MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumdvds Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumdvds 16124
Description: If every term in a sum is divisible by 𝑁, then so is the sum. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumdvds.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumdvds.2 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
fsumdvds.3 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
fsumdvds.4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
Assertion
Ref Expression
fsumdvds (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumdvds
StepHypRef Expression
1 0z 12443 . . . 4 0 ∈ ℤ
2 dvds0 16088 . . . 4 (0 ∈ ℤ → 0 ∥ 0)
31, 2mp1i 13 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 0 ∥ 0)
4 simpr 485 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 = 0)
5 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 = 0)
6 fsumdvds.4 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
76adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
85, 7eqbrtrrd 5127 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 0 ∥ 𝐵)
9 fsumdvds.3 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
109adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
11 0dvds 16093 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
1210, 11syl 17 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → (0 ∥ 𝐵𝐵 = 0))
138, 12mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑁 = 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 = 0)
1413sumeq2dv 15522 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = Σ𝑘𝐴 0)
15 fsumdvds.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
1615adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝐴 ∈ Fin)
1716olcd 872 . . . . 5 ((𝜑𝑁 = 0) → (𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin))
18 sumz 15541 . . . . 5 ((𝐴 ⊆ (ℤ‘0) ∨ 𝐴 ∈ Fin) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
1917, 18syl 17 . . . 4 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 0 = 0)
2014, 19eqtrd 2777 . . 3 ((𝜑𝑁 = 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 = 0)
213, 4, 203brtr4d 5135 . 2 ((𝜑𝑁 = 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
2215adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝐴 ∈ Fin)
23 fsumdvds.2 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
2423adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
2524zcnd 12540 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
269adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
2726zcnd 12540 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
28 simpr 485 . . . . 5 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ≠ 0)
2922, 25, 27, 28fsumdivc 15605 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) = Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁))
306adantlr 713 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁𝐵)
3124adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ∈ ℤ)
32 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → 𝑁 ≠ 0)
33 dvdsval2 16073 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3431, 32, 26, 33syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝑁𝐵 ↔ (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
3530, 34mpbid 231 . . . . 5 (((𝜑𝑁 ≠ 0) ∧ 𝑘𝐴) → (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3622, 35fsumzcl 15554 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 (𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3729, 36eqeltrd 2838 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ)
3815, 9fsumzcl 15554 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
3938adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ)
40 dvdsval2 16073 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0 ∧ Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ ℤ) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4124, 28, 39, 40syl3anc 1371 . . 3 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → (𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵 ↔ (Σ𝑘𝐴 𝐵 / 𝑁) ∈ ℤ))
4237, 41mpbird 256 . 2 ((𝜑𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
4321, 42pm2.61dane 3030 1 (𝜑𝑁 ∥ Σ𝑘𝐴 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wss 3908   class class class wbr 5103  cfv 6491  (class class class)co 7349  Fincfn 8816  0cc0 10984   / cdiv 11745  cz 12432  cuz 12695  Σcsu 15504  cdvds 16070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7662  ax-inf2 9510  ax-cnex 11040  ax-resscn 11041  ax-1cn 11042  ax-icn 11043  ax-addcl 11044  ax-addrcl 11045  ax-mulcl 11046  ax-mulrcl 11047  ax-mulcom 11048  ax-addass 11049  ax-mulass 11050  ax-distr 11051  ax-i2m1 11052  ax-1ne0 11053  ax-1rid 11054  ax-rnegex 11055  ax-rrecex 11056  ax-cnre 11057  ax-pre-lttri 11058  ax-pre-lttrn 11059  ax-pre-ltadd 11060  ax-pre-mulgt0 11061  ax-pre-sup 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5528  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5636  df-rel 5637  df-cnv 5638  df-co 5639  df-dm 5640  df-rn 5641  df-res 5642  df-ima 5643  df-pred 6249  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6443  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-isom 6500  df-riota 7305  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7793  df-1st 7911  df-2nd 7912  df-frecs 8179  df-wrecs 8210  df-recs 8284  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8581  df-en 8817  df-dom 8818  df-sdom 8819  df-fin 8820  df-sup 9311  df-oi 9379  df-card 9808  df-pnf 11124  df-mnf 11125  df-xr 11126  df-ltxr 11127  df-le 11128  df-sub 11320  df-neg 11321  df-div 11746  df-nn 12087  df-2 12149  df-3 12150  df-n0 12347  df-z 12433  df-uz 12696  df-rp 12844  df-fz 13353  df-fzo 13496  df-seq 13835  df-exp 13896  df-hash 14158  df-cj 14917  df-re 14918  df-im 14919  df-sqrt 15053  df-abs 15054  df-clim 15304  df-sum 15505  df-dvds 16071
This theorem is referenced by:  3dvds  16147  sylow1lem3  19311  sylow2alem2  19329  poimirlem26  35999  poimirlem27  36000  etransclem37  44265  etransclem38  44266  etransclem44  44272
  Copyright terms: Public domain W3C validator