Theorem pw2gt0divsd 28653

Description: Division of a positive surreal by a power of two. (Contributed by Scott Fenton, 7-Nov-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
pw2gt0divsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
pw2gt0divsd.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)

Assertion

Ref	Expression
pw2gt0divsd	⊢ (𝜑 → ( 0s <s 𝐴 ↔ 0s <s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

Proof of Theorem pw2gt0divsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0no 28017	. . . 4 ⊢ 0s ∈ No
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
3		pw2gt0divsd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
4		pw2gt0divsd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0s)
5	3, 4	pw2divscld 28647	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ∈ No )
6		2no 28627	. . . 4 ⊢ 2s ∈ No
7		expscl 28639	. . . 4 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑁) ∈ No )
8	6, 4, 7	sylancr 599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2s↑s𝑁) ∈ No )
9		2nns 28626	. . . . . 6 ⊢ 2s ∈ ℕs
10		nnsgt0 28547	. . . . . 6 ⊢ (2s ∈ ℕs → 0s <s 2s)
11	9, 10	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ 0s <s 2s
12		expsgt0 28645	. . . . 5 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑁 ∈ ℕ0s ∧ 0s <s 2s) → 0s <s (2s↑s𝑁))
13	6, 11, 12	mp3an13 1481	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0s → 0s <s (2s↑s𝑁))
14	4, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s (2s↑s𝑁))
15	2, 5, 8, 14	ltmuls2d 28380	. 2 ⊢ (𝜑 → ( 0s <s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)) ↔ ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) <s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁)))))
16		muls01 28320	. . . 4 ⊢ ((2s↑s𝑁) ∈ No → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
17	8, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s 0s ) = 0s )
18	3, 4	pw2divscan2d 28650	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) = 𝐴)
19	17, 18	breq12d 5125	. 2 ⊢ (𝜑 → (((2s↑s𝑁) ·s 0s ) <s ((2s↑s𝑁) ·s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))) ↔ 0s <s 𝐴))
20	15, 19	bitr2d 283	1 ⊢ (𝜑 → ( 0s <s 𝐴 ↔ 0s <s (𝐴 /su (2s↑s𝑁))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5112  (class class class)co 7416   No csur 27819   <s clts 27820   0_s c0s 28013   ·_s cmuls 28314   /_su cdivs 28395  ℕ_0scn0s 28520  ℕ_scnns 28521  2_sc2s 28618  ↑_scexps 28620

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-ot 4601  df-uni 4876  df-int 4916  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-se 5618  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-oadd 8459  df-nadd 8654  df-no 27822  df-lts 27823  df-bday 27824  df-les 27924  df-slts 27966  df-cuts 27968  df-0s 28015  df-1s 28016  df-made 28035  df-old 28036  df-left 28038  df-right 28039  df-norec 28146  df-norec2 28157  df-adds 28168  df-negs 28229  df-subs 28230  df-muls 28315  df-divs 28396  df-seqs 28492  df-n0s 28522  df-nns 28523  df-zs 28587  df-2s 28619  df-exps 28621

This theorem is used by: (None)