MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  9t11e99 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 9t11e99 12861
Description: 9 times 11 equals 99. (Contributed by AV, 14-Jun-2021.) (Revised by AV, 6-Sep-2021.)
Assertion
Ref Expression
9t11e99 (9 · 11) = 99

Proof of Theorem 9t11e99
StepHypRef Expression
1 9cn 12364 . . . 4 9 ∈ ℂ
2 10nn0 12749 . . . . . 6 10 ∈ ℕ0
32nn0cni 12536 . . . . 5 10 ∈ ℂ
4 ax-1cn 11211 . . . . 5 1 ∈ ℂ
53, 4mulcli 11266 . . . 4 (10 · 1) ∈ ℂ
61, 5, 4adddii 11271 . . 3 (9 · ((10 · 1) + 1)) = ((9 · (10 · 1)) + (9 · 1))
73mulridi 11263 . . . . . 6 (10 · 1) = 10
87oveq2i 7442 . . . . 5 (9 · (10 · 1)) = (9 · 10)
91, 3mulcomi 11267 . . . . 5 (9 · 10) = (10 · 9)
108, 9eqtri 2763 . . . 4 (9 · (10 · 1)) = (10 · 9)
111mulridi 11263 . . . 4 (9 · 1) = 9
1210, 11oveq12i 7443 . . 3 ((9 · (10 · 1)) + (9 · 1)) = ((10 · 9) + 9)
136, 12eqtri 2763 . 2 (9 · ((10 · 1) + 1)) = ((10 · 9) + 9)
14 dfdec10 12734 . . 3 11 = ((10 · 1) + 1)
1514oveq2i 7442 . 2 (9 · 11) = (9 · ((10 · 1) + 1))
16 dfdec10 12734 . 2 99 = ((10 · 9) + 9)
1713, 15, 163eqtr4i 2773 1 (9 · 11) = 99
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  9c9 12326  cdc 12731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-dec 12732
This theorem is referenced by:  3dvds2dec  16367  1259lem3  17167
  Copyright terms: Public domain W3C validator