Theorem oddvdsnn0 18169

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdsnn0	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 11513	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	mndodcong 18167	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
7	6	3expia 1114	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
8	1, 7	mpanr2 684	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
9	8	3impa 1100	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10		nn0cn 11508	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 10586	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
13	12	breq2d 4799	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁))
14	2, 5, 4	mulg0 17753	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15	14	3ad2ant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
16	15	eqeq2d 2781	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
17	13, 16	bibi12d 334	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
18	9, 17	sylibd 229	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19		simpr 471	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	19	breq1d 4797	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21		simpl3 1231	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0z 11606	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		0dvds 15210	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	15	adantr 466	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26		oveq1 6802	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
27	26	eqeq1d 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
28	25, 27	syl5ibrcom 237	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
29	2, 3, 4, 5	odlem2 18164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
30	29	3com23 1120	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31		elfznn 12576	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
32		nnne0 11258	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
34	33	3expia 1114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
35	34	3ad2antl2 1201	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
36	35	necon2bd 2959	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37		simpl3 1231	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		elnn0 11500	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
39	37, 38	sylib 208	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40	39	ord 853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
41	36, 40	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
42	41	impancom 439	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
43	28, 42	impbid 202	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
44	20, 24, 43	3bitrd 294	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
45	44	ex 397	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
46	2, 3	odcl 18161	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
47	46	3ad2ant2 1128	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
48		elnn0 11500	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
49	47, 48	sylib 208	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
50	18, 45, 49	mpjaod 849	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1631   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2943   class class class wbr 4787  ‘cfv 6030  (class class class)co 6795  ℂcc 10139  0cc0 10141  1c1 10142   − cmin 10471  ℕcn 11225  ℕ₀cn0 11498  ℤcz 11583  ...cfz 12532   ∥ cdvds 15188  Basecbs 16063  0_gc0g 16307  Mndcmnd 17501  ._gcmg 17747  odcod 18150

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-er 7899  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-sup 8507  df-inf 8508  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-n0 11499  df-z 11584  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-dvds 15189  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mulg 17748  df-od 18154

This theorem is referenced by: (None)