Theorem oddvdsnn0 19412

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdsnn0	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12487	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	mndodcong 19410	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
7	6	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
8	1, 7	mpanr2 703	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
9	8	3impa 1111	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10		nn0cn 12482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11560	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
13	12	breq2d 5161	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁))
14	2, 5, 4	mulg0 18957	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
16	15	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
17	13, 16	bibi12d 346	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
18	9, 17	sylibd 238	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19		simpr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	19	breq1d 5159	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0z 12583	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		0dvds 16220	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	15	adantr 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26		oveq1 7416	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
27	26	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
28	25, 27	syl5ibrcom 246	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
29	2, 3, 4, 5	odlem2 19407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
30	29	3com23 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31		elfznn 13530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
32		nnne0 12246	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
34	33	3expia 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
35	34	3ad2antl2 1187	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
36	35	necon2bd 2957	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37		simpl3 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		elnn0 12474	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
39	37, 38	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40	39	ord 863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
41	36, 40	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
42	41	impancom 453	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
43	28, 42	impbid 211	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
44	20, 24, 43	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
45	44	ex 414	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
46	2, 3	odcl 19404	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
47	46	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
48		elnn0 12474	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
49	47, 48	sylib 217	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
50	18, 45, 49	mpjaod 859	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   − cmin 11444  ℕcn 12212  ℕ₀cn0 12472  ℤcz 12558  ...cfz 13484   ∥ cdvds 16197  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  Mndcmnd 18625  ._gcmg 18950  odcod 19392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-dvds 16198  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mulg 18951  df-od 19396

This theorem is referenced by: (None)