Theorem nmlno0i 28690

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlno0i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6672	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0))
2		eqeq1 2762	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑇 = 𝑍 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍))
3	1, 2	bibi12d 349	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)))
4		nmlno0.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5		nmlno0.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
6		nmlno0.7	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
7		nmlno0i.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
8		nmlno0i.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
9	5, 6	0lno 28686	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐿)
10	7, 8, 9	mp2an 691	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐿
11	10	elimel 4492	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) ∈ 𝐿
12		eqid 2758	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
13		eqid 2758	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14		eqid 2758	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15		eqid 2758	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
16		eqid 2758	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
17		eqid 2758	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
18		eqid 2758	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
19		eqid 2758	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
20	4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	nmlno0lem 28689	. 2 ⊢ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)
21	3, 20	dedth 4481	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4423  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  0cc0 10588  NrmCVeccnv 28480  BaseSetcba 28482   ·_𝑠OLD cns 28483  0_veccn0v 28484  norm_CVcnmcv 28486   LnOp clno 28636   normOp_OLD cnmoo 28637   0_op c0o 28639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665  ax-pre-sup 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-sup 8952  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-div 11349  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-seq 13432  df-exp 13493  df-cj 14519  df-re 14520  df-im 14521  df-sqrt 14655  df-abs 14656  df-grpo 28389  df-gid 28390  df-ginv 28391  df-ablo 28441  df-vc 28455  df-nv 28488  df-va 28491  df-ba 28492  df-sm 28493  df-0v 28494  df-nmcv 28496  df-lno 28640  df-nmoo 28641  df-0o 28643

This theorem is referenced by:  nmlno0  28691  nmlnop0iHIL  29892