Theorem dvdssq 16498

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5102	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
2		sq0i 14120	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
3	2	breq1d 5109	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
4	1, 3	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
5		nnabscl 15253	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
6		breq2 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
7		sq0i 14120	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
8	7	breq2d 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
9	6, 8	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
10		nnabscl 15253	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
11		dvdssqlem 16497	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
12	10, 11	sylan2 594	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
13		nnz 12513	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
14		simpl 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		dvdsabsb 16206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
16	13, 14, 15	syl2an 597	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
17		nnsqcl 14055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12518	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
19		zsqcl 14056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
20	19	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
21		dvdsabsb 16206	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
22	18, 20, 21	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
23		zcn 12497	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		abssq 15233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
27	26	breq2d 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
28	27	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
29	22, 28	bitr4d 282	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
30	12, 16, 29	3bitr4d 311	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
31	30	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
32		dvds0 16202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
33		zsqcl 14056	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
34		dvds0 16202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
35	33, 34	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
36	32, 35	2thd 265	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
37	13, 36	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
39	9, 31, 38	pm2.61ne 3018	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
40	5, 39	sylan 581	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
41		absdvdsb 16205	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
42	41	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
43		zsqcl 14056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
44	43	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
45		absdvdsb 16205	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
46	44, 19, 45	syl2an 597	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
47		zcn 12497	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
48		abssq 15233	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
50	49	eqcomd 2743	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
51	50	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
52	51	breq1d 5109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
53	52	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
54	46, 53	bitrd 279	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
55	40, 42, 54	3bitr4d 311	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
56	55	an32s 653	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
57		0dvds 16207	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
58		sqeq0 14047	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
59	23, 58	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
60	57, 59	bitr4d 282	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
61		0dvds 16207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
62	19, 61	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
63	60, 62	bitr4d 282	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
64	63	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
65	4, 56, 64	pm2.61ne 3018	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  0cc0 11030  ℕcn 12149  2c2 12204  ℤcz 12492  ↑cexp 13988  abscabs 15161   ∥ cdvds 16183

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716  df-mod 13794  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-dvds 16184  df-gcd 16426

This theorem is referenced by:  pythagtriplem19  16765  4sqlem9  16878  4sqlem10  16879  lgsdir  27303  2sqlem8a  27396