Theorem op1st 7944

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1st	⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 7938	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1sta 6184	. 2 ⊢ ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
5	1, 4	eqtri 2760	1 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  {csn 4568  ⟨cop 4574  ∪ cuni 4851  dom cdm 5625  ‘cfv 6493  1^st c1st 7934

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fv 6501  df-1st 7936

This theorem is referenced by:  op1std  7946  op1stg  7948  1stval2  7953  fo1stres  7962  opreuopreu  7981  eloprabi  8010  xpmapenlem  9076  fseqenlem2  9941  archnq  10897  ruclem8  16198  idfu1st  17840  cofu1st  17844  xpccatid  18148  prf1st  18164  yonedalem21  18233  yonedalem22  18238  2ndcctbss  23433  upxp  23601  uptx  23603  cnheiborlem  24934  ovollb2lem  25468  ovolctb  25470  ovoliunlem2  25483  ovolshftlem1  25489  ovolscalem1  25493  ovolicc1  25496  addsqnreup  27423  2sqreuop  27442  2sqreuopnn  27443  2sqreuoplt  27444  2sqreuopltb  27445  2sqreuopnnlt  27446  2sqreuopnnltb  27447  precsexlem1  28216  precsexlem4  28219  ex-1st  30532  cnnvg  30767  cnnvs  30769  h2hva  31063  h2hsm  31064  hhssva  31346  hhsssm  31347  hhshsslem1  31356  gsumhashmul  33146  rlocf1  33352  fracfld  33387  eulerpartlemgvv  34539  eulerpartlemgh  34541  satfv0fvfmla0  35614  filnetlem3  36581  poimirlem17  37975  heiborlem8  38156  dvhvaddass  41560  dvhlveclem  41571  diblss  41633  aks6d1c3  42579  pellexlem5  43282  pellex  43284  dvnprodlem1  46395  hoicvr  46997  hoicvrrex  47005  ovn0lem  47014  ovnhoilem1  47050  gpgedgvtx0  48552  gpgedgvtx1  48553  gpg3kgrtriex  48580  pgnioedg1  48599  pgnioedg2  48600  pgnioedg3  48601  pgnioedg4  48602  pgnioedg5  48603  pgnbgreunbgrlem2lem1  48605  pgnbgreunbgrlem2lem2  48606  pgnbgreunbgrlem2lem3  48607  pgnbgreunbgrlem5lem1  48611  pgnbgreunbgrlem5lem2  48612  pgnbgreunbgrlem5lem3  48613  eloprab1st2nd  49358  swapf1vala  49756  swapf2f1oaALT  49768  swapfcoa  49771  fuco21  49826  fucof21  49837  prcof1  49878  thincciso  49943