Theorem z12addscl 28893

Description: The dyadics are closed under addition. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
z12addscl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem z12addscl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑛 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz12s 28888	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)))
2		elz12s 28888	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚)))
3		reeanv 3238	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
4	3	2rexbii 3142	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
5		reeanv 3238	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
6	4, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
7		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ ℤs)
8	7	znod 28799	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ No)
9		simprl 783	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
10		simprr 785	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ ℕ0s)
11	8, 9, 10	pw2divscan4d 28860	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
12		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ ℤs)
13	12	znod 28799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ No)
14	13, 10, 9	pw2divscan4d 28860	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))))
15	10	n0nod 28741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ No)
16	9	n0nod 28741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ No)
17	15, 16	addscomd 28383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑚 +s 𝑛) = (𝑛 +s 𝑚))
18	17	oveq2d 7459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s(𝑚 +s 𝑛)) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
19	18	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
20	14, 19	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
21	11, 20	oveq12d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
22		2no 28835	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2s ∈ No
23		expscl 28847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ No)
24	22, 10, 23	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ No)
25	24, 8	mulscld 28551	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ No)
26		expscl 28847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No)
27	22, 9, 26	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ No)
28	27, 13	mulscld 28551	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ No)
29		n0addscl 28760	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
30	29	adantl 487	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
31	25, 28, 30	pw2divsdird 28864	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
32	21, 31	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
33		oveq1 7450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)))
34	33	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝))))
35		oveq2 7451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (2s↑s𝑝) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
36	35	oveq2d 7459	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
37	36	eqeq2d 2774	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
38		2nns 28834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ ℕs
39		nnzs 28802	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2s ∈ ℤs
41		zexpscl 28850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
42	40, 10, 41	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
43	42, 7	zmulscld 28813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ ℤs)
44		zexpscl 28850	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
45	40, 9, 44	sylancr 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
46	45, 12	zmulscld 28813	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ ℤs)
47	43, 46	zaddscld 28811	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) ∈ ℤs)
48		eqidd 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
49	34, 37, 47, 30, 48	2rspcedvdw 3593	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
50		elz12s 28888	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
51	49, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
52	32, 51	eqeltrd 2864	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
53		oveq12 7452	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) = ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
54	53	eleq1d 2849	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → ((𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2] ↔ ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2]))
55	52, 54	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
56	55	rexlimdvva 3223	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) → (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
57	56	rexlimivv 3208	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
58	6, 57	sylbir 238	. 2 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
59	1, 2, 58	syl2anb 610	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  (class class class)co 7443  Nocsur 28027   +_s cadds 28375   ·_s cmuls 28522   /_su cdivs 28603  ℕ_0scn0s 28728  ℕ_scnns 28729  ℤ_sczs 28794  2_sc2s 28826  ↑_scexps 28828  ℤ_s[1/2]cz12s 28830

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-nadd 8703  df-no 28030  df-lts 28031  df-bday 28032  df-les 28132  df-slts 28174  df-cuts 28176  df-0s 28223  df-1s 28224  df-made 28243  df-old 28244  df-left 28246  df-right 28247  df-norec 28354  df-norec2 28365  df-adds 28376  df-negs 28437  df-subs 28438  df-muls 28523  df-divs 28604  df-seqs 28700  df-n0s 28730  df-nns 28731  df-zs 28795  df-2s 28827  df-exps 28829  df-z12s 28831

This theorem is used by:  z12subscl  28895  bdayfinlem  28902