MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 16047
Description: Lemma for 1259prm 16050. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11510 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11511 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11714 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11514 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11714 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11394 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11720 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2846 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11387 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11512 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11517 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11714 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 11613 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11516 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 11714 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11513 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 11714 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 11714 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11604 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 11714 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11509 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11714 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11515 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 11714 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 16046 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 16001 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 6803 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2771 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11366 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 11780 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11518 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2771 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 11718 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2771 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11506 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 11306 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 11755 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10430 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 11714 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11506 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 11724 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2771 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11334 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 11297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 10196 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11355 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10430 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 11771 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11353 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2771 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 11737 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11369 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 11771 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 11302 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 11808 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10430 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 11781 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 11767 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 11698 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 11310 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11506 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 11872 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 10249 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 11752 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 11769 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2771 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 11714 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 11714 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2771 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2771 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2771 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11506 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10425 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 11308 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 10244 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10425 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 6805 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 11816 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2793 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 10244 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 6803 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11374 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 11724 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2797 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 11767 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10427 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10426 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 11724 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2797 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 11767 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 11860 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11356 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 11815 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 11781 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 11853 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 11788 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 11304 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10427 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 22, 100, 102decmul1 11786 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 11790 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2796 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 15979 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2771 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11381 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 10249 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 6803 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11358 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2793 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 11855 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 10249 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 11790 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 11724 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2771 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 11300 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 11724 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2793 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2793 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 10244 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2793 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11383 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 11811 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2793 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 11769 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 11838 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 10249 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 11780 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 11769 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 11866 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 10249 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 11801 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 11781 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 11769 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 11854 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 11752 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 10245 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 6803 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 11810 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2793 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 11778 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11506 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 10244 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 11790 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2796 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 15980 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  (class class class)co 6793  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143  cn 11222  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  9c9 11279  cdc 11695   mod cmo 12876  cexp 13067
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-sup 8504  df-inf 8505  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-rp 12036  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068
This theorem is referenced by:  1259lem4  16048
  Copyright terms: Public domain W3C validator