MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  1259lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 1259lem3 17170
Description: Lemma for 1259prm 17173. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑38 = 2↑34 · 2↑4≡870 · 16 = 11𝑁 + 71 and 2↑76 = (2↑34)↑2≡71↑2 = 4𝑁 + 5≡5. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
1259prm.1 𝑁 = 1259
Assertion
Ref Expression
1259lem3 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)

Proof of Theorem 1259lem3
StepHypRef Expression
1 1259prm.1 . . 3 𝑁 = 1259
2 1nn0 12542 . . . . . 6 1 ∈ ℕ0
3 2nn0 12543 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12748 . . . . 5 12 ∈ ℕ0
5 5nn0 12546 . . . . 5 5 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12748 . . . 4 125 ∈ ℕ0
7 9nn 12364 . . . 4 9 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12753 . . 3 1259 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2837 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12339 . 2 2 ∈ ℕ
11 3nn0 12544 . . 3 3 ∈ ℕ0
12 8nn0 12549 . . 3 8 ∈ ℕ0
1311, 12deccl 12748 . 2 38 ∈ ℕ0
14 4z 12651 . 2 4 ∈ ℤ
15 7nn0 12548 . . 3 7 ∈ ℕ0
1615, 2deccl 12748 . 2 71 ∈ ℕ0
17 4nn0 12545 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1811, 17deccl 12748 . . 3 34 ∈ ℕ0
192, 2deccl 12748 . . . 4 11 ∈ ℕ0
2019nn0zi 12642 . . 3 11 ∈ ℤ
2112, 15deccl 12748 . . . 4 87 ∈ ℕ0
22 0nn0 12541 . . . 4 0 ∈ ℕ0
2321, 22deccl 12748 . . 3 870 ∈ ℕ0
24 6nn0 12547 . . . 4 6 ∈ ℕ0
252, 24deccl 12748 . . 3 16 ∈ ℕ0
2611259lem2 17169 . . 3 ((2↑34) mod 𝑁) = (870 mod 𝑁)
27 2exp4 17122 . . . 4 (2↑4) = 16
2827oveq1i 7441 . . 3 ((2↑4) mod 𝑁) = (16 mod 𝑁)
29 eqid 2737 . . . 4 34 = 34
30 4p4e8 12421 . . . 4 (4 + 4) = 8
3111, 17, 17, 29, 30decaddi 12793 . . 3 (34 + 4) = 38
32 9nn0 12550 . . . . 5 9 ∈ ℕ0
33 eqid 2737 . . . . 5 71 = 71
34 10nn0 12751 . . . . 5 10 ∈ ℕ0
35 eqid 2737 . . . . . 6 11 = 11
3634nn0cni 12538 . . . . . . 7 10 ∈ ℂ
37 7cn 12360 . . . . . . 7 7 ∈ ℂ
38 dec10p 12776 . . . . . . 7 (10 + 7) = 17
3936, 37, 38addcomli 11453 . . . . . 6 (7 + 10) = 17
402, 11deccl 12748 . . . . . 6 13 ∈ ℕ0
416nn0cni 12538 . . . . . . . 8 125 ∈ ℂ
4241mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · 125) = 125
432dec0h 12755 . . . . . . . 8 1 = 01
44 eqid 2737 . . . . . . . 8 13 = 13
45 0p1e1 12388 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
46 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
47 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
48 3p1e4 12411 . . . . . . . . 9 (3 + 1) = 4
4946, 47, 48addcomli 11453 . . . . . . . 8 (1 + 3) = 4
5022, 2, 2, 11, 43, 44, 45, 49decadd 12787 . . . . . . 7 (1 + 13) = 14
51 2p1e3 12408 . . . . . . . 8 (2 + 1) = 3
52 eqid 2737 . . . . . . . 8 12 = 12
532, 3, 51, 52decsuc 12764 . . . . . . 7 (12 + 1) = 13
54 5p4e9 12424 . . . . . . 7 (5 + 4) = 9
554, 5, 2, 17, 42, 50, 53, 54decadd 12787 . . . . . 6 ((1 · 125) + (1 + 13)) = 139
56 5cn 12354 . . . . . . . 8 5 ∈ ℂ
57 7p5e12 12810 . . . . . . . 8 (7 + 5) = 12
5837, 56, 57addcomli 11453 . . . . . . 7 (5 + 7) = 12
594, 5, 15, 42, 53, 3, 58decaddci 12794 . . . . . 6 ((1 · 125) + 7) = 132
602, 2, 2, 15, 35, 39, 6, 3, 40, 55, 59decmac 12785 . . . . 5 ((11 · 125) + (7 + 10)) = 1392
61 9p1e10 12735 . . . . . 6 (9 + 1) = 10
62 9cn 12366 . . . . . . 7 9 ∈ ℂ
6319nn0cni 12538 . . . . . . 7 11 ∈ ℂ
64 9t11e99 12863 . . . . . . 7 (9 · 11) = 99
6562, 63, 64mulcomli 11270 . . . . . 6 (11 · 9) = 99
6632, 61, 65decsucc 12774 . . . . 5 ((11 · 9) + 1) = 100
676, 32, 15, 2, 1, 33, 19, 22, 34, 60, 66decma2c 12786 . . . 4 ((11 · 𝑁) + 71) = 13920
68 eqid 2737 . . . . 5 16 = 16
695, 3deccl 12748 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
7069, 3deccl 12748 . . . . 5 522 ∈ ℕ0
71 eqid 2737 . . . . . 6 870 = 870
72 eqid 2737 . . . . . 6 522 = 522
73 eqid 2737 . . . . . . 7 87 = 87
7469nn0cni 12538 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
7574addridi 11448 . . . . . . 7 (52 + 0) = 52
76 8cn 12363 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℂ
7776mulridi 11265 . . . . . . . . 9 (8 · 1) = 8
7856addridi 11448 . . . . . . . . 9 (5 + 0) = 5
7977, 78oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((8 · 1) + (5 + 0)) = (8 + 5)
80 8p5e13 12816 . . . . . . . 8 (8 + 5) = 13
8179, 80eqtri 2765 . . . . . . 7 ((8 · 1) + (5 + 0)) = 13
8237mulridi 11265 . . . . . . . . 9 (7 · 1) = 7
8382oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((7 · 1) + 2) = (7 + 2)
84 7p2e9 12427 . . . . . . . 8 (7 + 2) = 9
8532dec0h 12755 . . . . . . . 8 9 = 09
8683, 84, 853eqtri 2769 . . . . . . 7 ((7 · 1) + 2) = 09
8712, 15, 5, 3, 73, 75, 2, 32, 22, 81, 86decmac 12785 . . . . . 6 ((87 · 1) + (52 + 0)) = 139
8847mul02i 11450 . . . . . . . 8 (0 · 1) = 0
8988oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 1) + 2) = (0 + 2)
90 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
9190addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
923dec0h 12755 . . . . . . 7 2 = 02
9389, 91, 923eqtri 2769 . . . . . 6 ((0 · 1) + 2) = 02
9421, 22, 69, 3, 71, 72, 2, 3, 22, 87, 93decmac 12785 . . . . 5 ((870 · 1) + 522) = 1392
95 8t6e48 12852 . . . . . . . 8 (8 · 6) = 48
96 4p1e5 12412 . . . . . . . 8 (4 + 1) = 5
97 8p4e12 12815 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
9817, 12, 17, 95, 96, 3, 97decaddci 12794 . . . . . . 7 ((8 · 6) + 4) = 52
99 7t6e42 12846 . . . . . . 7 (7 · 6) = 42
10024, 12, 15, 73, 3, 17, 98, 99decmul1c 12798 . . . . . 6 (87 · 6) = 522
101 6cn 12357 . . . . . . 7 6 ∈ ℂ
102101mul02i 11450 . . . . . 6 (0 · 6) = 0
10324, 21, 22, 71, 100, 102decmul1 12797 . . . . 5 (870 · 6) = 5220
10423, 2, 24, 68, 22, 70, 94, 103decmul2c 12799 . . . 4 (870 · 16) = 13920
10567, 104eqtr4i 2768 . . 3 ((11 · 𝑁) + 71) = (870 · 16)
1069, 10, 18, 20, 23, 16, 17, 25, 26, 28, 31, 105modxai 17106 . 2 ((2↑38) mod 𝑁) = (71 mod 𝑁)
107 eqid 2737 . . 3 38 = 38
108 3t2e6 12432 . . . . . 6 (3 · 2) = 6
10946, 90, 108mulcomli 11270 . . . . 5 (2 · 3) = 6
110109oveq1i 7441 . . . 4 ((2 · 3) + 1) = (6 + 1)
111 6p1e7 12414 . . . 4 (6 + 1) = 7
112110, 111eqtri 2765 . . 3 ((2 · 3) + 1) = 7
113 8t2e16 12848 . . . 4 (8 · 2) = 16
11476, 90, 113mulcomli 11270 . . 3 (2 · 8) = 16
1153, 11, 12, 107, 24, 2, 112, 114decmul2c 12799 . 2 (2 · 38) = 76
1165dec0h 12755 . . . 4 5 = 05
117 eqid 2737 . . . . 5 125 = 125
118 4cn 12351 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
119118addlidi 11449 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
12017dec0h 12755 . . . . . 6 4 = 04
121119, 120eqtri 2765 . . . . 5 (0 + 4) = 04
12291, 92eqtri 2765 . . . . . 6 (0 + 2) = 02
123118mulridi 11265 . . . . . . . 8 (4 · 1) = 4
124123, 45oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((4 · 1) + (0 + 1)) = (4 + 1)
125124, 96eqtri 2765 . . . . . 6 ((4 · 1) + (0 + 1)) = 5
126 4t2e8 12434 . . . . . . . 8 (4 · 2) = 8
127126oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 2) = (8 + 2)
128 8p2e10 12813 . . . . . . 7 (8 + 2) = 10
129127, 128eqtri 2765 . . . . . 6 ((4 · 2) + 2) = 10
1302, 3, 22, 3, 52, 122, 17, 22, 2, 125, 129decma2c 12786 . . . . 5 ((4 · 12) + (0 + 2)) = 50
131 5t4e20 12835 . . . . . . 7 (5 · 4) = 20
13256, 118, 131mulcomli 11270 . . . . . 6 (4 · 5) = 20
1333, 22, 17, 132, 119decaddi 12793 . . . . 5 ((4 · 5) + 4) = 24
1344, 5, 22, 17, 117, 121, 17, 17, 3, 130, 133decma2c 12786 . . . 4 ((4 · 125) + (0 + 4)) = 504
135 9t4e36 12857 . . . . . 6 (9 · 4) = 36
13662, 118, 135mulcomli 11270 . . . . 5 (4 · 9) = 36
137 6p5e11 12806 . . . . 5 (6 + 5) = 11
13811, 24, 5, 136, 48, 2, 137decaddci 12794 . . . 4 ((4 · 9) + 5) = 41
1396, 32, 22, 5, 1, 116, 17, 2, 17, 134, 138decma2c 12786 . . 3 ((4 · 𝑁) + 5) = 5041
140 7t7e49 12847 . . . . . 6 (7 · 7) = 49
14117, 96, 140decsucc 12774 . . . . 5 ((7 · 7) + 1) = 50
14237mullidi 11266 . . . . . . 7 (1 · 7) = 7
143142oveq1i 7441 . . . . . 6 ((1 · 7) + 7) = (7 + 7)
144 7p7e14 12812 . . . . . 6 (7 + 7) = 14
145143, 144eqtri 2765 . . . . 5 ((1 · 7) + 7) = 14
14615, 2, 15, 33, 15, 17, 2, 141, 145decrmac 12791 . . . 4 ((71 · 7) + 7) = 504
14716nn0cni 12538 . . . . 5 71 ∈ ℂ
148147mulridi 11265 . . . 4 (71 · 1) = 71
14916, 15, 2, 33, 2, 15, 146, 148decmul2c 12799 . . 3 (71 · 71) = 5041
150139, 149eqtr4i 2768 . 2 ((4 · 𝑁) + 5) = (71 · 71)
1519, 10, 13, 14, 16, 5, 106, 115, 150mod2xi 17107 1 ((2↑76) mod 𝑁) = (5 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733   mod cmo 13909  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  1259lem4  17171
  Copyright terms: Public domain W3C validator