MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 16071
Description: Lemma for 1259prm 16074. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 11595 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 11596 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11794 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 11599 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11794 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 11417 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11799 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2892 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11386 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 11597 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 11602 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 11794 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 11697 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 11601 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 11794 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 11598 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 11794 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 11794 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 11688 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 11794 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 11594 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 11794 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 11600 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 11794 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 16070 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 16026 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 6894 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2817 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 11474 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 11839 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 11603 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2817 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 11797 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2817 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 11591 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 11411 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 11822 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 10523 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 11794 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 11591 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mulid2i 10340 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 11801 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2817 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 11442 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 11394 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 10289 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 11464 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 10523 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 11833 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 11462 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2817 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 11810 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 11477 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 11833 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 11403 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 11856 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 10523 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 11840 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 11831 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 11781 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 11419 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 11591 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 11909 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 10344 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 11820 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 11832 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2817 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 11794 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 11794 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2817 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2817 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2817 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 11591 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addid1i 10518 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 11415 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulid1i 10339 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addid1i 10518 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 6896 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 11862 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2839 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulid1i 10339 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 6894 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 11480 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 11801 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2843 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 11831 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 10520 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 6894 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 11388 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addid2i 10519 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 11801 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2843 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 11831 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 11898 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 11465 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 11861 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 11840 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 11892 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 11844 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 11407 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 10520 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 22, 100, 102decmul1 11843 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 11845 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2842 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 16009 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2817 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 11485 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 10344 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 6894 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 11467 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2839 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 11894 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 10344 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 11845 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 11801 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2817 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 11399 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 11801 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2839 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2839 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulid1i 10339 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 6896 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2839 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 11487 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 6894 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 11859 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2839 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 11832 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 11881 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 10344 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 11839 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 11832 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 11903 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 10344 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 11852 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 11840 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 11832 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 11893 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 11820 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mulid2i 10340 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 6894 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 11858 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2839 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 11837 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 11591 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulid1i 10339 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 11845 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2842 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 16010 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  cn 11315  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779   mod cmo 12912  cexp 13103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104
This theorem is referenced by:  1259lem4  16072
  Copyright terms: Public domain W3C validator