Theorem op1st 7990

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1st	⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 7984	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1sta 6226	. 2 ⊢ ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
5	1, 4	eqtri 2786	1 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  Vcvv 3455  {csn 4589  ⟨cop 4595  ∪ cuni 4872  dom cdm 5661  ‘cfv 6536  1^st c1st 7980

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pr 5404  ax-un 7732

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fv 6544  df-1st 7982

This theorem is referenced by:  op1std  7992  op1stg  7994  1stval2  7999  fo1stres  8008  opreuopreu  8027  eloprabi  8056  xpmapenlem  9128  fseqenlem2  10005  archnq  10960  ruclem8  16288  idfu1st  17931  cofu1st  17935  xpccatid  18239  prf1st  18255  yonedalem21  18324  yonedalem22  18329  2ndcctbss  23612  upxp  23780  uptx  23782  cnheiborlem  25113  ovollb2lem  25647  ovolctb  25649  ovoliunlem2  25662  ovolshftlem1  25668  ovolscalem1  25672  ovolicc1  25675  addsqnreup  27607  2sqreuop  27626  2sqreuopnn  27627  2sqreuoplt  27628  2sqreuopltb  27629  2sqreuopnnlt  27630  2sqreuopnnltb  27631  precsexlem1  28400  precsexlem4  28403  ex-1st  30795  cnnvg  31030  cnnvs  31032  h2hva  31326  h2hsm  31327  hhssva  31609  hhsssm  31610  hhshsslem1  31619  gsumhashmul  33387  rlocf1  33594  fracfld  33629  eulerpartlemgvv  34766  eulerpartlemgh  34768  satfv0fvfmla0  35905  filnetlem3  36891  poimirlem17  38288  heiborlem8  38469  dvhvaddass  41871  dvhlveclem  41882  diblss  41944  aks6d1c3  42890  pellexlem5  43560  pellex  43562  dvnprodlem1  46660  hoicvr  47262  hoicvrrex  47270  ovn0lem  47279  ovnhoilem1  47315  gpgedgvtx0  48826  gpgedgvtx1  48827  gpg3kgrtriex  48854  pgnioedg1  48873  pgnioedg2  48874  pgnioedg3  48875  pgnioedg4  48876  pgnioedg5  48877  pgnbgreunbgrlem2lem1  48879  pgnbgreunbgrlem2lem2  48880  pgnbgreunbgrlem2lem3  48881  pgnbgreunbgrlem5lem1  48885  pgnbgreunbgrlem5lem2  48886  pgnbgreunbgrlem5lem3  48887  eloprab1st2nd  49646  swapf1vala  50044  swapf2f1oaALT  50056  swapfcoa  50059  fuco21  50114  fucof21  50125  prcof1  50166  thincciso  50231