Theorem op1st 8043

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1st	⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 8037	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1sta 6245	. 2 ⊢ ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
5	1, 4	eqtri 2786	1 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  {csn 4588  ⟨cop 4840  ∪ cuni 4872  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  1^st c1st 8033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fv 6574  df-1st 8035

This theorem is used by:  op1std  8045  op1stg  8047  1stval2  8052  fo1stres  8061  opreuopreu  8080  eloprabi  8109  xpmapenlem  9201  fseqenlem2  10143  archnq  11104  ruclem8  16449  idfu1st  18104  cofu1st  18108  xpccatid  18412  prf1st  18428  yonedalem21  18497  yonedalem22  18502  2ndcctbss  23829  upxp  23997  uptx  23999  cnheiborlem  25330  ovollb2lem  25864  ovolctb  25866  ovoliunlem2  25879  ovolshftlem1  25885  ovolscalem1  25889  ovolicc1  25892  addsqnreup  27827  2sqreuop  27846  2sqreuopnn  27847  2sqreuoplt  27848  2sqreuopltb  27849  2sqreuopnnlt  27850  2sqreuopnnltb  27851  precsexlem1  28650  precsexlem4  28653  ex-1st  31102  cnnvg  31337  cnnvs  31339  h2hva  31633  h2hsm  31634  hhssva  31916  hhsssm  31917  hhshsslem1  31926  gsumhashmul  33727  rlocf1  33934  fracfld  33974  eulerpartlemgvv  35119  eulerpartlemgh  35121  satfv0fvfmla0  36386  filnetlem3  37383  poimirlem17  38823  heiborlem8  39018  dvhvaddass  42420  dvhlveclem  42431  diblss  42493  aks6d1c3  43439  pellexlem5  44106  pellex  44108  dvnprodlem1  47229  hoicvr  47831  hoicvrrex  47839  ovn0lem  47848  ovnhoilem1  47884  gpgedgvtx0  49432  gpgedgvtx1  49433  gpg3kgrtriex  49460  pgnioedg1  49479  pgnioedg2  49480  pgnioedg3  49481  pgnioedg4  49482  pgnioedg5  49483  pgnbgreunbgrlem2lem1  49485  pgnbgreunbgrlem2lem2  49486  pgnbgreunbgrlem2lem3  49487  pgnbgreunbgrlem5lem1  49491  pgnbgreunbgrlem5lem2  49492  pgnbgreunbgrlem5lem3  49493  eloprab1st2nd  50310  swapf1vala  50719  swapf2f1oaALT  50731  swapfcoa  50734  fuco21  50789  fucof21  50800  prcof1  50854  thincciso  50919