Theorem 2ndcdisj2 23181

Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcdisj2	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ≼ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem 2ndcdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 3374	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
2	1	albii 1819	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
3		undif2 4475	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ({∅} ∪ 𝐴)
4		omex 9640	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		peano1 7881	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
6		snssi 4810	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ω → {∅} ⊆ ω)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ⊆ ω
8		ssdomg 8998	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → ({∅} ⊆ ω → {∅} ≼ ω))
9	4, 7, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ ω
10		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 2ndω)
11		ssdif 4138	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ (𝐽 ∖ {∅}))
12		dfss3 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ (𝐽 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}))
13	11, 12	sylib 217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}))
14		eldifi 4125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	anim1i 613	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
16	15	moimi 2537	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17	16	alimi 1811	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18		df-rmo 3374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	albii 1819	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20		2ndcdisj 23180	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
21	19, 20	syl3an3br 1406	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
22	10, 13, 17, 21	syl3an 1158	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
23		unctb 10202	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ ω ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω) → ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) ≼ ω)
24	9, 22, 23	sylancr 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) ≼ ω)
25	3, 24	eqbrtrrid 5183	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω)
26		ctex 8961	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω → ({∅} ∪ 𝐴) ∈ V)
27	25, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ 𝐴) ∈ V)
28		ssun2 4172	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ({∅} ∪ 𝐴)
29		ssdomg 8998	. . . 4 ⊢ (({∅} ∪ 𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ ({∅} ∪ 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴)))
30	27, 28, 29	mpisyl 21	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴))
31		domtr 9005	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴) ∧ ({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
32	30, 25, 31	syl2anc 582	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ≼ ω)
33	2, 32	syl3an3b 1403	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085  ∀wal 1537   ∈ wcel 2104  ∃*wmo 2530  ∀wral 3059  ∃*wrmo 3373  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944   ∪ cun 3945   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147  ωcom 7857   ≼ cdom 8939  2^ndωc2ndc 23162

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-topgen 17393  df-2ndc 23164

This theorem is referenced by: (None)