Theorem nmlno0i 30884

Description: The norm of a linear operator is zero iff the operator is zero. (Contributed by NM, 6-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nmlno0.3	⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
nmlno0.0	⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
nmlno0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
nmlno0i.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
nmlno0i.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec

Assertion

Ref	Expression
nmlno0i	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Proof of Theorem nmlno0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveqeq2 6837	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ (𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0))
2		eqeq1 2743	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (𝑇 = 𝑍 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍))
3	1, 2	bibi12d 346	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) → (((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍) ↔ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)))
4		nmlno0.3	. . 3 ⊢ 𝑁 = (𝑈 normOpOLD 𝑊)
5		nmlno0.0	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑈 0op 𝑊)
6		nmlno0.7	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
7		nmlno0i.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
8		nmlno0i.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
9	5, 6	0lno 30880	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑍 ∈ 𝐿)
10	7, 8, 9	mp2an 698	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ 𝐿
11	10	elimel 4525	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) ∈ 𝐿
12		eqid 2739	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑈) = (BaseSet‘𝑈)
13		eqid 2739	. . 3 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
14		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
15		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
16		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑈) = (0vec‘𝑈)
17		eqid 2739	. . 3 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
18		eqid 2739	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑈) = (normCV‘𝑈)
19		eqid 2739	. . 3 ⊢ (normCV‘𝑊) = (normCV‘𝑊)
20	4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19	nmlno0lem 30883	. 2 ⊢ ((𝑁‘if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍)) = 0 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, 𝑍) = 𝑍)
21	3, 20	dedth 4514	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → ((𝑁‘𝑇) = 0 ↔ 𝑇 = 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4455  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  0cc0 11030  NrmCVeccnv 30674  BaseSetcba 30676   ·_𝑠OLD cns 30677  0_veccn0v 30678  norm_CVcnmcv 30680   LnOp clno 30830   normOp_OLD cnmoo 30831   0_op c0o 30833

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-map 8766  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-sup 9346  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-seq 13956  df-exp 14016  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-grpo 30583  df-gid 30584  df-ginv 30585  df-ablo 30635  df-vc 30649  df-nv 30682  df-va 30685  df-ba 30686  df-sm 30687  df-0v 30688  df-nmcv 30690  df-lno 30834  df-nmoo 30835  df-0o 30837

This theorem is referenced by:  nmlno0  30885  nmlnop0iHIL  32086