MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvdsnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvdsnn0 19528
Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvdsnn0 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0
StepHypRef Expression
1 0nn0 12525 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
2 odcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5mndodcong 19526 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
763expia 1118 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
81, 7mpanr2 702 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
983impa 1107 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10 nn0cn 12520 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
11103ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1211subid1d 11597 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1312breq2d 5161 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁))
142, 5, 4mulg0 19054 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15143ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
1615eqeq2d 2736 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
1713, 16bibi12d 344 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
189, 17sylibd 238 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19 simpr 483 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2019breq1d 5159 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 nn0z 12621 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 0dvds 16265 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2421, 22, 233syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2515adantr 479 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26 oveq1 7426 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2726eqeq1d 2727 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
2825, 27syl5ibrcom 246 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
292, 3, 4, 5odlem2 19523 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
30293com23 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
31 elfznn 13570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32 nnne0 12284 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
34333expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
35343ad2antl2 1183 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
3635necon2bd 2945 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38 elnn0 12512 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3937, 38sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4039ord 862 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
4136, 40syld 47 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
4241impancom 450 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 = 0))
4328, 42impbid 211 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4420, 24, 433bitrd 304 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4544ex 411 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
462, 3odcl 19520 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
47463ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
48 elnn0 12512 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
4947, 48sylib 217 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
5018, 45, 49mpjaod 858 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5149  cfv 6549  (class class class)co 7419  cc 11143  0cc0 11145  1c1 11146  cmin 11481  cn 12250  0cn0 12510  cz 12596  ...cfz 13524  cdvds 16242  Basecbs 17199  0gc0g 17440  Mndcmnd 18713  .gcmg 19047  odcod 19508
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fl 13798  df-mod 13876  df-seq 14008  df-dvds 16243  df-0g 17442  df-mgm 18619  df-sgrp 18698  df-mnd 18714  df-mulg 19048  df-od 19512
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator