Theorem gexnnod 19630

Description: Every group element has finite order if the exponent is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexnnod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexnnod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12327	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ≠ 0)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ≠ 0)
3		nnz 12660	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
5		0dvds 16325	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
7	6	necon3bbid 2984	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ 0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ 0 ∥ 𝐸)
9		gexod.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
10		gexod.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
11		gexod.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	9, 10, 11	gexod 19628	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
13	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
14		breq1 5169	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ 0 ∥ 𝐸))
15	13, 14	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 0 ∥ 𝐸))
16	8, 15	mtod 198	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑂‘𝐴) = 0)
17	9, 11	odcl 19578	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19		elnn0 12555	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
20	18, 19	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
21	20	ord 863	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
22	16, 21	mt3d 148	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 846   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  0cc0 11184  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  ℤcz 12639   ∥ cdvds 16302  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  odcod 19566  gExcgex 19567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-sup 9511  df-inf 9512  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-mulg 19108  df-od 19570  df-gex 19571

This theorem is referenced by:  gexexlem  19894