Theorem blocn 31274

Description: A linear operator is continuous iff it is bounded. Theorem 2.7-9(a) of [Kreyszig] p. 97. (Contributed by NM, 25-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
blocn.8	⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
blocn.d	⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
blocn.j	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
blocn.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
blocn.5	⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
blocn.u	⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
blocn.w	⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
blocn.4	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
blocn	⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

Proof of Theorem blocn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2850	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾)))
2		eleq1 2850	. . 3 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → (𝑇 ∈ 𝐵 ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵))
3	1, 2	bibi12d 348	. 2 ⊢ (𝑇 = if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) → ((𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵) ↔ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)))
4		blocn.8	. . 3 ⊢ 𝐶 = (IndMet‘𝑈)
5		blocn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (IndMet‘𝑊)
6		blocn.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
7		blocn.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
8		blocn.4	. . 3 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9		blocn.5	. . 3 ⊢ 𝐵 = (𝑈 BLnOp 𝑊)
10		blocn.u	. . 3 ⊢ 𝑈 ∈ NrmCVec
11		blocn.w	. . 3 ⊢ 𝑊 ∈ NrmCVec
12		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) = (𝑈 0op 𝑊)
13	12, 8	0lno 31257	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿)
14	10, 11, 13	mp2an 705	. . . 4 ⊢ (𝑈 0op 𝑊) ∈ 𝐿
15	14	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐿
16	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 15	blocni 31272	. 2 ⊢ (if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ if(𝑇 ∈ 𝐿, 𝑇, (𝑈 0op 𝑊)) ∈ 𝐵)
17	3, 16	dedth 4544	1 ⊢ (𝑇 ∈ 𝐿 → (𝑇 ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ 𝑇 ∈ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4485  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  MetOpencmopn 21576   Cn ccn 23450  NrmCVeccnv 31051  IndMetcims 31058   LnOp clno 31207   BLnOp cblo 31209   0_op c0o 31210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13045  df-xneg 13165  df-xadd 13166  df-xmul 13167  df-seq 14068  df-exp 14128  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-topgen 17532  df-psmet 21578  df-xmet 21579  df-met 21580  df-bl 21581  df-mopn 21582  df-top 23120  df-topon 23137  df-bases 23172  df-cn 23453  df-cnp 23454  df-grpo 30960  df-gid 30961  df-ginv 30962  df-gdiv 30963  df-ablo 31012  df-vc 31026  df-nv 31059  df-va 31062  df-ba 31063  df-sm 31064  df-0v 31065  df-vs 31066  df-nmcv 31067  df-ims 31068  df-lno 31211  df-nmoo 31212  df-blo 31213  df-0o 31214

This theorem is used by:  blocn2  31275