Theorem z12addscl 28628

Description: The dyadics are closed under addition. (Contributed by Scott Fenton, 11-Dec-2025.)

Assertion

Ref	Expression
z12addscl	⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Proof of Theorem z12addscl

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑛 𝑚 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elz12s 28623	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)))
2		elz12s 28623	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚)))
3		reeanv 3237	. . . . 5 ⊢ (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
4	3	2rexbii 3141	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ ∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
5		reeanv 3237	. . . 4 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs (∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
6	4, 5	bitri 278	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ↔ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
7		simpll 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ ℤs)
8	7	znod 28534	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑎 ∈ No )
9		simprl 782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ ℕ0s)
10		simprr 784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ ℕ0s)
11	8, 9, 10	pw2divscan4d 28595	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
12		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ ℤs)
13	12	znod 28534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑏 ∈ No )
14	13, 10, 9	pw2divscan4d 28595	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))))
15	10	n0nod 28476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑚 ∈ No )
16	9	n0nod 28476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → 𝑛 ∈ No )
17	15, 16	addscomd 28118	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑚 +s 𝑛) = (𝑛 +s 𝑚))
18	17	oveq2d 7416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s(𝑚 +s 𝑛)) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
19	18	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑚 +s 𝑛))) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
20	14, 19	eqtrd 2800	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑏 /su (2s↑s𝑚)) = (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
21	11, 20	oveq12d 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
22		2no 28570	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2s ∈ No
23		expscl 28582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
24	22, 10, 23	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ No )
25	24, 8	mulscld 28286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ No )
26		expscl 28582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2s ∈ No ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
27	22, 9, 26	sylancr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ No )
28	27, 13	mulscld 28286	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ No )
29		n0addscl 28495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
30	29	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (𝑛 +s 𝑚) ∈ ℕ0s)
31	25, 28, 30	pw2divsdird 28599	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) +s (((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
32	21, 31	eqtr4d 2803	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
33		oveq1 7407	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)))
34	33	eqeq2d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑐 = (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝))))
35		oveq2 7408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (2s↑s𝑝) = (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))
36	35	oveq2d 7416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
37	36	eqeq2d 2776	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑝 = (𝑛 +s 𝑚) → (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s𝑝)) ↔ ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚)))))
38		2nns 28569	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2s ∈ ℕs
39		nnzs 28537	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (2s ∈ ℕs → 2s ∈ ℤs)
40	38, 39	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2s ∈ ℤs
41		zexpscl 28585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
42	40, 10, 41	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑚) ∈ ℤs)
43	42, 7	zmulscld 28548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) ∈ ℤs)
44		zexpscl 28585	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2s ∈ ℤs ∧ 𝑛 ∈ ℕ0s) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
45	40, 9, 44	sylancr 598	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (2s↑s𝑛) ∈ ℤs)
46	45, 12	zmulscld 28548	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏) ∈ ℤs)
47	43, 46	zaddscld 28546	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → (((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) ∈ ℤs)
48		eqidd 2766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))))
49	34, 37, 47, 30, 48	2rspcedvdw 3598	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
50		elz12s 28623	. . . . . . . 8 ⊢ (((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2] ↔ ∃𝑐 ∈ ℤs ∃𝑝 ∈ ℕ0s ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) = (𝑐 /su (2s↑s𝑝)))
51	49, 50	sylibr 237	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((((2s↑s𝑚) ·s 𝑎) +s ((2s↑s𝑛) ·s 𝑏)) /su (2s↑s(𝑛 +s 𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
52	32, 51	eqeltrd 2865	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2])
53		oveq12 7409	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) = ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))))
54	53	eleq1d 2850	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → ((𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2] ↔ ((𝑎 /su (2s↑s𝑛)) +s (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) ∈ ℤs[1/2]))
55	52, 54	syl5ibrcom 250	. . . . 5 ⊢ (((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) ∧ (𝑛 ∈ ℕ0s ∧ 𝑚 ∈ ℕ0s)) → ((𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
56	55	rexlimdvva 3222	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤs ∧ 𝑏 ∈ ℤs) → (∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2]))
57	56	rexlimivv 3207	. . 3 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s ∃𝑚 ∈ ℕ0s (𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
58	6, 57	sylbir 238	. 2 ⊢ ((∃𝑎 ∈ ℤs ∃𝑛 ∈ ℕ0s 𝐴 = (𝑎 /su (2s↑s𝑛)) ∧ ∃𝑏 ∈ ℤs ∃𝑚 ∈ ℕ0s 𝐵 = (𝑏 /su (2s↑s𝑚))) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])
59	1, 2, 58	syl2anb 609	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤs[1/2] ∧ 𝐵 ∈ ℤs[1/2]) → (𝐴 +s 𝐵) ∈ ℤs[1/2])

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3089  (class class class)co 7400   No csur 27762   +_s cadds 28110   ·_s cmuls 28257   /_su cdivs 28338  ℕ_0scn0s 28463  ℕ_scnns 28464  ℤ_sczs 28529  2_sc2s 28561  ↑_scexps 28563  ℤ_s[1/2]cz12s 28565

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-int 4909  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-se 5606  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-nadd 8640  df-no 27765  df-lts 27766  df-bday 27767  df-les 27867  df-slts 27909  df-cuts 27911  df-0s 27958  df-1s 27959  df-made 27978  df-old 27979  df-left 27981  df-right 27982  df-norec 28089  df-norec2 28100  df-adds 28111  df-negs 28172  df-subs 28173  df-muls 28258  df-divs 28339  df-seqs 28435  df-n0s 28465  df-nns 28466  df-zs 28530  df-2s 28562  df-exps 28564  df-z12s 28566

This theorem is referenced by:  z12subscl  28630  bdayfinlem  28637