Theorem z12addscl 28845

Description: The dyadics are closed under addition. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
z12addscl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem z12addscl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑛 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz12s 28840	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)))
2		elz12s 28840	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚)))
3		reeanv 3235	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
4	3	2rexbii 3139	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
5		reeanv 3235	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
6	4, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
7		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ ℤs)
8	7	znod 28751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ No )
9		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
10		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ ℕ0s)
11	8, 9, 10	pw2divscan4d 28812	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
12		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ ℤs)
13	12	znod 28751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ No )
14	13, 10, 9	pw2divscan4d 28812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))))
15	10	n0nod 28693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ No )
16	9	n0nod 28693	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ No )
17	15, 16	addscomd 28335	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑚 +s 𝑛) = (𝑛 +s 𝑚))
18	17	oveq2d 7428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s(𝑚 +s 𝑛)) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
19	18	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
20	14, 19	eqtrd 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
21	11, 20	oveq12d 7430	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
22		2no 28787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2s ∈ No
23		expscl 28799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
24	22, 10, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
25	24, 8	mulscld 28503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ No )
26		expscl 28799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
27	22, 9, 26	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
28	27, 13	mulscld 28503	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ No )
29		n0addscl 28712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
31	25, 28, 30	pw2divsdird 28816	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
32	21, 31	eqtr4d 2799	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
33		oveq1 7419	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)))
34	33	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝))))
35		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (2s↑s𝑝) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
36	35	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
37	36	eqeq2d 2772	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
38		2nns 28786	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ ℕs
39		nnzs 28754	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2s ∈ ℤs
41		zexpscl 28802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
42	40, 10, 41	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
43	42, 7	zmulscld 28765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ ℤs)
44		zexpscl 28802	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
45	40, 9, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
46	45, 12	zmulscld 28765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ ℤs)
47	43, 46	zaddscld 28763	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) ∈ ℤs)
48		eqidd 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
49	34, 37, 47, 30, 48	2rspcedvdw 3590	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
50		elz12s 28840	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
51	49, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
52	32, 51	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
53		oveq12 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) = ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
54	53	eleq1d 2846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → ((𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2] ↔ ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2]))
55	52, 54	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
56	55	rexlimdvva 3220	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) → (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
57	56	rexlimivv 3205	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
58	6, 57	sylbir 238	. 2 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
59	1, 2, 58	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087  (class class class)co 7412   No csur 27979   +_s cadds 28327   ·_s cmuls 28474   /_su cdivs 28555  ℕ_0scn0s 28680  ℕ_scnns 28681  ℤ_sczs 28746  2_sc2s 28778  ↑_scexps 28780  ℤ_s[1/2]cz12s 28782

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-2o 8461  df-oadd 8464  df-nadd 8659  df-no 27982  df-lts 27983  df-bday 27984  df-les 28084  df-slts 28126  df-cuts 28128  df-0s 28175  df-1s 28176  df-made 28195  df-old 28196  df-left 28198  df-right 28199  df-norec 28306  df-norec2 28317  df-adds 28328  df-negs 28389  df-subs 28390  df-muls 28475  df-divs 28556  df-seqs 28652  df-n0s 28682  df-nns 28683  df-zs 28747  df-2s 28779  df-exps 28781  df-z12s 28783

This theorem is used by:  z12subscl  28847  bdayfinlem  28854