Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshf 31471
Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
Assertion
Ref Expression
signshf ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubcl 10804 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 482 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3 0red 10497 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 0 ∈ ℝ)
43s1cld 13805 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5 simpl 483 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐹 ∈ Word ℝ)
6 ccatcl 13776 . . . . . 6 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
74, 5, 6syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8 wrdf 13716 . . . . 5 ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10 ccatlen 13777 . . . . . . . . 9 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
114, 5, 10syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
12 s1len 13808 . . . . . . . . 9 (♯‘⟨“0”⟩) = 1
1312oveq1i 7033 . . . . . . . 8 ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
1411, 13syl6eq 2849 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
15 1cnd 10489 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
16 wrdfin 13732 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Word ℝ → 𝐹 ∈ Fin)
17 hashcl 13571 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ Fin → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
185, 16, 173syl 18 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1918nn0cnd 11811 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
2015, 19addcomd 10695 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (1 + (♯‘𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
2114, 20eqtrd 2833 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
2221oveq2d 7039 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2322feq2d 6375 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
249, 23mpbid 233 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
25 remulcl 10475 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2625adantl 482 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
27 ccatcl 13776 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
284, 27syldan 591 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
29 wrdf 13716 . . . . . 6 ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
3028, 29syl 17 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
31 ccatlen 13777 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)))
324, 31syldan 591 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)))
3312oveq2i 7034 . . . . . . . 8 ((♯‘𝐹) + (♯‘⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1)
3432, 33syl6eq 2849 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3534oveq2d 7039 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3635feq2d 6375 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
3730, 36mpbid 233 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38 ovexd 7057 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
39 simpr 485 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ+)
4039rpred 12285 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
4126, 37, 38, 40ofcf 30975 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42 inidm 4121 . . 3 ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
432, 24, 41, 38, 38, 42off 7289 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
44 signs.h . . 3 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶))
4544feq1i 6380 . 2 (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘𝑓 − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩)∘𝑓/𝑐 · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
4643, 45sylibr 235 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1525  wcel 2083  wne 2986  Vcvv 3440  ifcif 4387  {cpr 4480  {ctp 4482  cop 4484  cmpt 5047  wf 6228  cfv 6232  (class class class)co 7023  cmpo 7025  𝑓 cof 7272  Fincfn 8364  cr 10389  0cc0 10390  1c1 10391   + caddc 10393   · cmul 10395  cmin 10723  -cneg 10724  0cn0 11751  +crp 12243  ...cfz 12746  ..^cfzo 12887  chash 13544  Word cword 13711   ++ cconcat 13772  ⟨“cs1 13797  sgncsgn 14283  Σcsu 14880  ndxcnx 16313  Basecbs 16316  +gcplusg 16398   Σg cgsu 16547  𝑓/𝑐cofc 30967
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-rep 5088  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-int 4789  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-of 7274  df-om 7444  df-1st 7552  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-1o 7960  df-oadd 7964  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-fin 8368  df-card 9221  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-rp 12244  df-fz 12747  df-fzo 12888  df-hash 13545  df-word 13712  df-concat 13773  df-s1 13798  df-ofc 30968
This theorem is referenced by:  signshwrd  31472  signshlen  31473
  Copyright terms: Public domain W3C validator