MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17012
Description: Lemma for 1259prm 17015. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12436 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12440 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12640 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12258 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12645 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12438 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12443 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12640 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12544 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12442 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12640 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12640 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12640 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12535 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12640 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12435 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12640 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12441 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12640 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17011 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 16964 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7372 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2737 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12315 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12685 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12444 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2737 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12643 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2737 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12432 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12254 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12668 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11354 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12640 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12432 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12647 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12282 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12241 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12305 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11354 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12679 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12302 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2737 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12656 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12318 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12679 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12248 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12702 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11354 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12686 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12677 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12627 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12260 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12432 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12755 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11171 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12666 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12678 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2737 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12640 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12640 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2737 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2737 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2737 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12432 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 11349 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12257 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 11349 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12708 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2765 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 11166 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12321 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12647 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2769 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12677 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11351 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12647 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2769 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12677 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12744 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12306 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12707 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12686 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12738 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12690 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12251 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11351 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12689 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12691 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2768 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 16947 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2737 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12326 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11171 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7372 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12308 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2765 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12740 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11171 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12691 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12647 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2737 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12245 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12647 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2765 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2765 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2765 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12328 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12705 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2765 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12678 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12727 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11171 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12685 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12678 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12749 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11171 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12698 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12686 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12678 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12739 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12666 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 11167 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7372 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12704 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12683 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12432 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 11166 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12691 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2768 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 16948 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  1259lem4  17013
  Copyright terms: Public domain W3C validator