Theorem dvdssq 16704

Description: Two numbers are divisible iff their squares are. (Contributed by Scott Fenton, 18-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Apr-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dvdssq	⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

Proof of Theorem dvdssq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 5105	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ 𝑁))
2		sq0i 14304	. . . 4 ⊢ (𝑀 = 0 → (𝑀↑2) = 0)
3	2	breq1d 5112	. . 3 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
4	1, 3	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑀 = 0 → ((𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2))))
5		nnabscl 15460	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘𝑀) ∈ ℕ)
6		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 0))
7		sq0i 14304	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑁↑2) = 0)
8	7	breq2d 5114	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
9	6, 8	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = 0 → (((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)) ↔ ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)))
10		nnabscl 15460	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (abs‘𝑁) ∈ ℕ)
11		dvdssqlem 16703	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (abs‘𝑁) ∈ ℕ) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
12	10, 11	sylan2 605	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
13		nnz 12683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → (abs‘𝑀) ∈ ℤ)
14		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℤ)
15		dvdsabsb 16412	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
16	13, 14, 15	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ (abs‘𝑁)))
17		nnsqcl 14239	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12688	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
19		zsqcl 14240	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
20	19	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
21		dvdsabsb 16412	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
22	18, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
23		zcn 12667	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
24	23	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → 𝑁 ∈ ℂ)
25		abssq 15440	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
26	24, 25	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑁)↑2) = (abs‘(𝑁↑2)))
27	26	breq2d 5114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
28	27	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (abs‘(𝑁↑2))))
29	22, 28	bitr4d 285	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → (((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ ((abs‘𝑁)↑2)))
30	12, 16, 29	3bitr4d 314	. . . . . . 7 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≠ 0)) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
31	30	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑁 ≠ 0) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
32		dvds0 16408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → (abs‘𝑀) ∥ 0)
33		zsqcl 14240	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ)
34		dvds0 16408	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘𝑀)↑2) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
35	33, 34	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0)
36	32, 35	2thd 268	. . . . . . . 8 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℤ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
37	13, 36	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((abs‘𝑀) ∈ ℕ → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
38	37	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 0 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ 0))
39	9, 31, 38	pm2.61ne 3040	. . . . 5 ⊢ (((abs‘𝑀) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
40	5, 39	sylan 592	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘𝑀) ∥ 𝑁 ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
41		absdvdsb 16411	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
42	41	adantlr 728	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (abs‘𝑀) ∥ 𝑁))
43		zsqcl 14240	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
44	43	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀↑2) ∈ ℤ)
45		absdvdsb 16411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀↑2) ∈ ℤ ∧ (𝑁↑2) ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
46	44, 19, 45	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ (abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2)))
47		zcn 12667	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ ℂ)
48		abssq 15440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℂ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
49	47, 48	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((abs‘𝑀)↑2) = (abs‘(𝑀↑2)))
50	49	eqcomd 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
51	50	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → (abs‘(𝑀↑2)) = ((abs‘𝑀)↑2))
52	51	breq1d 5112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
53	52	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((abs‘(𝑀↑2)) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
54	46, 53	bitrd 282	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2) ↔ ((abs‘𝑀)↑2) ∥ (𝑁↑2)))
55	40, 42, 54	3bitr4d 314	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
56	55	an32s 665	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ 𝑀 ≠ 0) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))
57		0dvds 16413	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 𝑁 = 0))
58		sqeq0 14231	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
59	23, 58	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) = 0 ↔ 𝑁 = 0))
60	57, 59	bitr4d 285	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ (𝑁↑2) = 0))
61		0dvds 16413	. . . . 5 ⊢ ((𝑁↑2) ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
62	19, 61	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ (𝑁↑2) ↔ (𝑁↑2) = 0))
63	60, 62	bitr4d 285	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
64	63	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 ∥ 𝑁 ↔ 0 ∥ (𝑁↑2)))
65	4, 56, 64	pm2.61ne 3040	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 ∥ 𝑁 ↔ (𝑀↑2) ∥ (𝑁↑2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11169  0cc0 11171  ℕcn 12304  2c2 12366  ℤcz 12662  ↑cexp 14172  abscabs 15368   ∥ cdvds 16389

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248  ax-pre-sup 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-div 11943  df-nn 12305  df-2 12374  df-3 12375  df-n0 12576  df-z 12663  df-uz 12935  df-rp 13090  df-fl 13900  df-mod 13978  df-seq 14113  df-exp 14173  df-cj 15233  df-re 15234  df-im 15235  df-sqrt 15369  df-abs 15370  df-dvds 16390  df-gcd 16632

This theorem is used by:  pythagtriplem19  16972  4sqlem9  17085  4sqlem10  17086  lgsdir  27622  2sqlem8a  27715