ax-un 7177  ax-cnex 10275  ax-resscn 10276  ax-1cn 10277  ax-icn 10278  ax-addcl 10279  ax-addrcl 10280  ax-mulcl 10281  ax-mulrcl 10282  ax-mulcom 10283  ax-addass 10284  ax-mulass 10285  ax-distr 10286  ax-i2m1 10287  ax-1ne0 10288  ax-1rid 10289  ax-rnegex 10290  ax-rrecex 10291  ax-cnre 10292  ax-pre-lttri 10293  ax-pre-lttrn 10294  ax-pre-ltadd 10295  ax-pre-mulgt0 10296  ax-pre-sup 10297
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2791  df-cleq 2797  df-clel 2800  df-nfc 2935  df-ne 2977  df-nel 3080  df-ral 3099  df-rex 3100  df-reu 3101  df-rmo 3102  df-rab 3103  df-v 3391  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4115  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4843  df-opab 4905  df-mpt 4922  df-tr 4945  df-id 5217  df-eprel 5222  df-po 5230  df-so 5231  df-fr 5268  df-we 5270  df-xp 5315  df-rel 5316  df-cnv 5317  df-co 5318  df-dm 5319  df-rn 5320  df-res 5321  df-ima 5322  df-pred 5891  df-ord 5937  df-on 5938  df-lim 5939  df-suc 5940  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-riota 6833  df-ov 6875  df-oprab 6876  df-mpt2 6877  df-om 7294  df-2nd 7397  df-wrecs 7640  df-recs 7702  df-rdg 7740  df-er 7977  df-en 8191  df-dom 8192  df-sdom 8193  df-sup 8585  df-pnf 10359  df-mnf 10360  df-xr 10361  df-ltxr 10362  df-le 10363  df-sub 10551  df-neg 10552  df-div 10968  df-nn 11304  df-2 11362  df-3 11363  df-n0 11558  df-z 11642  df-uz 11903  df-rp 12045  df-seq 13023  df-exp 13082  df-cj 14060  df-re 14061  df-im 14062  df-sqrt 14196  df-abs 14197  df-dvds 15202
This theorem is referenced by:  dvdsleabs  15254  fzocongeq  15267  divalglem0  15334  divalglem2  15336  bezoutlem4  15476  dvdssq  15497  lcmcllem  15526  lcmdvds  15538  lcmgcdeq  15542  absproddvds  15547  mulgcddvds  15585  pc2dvds  15798  4sqlem11  15874  lgsdirprm  25268  lgsne0  25272  lgsqr  25288  2sqblem  25368  etransclem41  40969  etransclem44  40972
  Copyright terms: Public domain W3C validator