MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  blocn Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem blocn 30325
Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
blocn.8 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
blocn.d 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
blocn.j 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
blocn.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
blocn.5 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
blocn.u π‘ˆ ∈ NrmCVec
blocn.w π‘Š ∈ NrmCVec
blocn.4 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
blocn (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐡))
Proof of Theorem blocn
StepHypRef Expression
1 eleq1 2819 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2 eleq1 2819 . . 3 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ (𝑇 ∈ 𝐡 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐡))
31, 2bibi12d 344 . 2 (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) β†’ ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐡) ↔ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐡)))
4 blocn.8 . . 3 𝐢 = (IndMetβ€˜π‘ˆ)
5 blocn.d . . 3 𝐷 = (IndMetβ€˜π‘Š)
6 blocn.j . . 3 𝐽 = (MetOpenβ€˜πΆ)
7 blocn.k . . 3 𝐾 = (MetOpenβ€˜π·)
8 blocn.4 . . 3 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
9 blocn.5 . . 3 𝐡 = (π‘ˆ BLnOp π‘Š)
10 blocn.u . . 3 π‘ˆ ∈ NrmCVec
11 blocn.w . . 3 π‘Š ∈ NrmCVec
12 eqid 2730 . . . . . 6 (π‘ˆ 0op π‘Š) = (π‘ˆ 0op π‘Š)
1312, 80lno 30308 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐿)
1410, 11, 13mp2an 688 . . . 4 (π‘ˆ 0op π‘Š) ∈ 𝐿
1514elimel 4598 . . 3 if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐿
164, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15blocni 30323 . 2 (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (π‘ˆ 0op π‘Š)) ∈ 𝐡)
173, 16dedth 4587 1 (𝑇 ∈ 𝐿 β†’ (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ifcif 4529  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  MetOpencmopn 21136   Cn ccn 22950  NrmCVeccnv 30102  IndMetcims 30109   LnOp clno 30258   BLnOp cblo 30260   0op c0o 30261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-q 12939  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-seq 13973  df-exp 14034  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-topgen 17395  df-psmet 21138  df-xmet 21139  df-met 21140  df-bl 21141  df-mopn 21142  df-top 22618  df-topon 22635  df-bases 22671  df-cn 22953  df-cnp 22954  df-grpo 30011  df-gid 30012  df-ginv 30013  df-gdiv 30014  df-ablo 30063  df-vc 30077  df-nv 30110  df-va 30113  df-ba 30114  df-sm 30115  df-0v 30116  df-vs 30117  df-nmcv 30118  df-ims 30119  df-lno 30262  df-nmoo 30263  df-blo 30264  df-0o 30265
This theorem is referenced by:  blocn2  30326
  Copyright terms: Public domain W3C validator