MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oddvdsnn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem oddvdsnn0 18672
Description: The only multiples of 𝐴 that are equal to the identity are the multiples of the order of 𝐴. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
odcl.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
odcl.2 𝑂 = (od‘𝐺)
odid.3 · = (.g𝐺)
odid.4 0 = (0g𝐺)
Assertion
Ref Expression
oddvdsnn0 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))

Proof of Theorem oddvdsnn0
StepHypRef Expression
1 0nn0 11909 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
2 odcl.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
3 odcl.2 . . . . . . 7 𝑂 = (od‘𝐺)
4 odid.3 . . . . . . 7 · = (.g𝐺)
5 odid.4 . . . . . . 7 0 = (0g𝐺)
62, 3, 4, 5mndodcong 18670 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) ∈ ℕ) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)))
763expia 1118 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 0 ∈ ℕ0)) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
81, 7mpanr2 703 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
983impa 1107 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))))
10 nn0cn 11904 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℂ)
11103ad2ant3 1132 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℂ)
1211subid1d 10984 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑁 − 0) = 𝑁)
1312breq2d 5064 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑂𝐴) ∥ 𝑁))
142, 5, 4mulg0 18231 . . . . . 6 (𝐴𝑋 → (0 · 𝐴) = 0 )
15143ad2ant2 1131 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (0 · 𝐴) = 0 )
1615eqeq2d 2835 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴) ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
1713, 16bibi12d 349 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (((𝑂𝐴) ∥ (𝑁 − 0) ↔ (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴)) ↔ ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
189, 17sylibd 242 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
19 simpr 488 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑂𝐴) = 0)
2019breq1d 5062 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
21 simpl3 1190 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → 𝑁 ∈ ℕ0)
22 nn0z 12002 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℤ)
23 0dvds 15630 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2421, 22, 233syl 18 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 ∥ 𝑁𝑁 = 0))
2515adantr 484 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (0 · 𝐴) = 0 )
26 oveq1 7156 . . . . . . 7 (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
2726eqeq1d 2826 . . . . . 6 (𝑁 = 0 → ((𝑁 · 𝐴) = 0 ↔ (0 · 𝐴) = 0 ))
2825, 27syl5ibrcom 250 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 → (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
292, 3, 4, 5odlem2 18667 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
30293com23 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁))
31 elfznn 12940 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ (1...𝑁) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ)
32 nnne0 11668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0)
3330, 31, 323syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 ∈ ℕ) → (𝑂𝐴) ≠ 0)
34333expia 1118 . . . . . . . . 9 ((𝐴𝑋 ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
35343ad2antl2 1183 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑂𝐴) ≠ 0))
3635necon2bd 3030 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → ¬ 𝑁 ∈ ℕ))
37 simpl3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
38 elnn0 11896 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
3937, 38sylib 221 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
4039ord 861 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → (¬ 𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 = 0))
4136, 40syld 47 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑁 · 𝐴) = 0 ) → ((𝑂𝐴) = 0 → 𝑁 = 0))
4241impancom 455 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑁 · 𝐴) = 0𝑁 = 0))
4328, 42impbid 215 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → (𝑁 = 0 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4420, 24, 433bitrd 308 . . 3 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) ∧ (𝑂𝐴) = 0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
4544ex 416 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) = 0 → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 )))
462, 3odcl 18664 . . . 4 (𝐴𝑋 → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
47463ad2ant2 1131 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑂𝐴) ∈ ℕ0)
48 elnn0 11896 . . 3 ((𝑂𝐴) ∈ ℕ0 ↔ ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
4947, 48sylib 221 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∈ ℕ ∨ (𝑂𝐴) = 0))
5018, 45, 49mpjaod 857 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝑋𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑂𝐴) ∥ 𝑁 ↔ (𝑁 · 𝐴) = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014   class class class wbr 5052  cfv 6343  (class class class)co 7149  cc 10533  0cc0 10535  1c1 10536  cmin 10868  cn 11634  0cn0 11894  cz 11978  ...cfz 12894  cdvds 15607  Basecbs 16483  0gc0g 16713  Mndcmnd 17911  .gcmg 18224  odcod 18652
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-pre-sup 10613
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-er 8285  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-sup 8903  df-inf 8904  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-div 11296  df-nn 11635  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-rp 12387  df-fz 12895  df-fl 13166  df-mod 13242  df-seq 13374  df-dvds 15608  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-mulg 18225  df-od 18656
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator