Theorem nmlno0i 30888

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlno0i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6853	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0))
2		eqeq1 2741	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑇 = 𝑍 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍))
3	1, 2	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)))
4		nmlno0.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5		nmlno0.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
6		nmlno0.7	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
7		nmlno0i.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
8		nmlno0i.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
9	5, 6	0lno 30884	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐿)
10	7, 8, 9	mp2an 693	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐿
11	10	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) ∈ 𝐿
12		eqid 2737	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15		eqid 2737	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
17		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
18		eqid 2737	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
20	4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	nmlno0lem 30887	. 2 ⊢ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)
21	3, 20	dedth 4540	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  0cc0 11040  NrmCVeccnv 30678  BaseSetcba 30680   ·_𝑠OLD cns 30681  0_veccn0v 30682  norm_CVcnmcv 30684   LnOp clno 30834   normOp_OLD cnmoo 30835   0_op c0o 30837

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117  ax-pre-sup 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-map 8779  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-sup 9359  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160  df-2 12222  df-3 12223  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-rp 12920  df-seq 13939  df-exp 13999  df-cj 15036  df-re 15037  df-im 15038  df-sqrt 15172  df-abs 15173  df-grpo 30587  df-gid 30588  df-ginv 30589  df-ablo 30639  df-vc 30653  df-nv 30686  df-va 30689  df-ba 30690  df-sm 30691  df-0v 30692  df-nmcv 30694  df-lno 30838  df-nmoo 30839  df-0o 30841

This theorem is referenced by:  nmlno0  30889  nmlnop0iHIL  32090