Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmlno0i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmlno0i 28690
 Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
nmlno0.3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0i.u 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0i.w 𝑊 ∈ NrmCVec
Assertion
Ref Expression
nmlno0i (𝑇𝐿 → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0i
StepHypRef Expression
1 fveqeq2 6672 . . 3 (𝑇 = if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ (𝑁‘if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0))
2 eqeq1 2762 . . 3 (𝑇 = if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑇 = 𝑍 ↔ if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍))
31, 2bibi12d 349 . 2 (𝑇 = if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) → (((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)))
4 nmlno0.3 . . 3 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5 nmlno0.0 . . 3 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
6 nmlno0.7 . . 3 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
7 nmlno0i.u . . 3 𝑈 ∈ NrmCVec
8 nmlno0i.w . . 3 𝑊 ∈ NrmCVec
95, 60lno 28686 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍𝐿)
107, 8, 9mp2an 691 . . . 4 𝑍𝐿
1110elimel 4492 . . 3 if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) ∈ 𝐿
12 eqid 2758 . . 3 (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
13 eqid 2758 . . 3 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14 eqid 2758 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
15 eqid 2758 . . 3 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
16 eqid 2758 . . 3 (0vec𝑈) = (0vec𝑈)
17 eqid 2758 . . 3 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
18 eqid 2758 . . 3 (normCV𝑈) = (normCV𝑈)
19 eqid 2758 . . 3 (normCV𝑊) = (normCV𝑊)
204, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19nmlno0lem 28689 . 2 ((𝑁‘if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)
213, 20dedth 4481 1 (𝑇𝐿 → ((𝑁𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4423  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  NrmCVeccnv 28480  BaseSetcba 28482   ·𝑠OLD cns 28483  0veccn0v 28484  normCVcnmcv 28486   LnOp clno 28636   normOpOLD cnmoo 28637   0op c0o 28639 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-nmcv 28496  df-lno 28640  df-nmoo 28641  df-0o 28643 This theorem is referenced by:  nmlno0  28691  nmlnop0iHIL  29892
 Copyright terms: Public domain W3C validator