MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvds 16341
Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvds.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumdvds (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds
StepHypRef Expression
1 0z 12621 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 dvds0 16305 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4 simpr 484 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 = 0)
6 fsumdvds.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
76adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
85, 7eqbrtrrd 5171 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9 fsumdvds.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
109adantlr 715 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 0dvds 16310 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
138, 12mpbid 232 . . . . 5 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 = 0)
1413sumeq2dv 15734 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
15 fsumdvds.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1615adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
1716olcd 874 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18 sumz 15754 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2774 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
213, 4, 203brtr4d 5179 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
2215adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fsumdvds.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2524zcnd 12720 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
269adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2726zcnd 12720 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
2922, 25, 27, 28fsumdivc 15818 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁))
306adantlr 715 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
3124adantr 480 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 simplr 769 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
33 dvdsval2 16289 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3431, 32, 26, 33syl3anc 1370 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3530, 34mpbid 232 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3622, 35fsumzcl 15767 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3729, 36eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3815, 9fsumzcl 15767 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3938adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
40 dvdsval2 16289 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4124, 28, 39, 40syl3anc 1370 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4237, 41mpbird 257 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4321, 42pm2.61dane 3026 1 (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wss 3962   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  0cc0 11152   / cdiv 11917  cz 12610  cuz 12875  Σcsu 15718  cdvds 16286
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-dvds 16287
This theorem is referenced by:  3dvds  16364  sylow1lem3  19632  sylow2alem2  19650  poimirlem26  37632  poimirlem27  37633  etransclem37  46226  etransclem38  46227  etransclem44  46233
  Copyright terms: Public domain W3C validator