Theorem blocn 30743

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocn.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blocn	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem blocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2817	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2		eleq1 2817	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12d 345	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵) ↔ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)))
4		blocn.8	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
5		blocn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
6		blocn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
7		blocn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
8		blocn.4	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9		blocn.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
13	12, 8	0lno 30726	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿)
14	10, 11, 13	mp2an 692	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿
15	14	elimel 4561	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐿
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	blocni 30741	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)
17	3, 16	dedth 4550	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4491  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  MetOpencmopn 21261   Cn ccn 23118  NrmCVeccnv 30520  IndMetcims 30527   LnOp clno 30676   BLnOp cblo 30678   0_op c0o 30679

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153  ax-addf 11154  ax-mulf 11155

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xneg 13079  df-xadd 13080  df-xmul 13081  df-seq 13974  df-exp 14034  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-topgen 17413  df-psmet 21263  df-xmet 21264  df-met 21265  df-bl 21266  df-mopn 21267  df-top 22788  df-topon 22805  df-bases 22840  df-cn 23121  df-cnp 23122  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-ims 30537  df-lno 30680  df-nmoo 30681  df-blo 30682  df-0o 30683

This theorem is referenced by:  blocn2  30744