Theorem oddvdsnn0 19067

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdsnn0	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	mndodcong 19065	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
7	6	3expia 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
8	1, 7	mpanr2 700	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
9	8	3impa 1108	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10		nn0cn 12173	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11251	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
13	12	breq2d 5082	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁))
14	2, 5, 4	mulg0 18622	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15	14	3ad2ant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
16	15	eqeq2d 2749	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
17	13, 16	bibi12d 345	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
18	9, 17	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	19	breq1d 5080	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21		simpl3 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0z 12273	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		0dvds 15914	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26		oveq1 7262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
27	26	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
28	25, 27	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
29	2, 3, 4, 5	odlem2 19062	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
30	29	3com23 1124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31		elfznn 13214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
32		nnne0 11937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
34	33	3expia 1119	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
35	34	3ad2antl2 1184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
36	35	necon2bd 2958	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37		simpl3 1191	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		elnn0 12165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
39	37, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40	39	ord 860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
41	36, 40	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
42	41	impancom 451	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
43	28, 42	impbid 211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
44	20, 24, 43	3bitrd 304	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
46	2, 3	odcl 19059	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
47	46	3ad2ant2 1132	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
48		elnn0 12165	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
49	47, 48	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
50	18, 45, 49	mpjaod 856	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  0cc0 10802  1c1 10803   − cmin 11135  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ...cfz 13168   ∥ cdvds 15891  Basecbs 16840  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  ._gcmg 18615  odcod 19047

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-sup 9131  df-inf 9132  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-rp 12660  df-fz 13169  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-dvds 15892  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-mulg 18616  df-od 19051

This theorem is referenced by: (None)