Theorem gexnnod 19485

Description: Every group element has finite order if the exponent is finite. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
gexod.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gexod.2	⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
gexod.3	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gexnnod	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Proof of Theorem gexnnod

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnne0 12180	. . . . 5 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ≠ 0)
2	1	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ≠ 0)
3		nnz 12510	. . . . . . 7 ⊢ (𝐸 ∈ ℕ → 𝐸 ∈ ℤ)
4	3	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → 𝐸 ∈ ℤ)
5		0dvds 16205	. . . . . 6 ⊢ (𝐸 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
6	4, 5	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 = 0))
7	6	necon3bbid 2962	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ 0 ∥ 𝐸 ↔ 𝐸 ≠ 0))
8	2, 7	mpbird 257	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ 0 ∥ 𝐸)
9		gexod.1	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
10		gexod.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (gEx‘𝐺)
11		gexod.3	. . . . . 6 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
12	9, 10, 11	gexod 19483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
13	12	3adant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸)
14		breq1 5098	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝐸 ↔ 0 ∥ 𝐸))
15	13, 14	syl5ibcom 245	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 0 ∥ 𝐸))
16	8, 15	mtod 198	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ¬ (𝑂‘𝐴) = 0)
17	9, 11	odcl 19433	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
18	17	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
19		elnn0 12404	. . . 4 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
20	18, 19	sylib 218	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
21	20	ord 864	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (¬ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) = 0))
22	16, 21	mt3d 148	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  0cc0 11028  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489   ∥ cdvds 16181  Basecbs 17138  Grpcgrp 18830  odcod 19421  gExcgex 19422

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-rp 12912  df-fz 13429  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-dvds 16182  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-od 19425  df-gex 19426

This theorem is referenced by:  gexexlem  19749