MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17167
Description: Lemma for 1259prm 17170. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12540 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12541 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12544 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12746 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12362 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12751 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12542 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12547 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12746 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12649 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12546 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12746 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12543 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12746 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12746 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12640 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12746 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12539 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12746 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12545 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12746 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17166 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 17119 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7441 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2735 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12419 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12791 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12548 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2735 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12749 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2735 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12536 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12358 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12774 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11451 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12746 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12536 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mullidi 11264 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12753 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2735 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12386 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12345 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12409 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11451 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12785 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12406 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2735 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12762 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12422 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12785 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12352 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12808 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11451 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12792 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12783 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12733 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12364 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12536 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12861 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11268 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12772 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12784 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2735 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12746 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12746 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2735 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2735 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2735 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12536 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addridi 11446 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12361 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addridi 11446 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12814 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2763 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulridi 11263 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12425 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12753 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2767 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12783 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11448 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12339 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addlidi 11447 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12753 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2767 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12783 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12850 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12410 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12813 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12792 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12844 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12796 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12355 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11448 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12795 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12797 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2766 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 17102 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2735 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12430 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11268 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7441 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12412 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2763 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12846 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11268 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12797 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12753 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2735 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12349 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addlidi 11447 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12753 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2763 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2763 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulridi 11263 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2763 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12432 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12811 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2763 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12784 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12833 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11268 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12791 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12784 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12855 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11268 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12804 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12792 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12784 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12845 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12772 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mullidi 11264 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12810 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2763 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12789 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12536 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulridi 11263 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12797 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2766 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 17103 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  1259lem4  17168
  Copyright terms: Public domain W3C validator