MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 16325
Description: Lemma for 1259prm 16328. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11728 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11729 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11929 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11732 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11929 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11547 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11935 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2862 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11516 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11730 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11735 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11929 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 11832 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11734 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 11929 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11731 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 11929 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 11929 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11823 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 11929 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11727 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11929 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11733 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 11929 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 16324 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 16280 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 6988 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2778 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11605 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 11975 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11736 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2778 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 11932 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2778 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11723 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 11541 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 11958 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10634 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 11929 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11723 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 10447 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 11937 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2778 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11572 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 11524 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 10395 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11595 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10634 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 11969 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11592 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2778 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 11946 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11608 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 11969 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 11533 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 11993 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10634 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 11976 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 11967 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 11916 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 11549 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11723 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12046 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 10451 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 11956 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 11968 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2778 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 11929 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 11929 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2778 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2778 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2778 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11723 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10629 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 11545 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 10446 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10629 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 6990 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 11999 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2802 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 10446 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 6988 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11611 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 11937 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2806 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 11967 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10631 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 6988 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 11518 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10630 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 11937 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2806 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 11967 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12035 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11596 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 11998 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 11976 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12029 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 11981 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 11537 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10631 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 11979 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 11982 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2805 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 16263 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2778 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11616 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 10451 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 6988 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11598 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2802 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12031 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 10451 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 11982 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 11937 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2778 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 11529 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10630 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 11937 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2802 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2802 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 10446 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 6990 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2802 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11618 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 6988 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 11996 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2802 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 11968 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12018 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 10451 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 11975 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 11968 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12040 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 10451 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 11989 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 11976 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 11968 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12030 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 11956 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 10447 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 6988 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 11995 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2802 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 11973 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11723 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 10446 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 11982 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2805 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 16264 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1507  (class class class)co 6978  0cc0 10337  1c1 10338   + caddc 10340   · cmul 10342  cn 11441  2c2 11498  3c3 11499  4c4 11500  5c5 11501  6c6 11502  7c7 11503  8c8 11504  9c9 11505  cdc 11914   mod cmo 13055  cexp 13247
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281  ax-cnex 10393  ax-resscn 10394  ax-1cn 10395  ax-icn 10396  ax-addcl 10397  ax-addrcl 10398  ax-mulcl 10399  ax-mulrcl 10400  ax-mulcom 10401  ax-addass 10402  ax-mulass 10403  ax-distr 10404  ax-i2m1 10405  ax-1ne0 10406  ax-1rid 10407  ax-rnegex 10408  ax-rrecex 10409  ax-cnre 10410  ax-pre-lttri 10411  ax-pre-lttrn 10412  ax-pre-ltadd 10413  ax-pre-mulgt0 10414  ax-pre-sup 10415
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-nel 3074  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rmo 3096  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-pss 3847  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-tp 4447  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-tr 5032  df-id 5313  df-eprel 5318  df-po 5327  df-so 5328  df-fr 5367  df-we 5369  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-pred 5988  df-ord 6034  df-on 6035  df-lim 6036  df-suc 6037  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-om 7399  df-2nd 7504  df-wrecs 7752  df-recs 7814  df-rdg 7852  df-er 8091  df-en 8309  df-dom 8310  df-sdom 8311  df-sup 8703  df-inf 8704  df-pnf 10478  df-mnf 10479  df-xr 10480  df-ltxr 10481  df-le 10482  df-sub 10674  df-neg 10675  df-div 11101  df-nn 11442  df-2 11506  df-3 11507  df-4 11508  df-5 11509  df-6 11510  df-7 11511  df-8 11512  df-9 11513  df-n0 11711  df-z 11797  df-dec 11915  df-uz 12062  df-rp 12208  df-fl 12980  df-mod 13056  df-seq 13188  df-exp 13248
This theorem is referenced by:  1259lem4  16326
  Copyright terms: Public domain W3C validator