Theorem op1st 7978

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1st	⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 7972	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1sta 6212	. 2 ⊢ ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
5	1, 4	eqtri 2785	1 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  Vcvv 3454  {csn 4582  ⟨cop 4588  ∪ cuni 4865  dom cdm 5647  ‘cfv 6521  1^st c1st 7968

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390  ax-un 7718

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fv 6529  df-1st 7970

This theorem is referenced by:  op1std  7980  op1stg  7982  1stval2  7987  fo1stres  7996  opreuopreu  8015  eloprabi  8044  xpmapenlem  9116  fseqenlem2  9981  archnq  10938  ruclem8  16269  idfu1st  17912  cofu1st  17916  xpccatid  18220  prf1st  18236  yonedalem21  18305  yonedalem22  18310  2ndcctbss  23515  upxp  23683  uptx  23685  cnheiborlem  25016  ovollb2lem  25550  ovolctb  25552  ovoliunlem2  25565  ovolshftlem1  25571  ovolscalem1  25575  ovolicc1  25578  addsqnreup  27507  2sqreuop  27526  2sqreuopnn  27527  2sqreuoplt  27528  2sqreuopltb  27529  2sqreuopnnlt  27530  2sqreuopnnltb  27531  precsexlem1  28300  precsexlem4  28303  ex-1st  30646  cnnvg  30881  cnnvs  30883  h2hva  31177  h2hsm  31178  hhssva  31460  hhsssm  31461  hhshsslem1  31470  gsumhashmul  33247  rlocf1  33455  fracfld  33495  eulerpartlemgvv  34673  eulerpartlemgh  34675  satfv0fvfmla0  35763  filnetlem3  36740  poimirlem17  38136  heiborlem8  38317  dvhvaddass  41721  dvhlveclem  41732  diblss  41794  aks6d1c3  42740  pellexlem5  43410  pellex  43412  dvnprodlem1  46520  hoicvr  47122  hoicvrrex  47130  ovn0lem  47139  ovnhoilem1  47175  gpgedgvtx0  48683  gpgedgvtx1  48684  gpg3kgrtriex  48711  pgnioedg1  48730  pgnioedg2  48731  pgnioedg3  48732  pgnioedg4  48733  pgnioedg5  48734  pgnbgreunbgrlem2lem1  48736  pgnbgreunbgrlem2lem2  48737  pgnbgreunbgrlem2lem3  48738  pgnbgreunbgrlem5lem1  48742  pgnbgreunbgrlem5lem2  48743  pgnbgreunbgrlem5lem3  48744  eloprab1st2nd  49489  swapf1vala  49887  swapf2f1oaALT  49899  swapfcoa  49902  fuco21  49957  fucof21  49968  prcof1  50009  thincciso  50074