Theorem 2ndcdisj2 23684

Description: Any disjoint collection of open sets in a second-countable space is countable. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Mar-2015.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 9-Apr-2015.) (Revised by NM, 17-Jun-2017.)

Assertion

Ref	Expression
2ndcdisj2	⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ≼ ω)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐽

Allowed substitution hint:   𝐽(𝑦)

Proof of Theorem 2ndcdisj2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-rmo 3365	. . 3 ⊢ (∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
2	1	albii 1852	. 2 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
3		undif2 4431	. . . . . 6 ⊢ ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) = ({∅} ∪ 𝐴)
4		omex 9623	. . . . . . . 8 ⊢ ω ∈ V
5		peano1 7886	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ ω
6		snssi 4746	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ ω → {∅} ⊆ ω)
7	5, 6	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ {∅} ⊆ ω
8		ssdomg 9007	. . . . . . . 8 ⊢ (ω ∈ V → ({∅} ⊆ ω → {∅} ≼ ω))
9	4, 7, 8	mp2 9	. . . . . . 7 ⊢ {∅} ≼ ω
10		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ 2ndω → 𝐽 ∈ 2ndω)
11		ssdif 4091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → (𝐴 ∖ {∅}) ⊆ (𝐽 ∖ {∅}))
12		dfss3 3920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∖ {∅}) ⊆ (𝐽 ∖ {∅}) ↔ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}))
13	11, 12	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐽 → ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}))
14		eldifi 4078	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) → 𝑥 ∈ 𝐴)
15	14	anim1i 627	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
16	15	moimi 2570	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
17	16	alimi 1844	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
18		df-rmo 3365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
19	18	albii 1852	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀𝑦∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥 ↔ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥))
20		2ndcdisj 23683	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑦 ∈ 𝑥) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
21	19, 20	syl3an3br 1435	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ ∀𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅})𝑥 ∈ (𝐽 ∖ {∅}) ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ (𝐴 ∖ {∅}) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
22	10, 13, 17, 21	syl3an 1178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω)
23		unctb 10207	. . . . . . 7 ⊢ (({∅} ≼ ω ∧ (𝐴 ∖ {∅}) ≼ ω) → ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) ≼ ω)
24	9, 22, 23	sylancr 599	. . . . . 6 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ (𝐴 ∖ {∅})) ≼ ω)
25	3, 24	eqbrtrrid 5141	. . . . 5 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω)
26		ctex 8970	. . . . 5 ⊢ (({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω → ({∅} ∪ 𝐴) ∈ V)
27	25, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → ({∅} ∪ 𝐴) ∈ V)
28		ssun2 4125	. . . 4 ⊢ 𝐴 ⊆ ({∅} ∪ 𝐴)
29		ssdomg 9007	. . . 4 ⊢ (({∅} ∪ 𝐴) ∈ V → (𝐴 ⊆ ({∅} ∪ 𝐴) → 𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴)))
30	27, 28, 29	mpisyl 22	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴))
31		domtr 9014	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ({∅} ∪ 𝐴) ∧ ({∅} ∪ 𝐴) ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
32	30, 25, 31	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥(𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥)) → 𝐴 ≼ ω)
33	2, 32	syl3an3b 1432	1 ⊢ ((𝐽 ∈ 2ndω ∧ 𝐴 ⊆ 𝐽 ∧ ∀𝑦∃*𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐴 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103  ∀wal 1568   ∈ wcel 2145  ∃*wmo 2562  ∀wral 3076  ∃*wrmo 3364  Vcvv 3450   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  {csn 4584   class class class wbr 5103  ωcom 7863   ≼ cdom 8951  2^ndωc2ndc 23664

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-inf2 9621

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-oi 9483  df-dju 9907  df-card 9945  df-topgen 17529  df-2ndc 23666

This theorem is used by: (None)