Theorem 0blo 30834

Description: The zero operator is a bounded linear operator. (Contributed by NM, 8-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
0blo.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
0blo.7	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
0blo	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem 0blo

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0blo.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
2		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑈 LnOp 𝑊) = (𝑈 LnOp 𝑊)
3	1, 2	0lno 30832	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊))
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑈 normOpOLD 𝑊) = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5	4, 1	nmoo0 30833	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) = 0)
6		0re 11267	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ
7	5, 6	eqeltrdi 2848	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) ∈ ℝ)
8		0blo.7	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
9	4, 2, 8	isblo2 30825	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑍 ∈ 𝐵 ↔ (𝑍 ∈ (𝑈 LnOp 𝑊) ∧ ((𝑈 normOpOLD 𝑊)‘𝑍) ∈ ℝ)))
10	3, 7, 9	mpbir2and 713	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1538   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6566  (class class class)co 7435  ℝcr 11158  0cc0 11159  NrmCVeccnv 30626   LnOp clno 30782   normOp_OLD cnmoo 30783   BLnOp cblo 30784   0_op c0o 30785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5286  ax-sep 5303  ax-nul 5313  ax-pow 5372  ax-pr 5439  ax-un 7758  ax-cnex 11215  ax-resscn 11216  ax-1cn 11217  ax-icn 11218  ax-addcl 11219  ax-addrcl 11220  ax-mulcl 11221  ax-mulrcl 11222  ax-mulcom 11223  ax-addass 11224  ax-mulass 11225  ax-distr 11226  ax-i2m1 11227  ax-1ne0 11228  ax-1rid 11229  ax-rnegex 11230  ax-rrecex 11231  ax-cnre 11232  ax-pre-lttri 11233  ax-pre-lttrn 11234  ax-pre-ltadd 11235  ax-pre-mulgt0 11236  ax-pre-sup 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3435  df-v 3481  df-sbc 3793  df-csb 3910  df-dif 3967  df-un 3969  df-in 3971  df-ss 3981  df-pss 3984  df-nul 4341  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4914  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5584  df-eprel 5590  df-po 5598  df-so 5599  df-fr 5642  df-we 5644  df-xp 5696  df-rel 5697  df-cnv 5698  df-co 5699  df-dm 5700  df-rn 5701  df-res 5702  df-ima 5703  df-pred 6326  df-ord 6392  df-on 6393  df-lim 6394  df-suc 6395  df-iota 6519  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7392  df-ov 7438  df-oprab 7439  df-mpo 7440  df-om 7892  df-1st 8019  df-2nd 8020  df-frecs 8311  df-wrecs 8342  df-recs 8416  df-rdg 8455  df-er 8750  df-map 8873  df-en 8991  df-dom 8992  df-sdom 8993  df-sup 9486  df-pnf 11301  df-mnf 11302  df-xr 11303  df-ltxr 11304  df-le 11305  df-sub 11498  df-neg 11499  df-div 11925  df-nn 12271  df-2 12333  df-3 12334  df-n0 12531  df-z 12618  df-uz 12883  df-rp 13039  df-seq 14046  df-exp 14106  df-cj 15141  df-re 15142  df-im 15143  df-sqrt 15277  df-abs 15278  df-grpo 30535  df-gid 30536  df-ginv 30537  df-ablo 30587  df-vc 30601  df-nv 30634  df-va 30637  df-ba 30638  df-sm 30639  df-0v 30640  df-nmcv 30642  df-lno 30786  df-nmoo 30787  df-blo 30788  df-0o 30789

This theorem is referenced by:  nmblolbi  30842