Theorem op1st 8013

Description: Extract the first member of an ordered pair. (Contributed by NM, 5-Oct-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
op1st.1	⊢ 𝐴 ∈ V
op1st.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
op1st	⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

Proof of Theorem op1st

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1stval 8007	. 2 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		op1st.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
3		op1st.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
4	2, 3	op1sta 6229	. 2 ⊢ ∪ dom {⟨𝐴, 𝐵⟩} = 𝐴
5	1, 4	eqtri 2783	1 ⊢ (1st ‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  {csn 4584  ⟨cop 4834  ∪ cuni 4866  dom cdm 5651  ‘cfv 6543  1^st c1st 8003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fv 6551  df-1st 8005

This theorem is used by:  op1std  8015  op1stg  8017  1stval2  8022  fo1stres  8031  opreuopreu  8050  eloprabi  8079  xpmapenlem  9171  fseqenlem2  10111  archnq  11072  ruclem8  16414  idfu1st  18063  cofu1st  18067  xpccatid  18371  prf1st  18387  yonedalem21  18456  yonedalem22  18461  2ndcctbss  23783  upxp  23951  uptx  23953  cnheiborlem  25284  ovollb2lem  25818  ovolctb  25820  ovoliunlem2  25833  ovolshftlem1  25839  ovolscalem1  25843  ovolicc1  25846  addsqnreup  27779  2sqreuop  27798  2sqreuopnn  27799  2sqreuoplt  27800  2sqreuopltb  27801  2sqreuopnnlt  27802  2sqreuopnnltb  27803  precsexlem1  28602  precsexlem4  28605  ex-1st  31054  cnnvg  31289  cnnvs  31291  h2hva  31585  h2hsm  31586  hhssva  31868  hhsssm  31869  hhshsslem1  31878  gsumhashmul  33678  rlocf1  33885  fracfld  33920  eulerpartlemgvv  35058  eulerpartlemgh  35060  satfv0fvfmla0  36296  filnetlem3  37292  poimirlem17  38692  heiborlem8  38889  dvhvaddass  42291  dvhlveclem  42302  diblss  42364  aks6d1c3  43310  pellexlem5  43977  pellex  43979  dvnprodlem1  47092  hoicvr  47694  hoicvrrex  47702  ovn0lem  47711  ovnhoilem1  47747  gpgedgvtx0  49295  gpgedgvtx1  49296  gpg3kgrtriex  49323  pgnioedg1  49342  pgnioedg2  49343  pgnioedg3  49344  pgnioedg4  49345  pgnioedg5  49346  pgnbgreunbgrlem2lem1  49348  pgnbgreunbgrlem2lem2  49349  pgnbgreunbgrlem2lem3  49350  pgnbgreunbgrlem5lem1  49354  pgnbgreunbgrlem5lem2  49355  pgnbgreunbgrlem5lem3  49356  eloprab1st2nd  50115  swapf1vala  50524  swapf2f1oaALT  50536  swapfcoa  50539  fuco21  50594  fucof21  50605  prcof1  50659  thincciso  50724