Theorem gexnnod 18781

Description: Every group element has finite order if the exponent is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexnnod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexnnod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 11709	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ≠ 0)
2	1	3ad2ant2 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ≠ 0)
3		nnz 12044	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
5		0dvds 15679	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
7	6	necon3bbid 2989	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ 0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 260	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ 0 ∥ 𝐸)
9		gexod.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
10		gexod.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
11		gexod.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	9, 10, 11	gexod 18779	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
13	12	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
14		breq1 5036	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ 0 ∥ 𝐸))
15	13, 14	syl5ibcom 248	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 0 ∥ 𝐸))
16	8, 15	mtod 201	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑂‘𝐴) = 0)
17	9, 11	odcl 18732	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	3ad2ant3 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19		elnn0 11937	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
20	18, 19	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
21	20	ord 862	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
22	16, 21	mt3d 150	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 845   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952   class class class wbr 5033  ‘cfv 6336  0cc0 10576  ℕcn 11675  ℕ₀cn0 11935  ℤcz 12021   ∥ cdvds 15656  Basecbs 16542  Grpcgrp 18170  odcod 18720  gExcgex 18721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10632  ax-resscn 10633  ax-1cn 10634  ax-icn 10635  ax-addcl 10636  ax-addrcl 10637  ax-mulcl 10638  ax-mulrcl 10639  ax-mulcom 10640  ax-addass 10641  ax-mulass 10642  ax-distr 10643  ax-i2m1 10644  ax-1ne0 10645  ax-1rid 10646  ax-rnegex 10647  ax-rrecex 10648  ax-cnre 10649  ax-pre-lttri 10650  ax-pre-lttrn 10651  ax-pre-ltadd 10652  ax-pre-mulgt0 10653  ax-pre-sup 10654

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-1st 7694  df-2nd 7695  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-sup 8940  df-inf 8941  df-pnf 10716  df-mnf 10717  df-xr 10718  df-ltxr 10719  df-le 10720  df-sub 10911  df-neg 10912  df-div 11337  df-nn 11676  df-2 11738  df-3 11739  df-n0 11936  df-z 12022  df-uz 12284  df-rp 12432  df-fz 12941  df-fl 13212  df-mod 13288  df-seq 13420  df-exp 13481  df-cj 14507  df-re 14508  df-im 14509  df-sqrt 14643  df-abs 14644  df-dvds 15657  df-0g 16774  df-mgm 17919  df-sgrp 17968  df-mnd 17979  df-grp 18173  df-minusg 18174  df-sbg 18175  df-mulg 18293  df-od 18724  df-gex 18725

This theorem is referenced by:  gexexlem  19041