MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17087
Description: Lemma for 1259prm 17090. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12504 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12505 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12708 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12508 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12708 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12326 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12713 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2824 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12301 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12506 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12511 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12708 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12612 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12510 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12708 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12507 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12708 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12708 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12603 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12708 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12503 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12708 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12509 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12708 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17086 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 17039 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7424 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2727 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12383 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12753 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12512 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2727 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12711 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2727 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12500 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12322 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12736 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11422 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12708 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12500 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mullidi 11235 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12715 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2727 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12350 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12309 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11182 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12373 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11422 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12747 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12370 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2727 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12724 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12386 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12747 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12316 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12770 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11422 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12754 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12745 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12695 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12328 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12500 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12823 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11239 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12734 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12746 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2727 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12708 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12708 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2727 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2727 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2727 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12500 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addridi 11417 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12325 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulridi 11234 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addridi 11417 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7426 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12776 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2755 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulridi 11234 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7424 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12389 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12715 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2759 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12745 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11419 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7424 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12303 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addlidi 11418 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12715 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2759 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12745 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12812 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12374 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12775 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12754 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12806 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12758 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12319 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11419 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12757 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12759 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2758 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 17022 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2727 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12394 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11239 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7424 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12376 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2755 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12808 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11239 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12759 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12715 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2727 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12313 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addlidi 11418 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12715 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2755 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2755 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulridi 11234 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7426 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2755 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12396 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7424 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12773 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2755 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12746 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12795 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11239 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12753 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12746 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12817 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11239 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12766 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12754 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12746 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12807 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12734 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mullidi 11235 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7424 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12772 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2755 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12751 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12500 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulridi 11234 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12759 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2758 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 17023 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1534  (class class class)co 7414  0cc0 11124  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129  cn 12228  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  6c6 12287  7c7 12288  8c8 12289  9c9 12290  cdc 12693   mod cmo 13852  cexp 14044
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-sup 9451  df-inf 9452  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-rp 12993  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045
This theorem is referenced by:  1259lem4  17088
  Copyright terms: Public domain W3C validator