MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17111
Description: Lemma for 1259prm 17114. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12528 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12529 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12732 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12532 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12732 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12350 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12737 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2825 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12325 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12530 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12535 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12732 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12636 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12534 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12732 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12531 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12732 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12732 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12627 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12732 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12527 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12732 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12533 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12732 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17110 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 17063 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7436 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2728 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12407 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12777 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12536 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2728 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12735 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2728 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12524 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12346 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12760 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11446 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12732 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12524 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mullidi 11259 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12739 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2728 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12374 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12333 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11206 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12397 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11446 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12771 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12394 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2728 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12748 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12410 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12771 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12340 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12794 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11446 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12778 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12769 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12719 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12352 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12524 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12847 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11263 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12758 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12770 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2728 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12732 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12732 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2728 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2728 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2728 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12524 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addridi 11441 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12349 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulridi 11258 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addridi 11441 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7438 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12800 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2756 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulridi 11258 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7436 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12413 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12739 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2760 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12769 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11443 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7436 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12327 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addlidi 11442 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12739 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2760 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12769 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12836 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12398 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12799 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12778 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12830 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12782 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12343 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11443 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12781 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12783 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2759 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 17046 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2728 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12418 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11263 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7436 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12400 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2756 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12832 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11263 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12783 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12739 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2728 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12337 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addlidi 11442 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12739 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2756 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2756 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulridi 11258 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7438 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2756 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12420 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7436 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12797 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2756 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12770 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12819 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11263 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12777 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12770 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12841 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11263 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12790 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12778 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12770 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12831 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12758 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mullidi 11259 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7436 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12796 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2756 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12775 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12524 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulridi 11258 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12783 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2759 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 17047 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1533  (class class class)co 7426  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153  cn 12252  2c2 12307  3c3 12308  4c4 12309  5c5 12310  6c6 12311  7c7 12312  8c8 12313  9c9 12314  cdc 12717   mod cmo 13876  cexp 14068
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-er 8733  df-en 8973  df-dom 8974  df-sdom 8975  df-sup 9475  df-inf 9476  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12253  df-2 12315  df-3 12316  df-4 12317  df-5 12318  df-6 12319  df-7 12320  df-8 12321  df-9 12322  df-n0 12513  df-z 12599  df-dec 12718  df-uz 12863  df-rp 13017  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14009  df-exp 14069
This theorem is referenced by:  1259lem4  17112
  Copyright terms: Public domain W3C validator