MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17075
Description: Lemma for 1259prm 17078. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12492 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12496 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12696 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12314 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12701 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2823 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12289 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12494 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12499 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12696 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12600 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12498 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12696 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12495 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12696 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12696 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12591 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12696 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12491 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12696 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12497 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12696 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17074 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 17027 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7415 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2726 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12371 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12741 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12500 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2726 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12699 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2726 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12488 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12310 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12724 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11410 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12696 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12488 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mullidi 11223 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12703 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2726 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12338 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12361 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11410 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12735 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12358 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2726 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12712 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12374 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12735 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12304 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12758 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11410 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12742 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12733 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12683 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12316 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12488 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12811 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11227 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12722 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12734 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2726 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12696 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12696 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2726 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2726 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2726 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12488 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addridi 11405 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12313 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addridi 11405 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7417 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12764 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2754 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulridi 11222 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7415 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12377 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12703 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2758 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12733 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11407 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12291 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addlidi 11406 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12703 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2758 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12733 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12800 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12362 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12763 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12742 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12794 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12746 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12307 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11407 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12745 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12747 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2757 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 17010 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2726 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12382 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11227 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7415 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12364 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2754 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12796 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11227 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12747 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12703 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2726 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12301 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addlidi 11406 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12703 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2754 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2754 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulridi 11222 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7417 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2754 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12384 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7415 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12761 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2754 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12734 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12783 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11227 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12741 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12734 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12805 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11227 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12754 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12742 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12734 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12795 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12722 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mullidi 11223 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7415 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12760 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2754 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12739 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12488 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulridi 11222 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12747 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2757 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 17011 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7405  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  cdc 12681   mod cmo 13840  cexp 14032
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12981  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  1259lem4  17076
  Copyright terms: Public domain W3C validator