Theorem oddvdsnn0 19519

Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
odcl.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2	⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3	⊢ · = (.g‘𝐺)
odid.4	⊢ 0 = (0g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
oddvdsnn0	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
2		odcl.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
3		odcl.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑂 = (od‘𝐺)
4		odid.3	. . . . . . 7 ⊢ · = (.g‘𝐺)
5		odid.4	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
6	2, 3, 4, 5	mndodcong 19517	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
7	6	3expia 1122	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
8	1, 7	mpanr2 705	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
9	8	3impa 1110	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10		nn0cn 12447	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
11	10	3ad2ant3 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
12	11	subid1d 11494	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
13	12	breq2d 5098	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁))
14	2, 5, 4	mulg0 19050	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15	14	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
16	15	eqeq2d 2748	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
17	13, 16	bibi12d 345	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂‘𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
18	9, 17	sylibd 239	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑂‘𝐴) = 0)
20	19	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21		simpl3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22		nn0z 12548	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
23		0dvds 16245	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
24	21, 22, 23	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
25	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26		oveq1 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
27	26	eqeq1d 2739	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
28	25, 27	syl5ibrcom 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
29	2, 3, 4, 5	odlem2 19514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
30	29	3com23 1127	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁))
31		elfznn 13507	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ)
32		nnne0 12211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
33	30, 31, 32	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂‘𝐴) ≠ 0)
34	33	3expia 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
35	34	3ad2antl2 1188	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂‘𝐴) ≠ 0))
36	35	necon2bd 2949	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37		simpl3 1195	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38		elnn0 12439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
39	37, 38	sylib 218	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
40	39	ord 865	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
41	36, 40	syld 47	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
42	41	impancom 451	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
43	28, 42	impbid 212	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
44	20, 24, 43	3bitrd 305	. . 3 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂‘𝐴) = 0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
45	44	ex 412	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) = 0 → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
46	2, 3	odcl 19511	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑋 → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
47	46	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0)
48		elnn0 12439	. . 3 ⊢ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
49	47, 48	sylib 218	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂‘𝐴) = 0))
50	18, 45, 49	mpjaod 861	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂‘𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6499  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ...cfz 13461   ∥ cdvds 16221  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Mndcmnd 18702  ._gcmg 19043  odcod 19499

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6266  df-ord 6327  df-on 6328  df-lim 6329  df-suc 6330  df-iota 6455  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-sup 9355  df-inf 9356  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-dvds 16222  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-mulg 19044  df-od 19503

This theorem is referenced by:  isprimroot2  42533  grpods  42633