Theorem 0blo 30727

Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0blo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
0blo.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0blo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0blo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0blo.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
2		eqid 2730	. . 3 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
3	1, 2	0lno 30725	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5	4, 1	nmoo0 30726	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) = 0)
6		0re 11182	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	eqeltrdi 2837	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) ∈ ℝ)
8		0blo.7	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
9	4, 2, 8	isblo2 30718	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ (𝑍 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) ∈ ℝ)))
10	3, 7, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389  ℝcr 11073  0cc0 11074  NrmCVeccnv 30519   LnOp clno 30675   normOp_OLD cnmoo 30676   BLnOp cblo 30677   0_op c0o 30678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151  ax-pre-sup 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-sup 9399  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-n0 12449  df-z 12536  df-uz 12800  df-rp 12958  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15071  df-re 15072  df-im 15073  df-sqrt 15207  df-abs 15208  df-grpo 30428  df-gid 30429  df-ginv 30430  df-ablo 30480  df-vc 30494  df-nv 30527  df-va 30530  df-ba 30531  df-sm 30532  df-0v 30533  df-nmcv 30535  df-lno 30679  df-nmoo 30680  df-blo 30681  df-0o 30682

This theorem is referenced by:  nmblolbi  30735