Theorem blocn 31409

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocn.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blocn	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem blocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2		eleq1 2848	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵) ↔ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)))
4		blocn.8	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
5		blocn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
6		blocn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
7		blocn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
8		blocn.4	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9		blocn.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
13	12, 8	0lno 31392	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿)
14	10, 11, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿
15	14	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐿
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	blocni 31407	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)
17	3, 16	dedth 4540	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  MetOpencmopn 21668   Cn ccn 23542  NrmCVeccnv 31186  IndMetcims 31193   LnOp clno 31342   BLnOp cblo 31344   0_op c0o 31345

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279  ax-mulf 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-seq 14145  df-exp 14205  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-topgen 17614  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-top 23212  df-topon 23229  df-bases 23264  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-grpo 31095  df-gid 31096  df-ginv 31097  df-gdiv 31098  df-ablo 31147  df-vc 31161  df-nv 31194  df-va 31197  df-ba 31198  df-sm 31199  df-0v 31200  df-vs 31201  df-nmcv 31202  df-ims 31203  df-lno 31346  df-nmoo 31347  df-blo 31348  df-0o 31349

This theorem is used by:  blocn2  31410