Theorem signshf 34582

Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshf	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11571	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
3		0re 11261	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		s1cl 14637	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ
6		ccatcl 14609	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
7	5, 6	mpan 690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
9	7, 8	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10		1cnd 11254	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 1 ∈ ℂ)
11		lencl 14568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12587	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
13		ccatlen 14610	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
14	5, 13	mpan 690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
15		s1len 14641	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“0”⟩) = 1
16	15	oveq1i 7441	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
17	14, 16	eqtrdi 2791	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
18	10, 12, 17	comraddd 11473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
19	18	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
20	19	feq2d 6723	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
21	9, 20	mpbid 232	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
22	21	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
23		remulcl 11238	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
24	23	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
25		ccatcl 14609	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
26	5, 25	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
27		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
28	26, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
29		ccatws1len 14655	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
30	29	oveq2d 7447	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
31	30	feq2d 6723	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
32	28, 31	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
33	32	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
34		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
35		rpre 13041	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	24, 33, 34, 36	ofcf 34084	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38		inidm 4235	. . 3 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
39	2, 22, 37, 34, 34, 38	off 7715	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
40		signs.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
41	40	feq1i 6728	. 2 ⊢ (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42	39, 41	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  Vcvv 3478  ifcif 4531  {cpr 4633  {ctp 4635  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∈ cmpo 7433   ∘_f cof 7695  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   − cmin 11490  -cneg 11491  ℝ⁺crp 13032  ...cfz 13544  ..^cfzo 13691  ♯chash 14366  Word cword 14549   ++ cconcat 14605  ⟨“cs1 14630  sgncsgn 15122  Σcsu 15719  ndxcnx 17227  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298   Σ_g cgsu 17487   ∘_f/c cofc 34076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-hash 14367  df-word 14550  df-concat 14606  df-s1 14631  df-ofc 34077

This theorem is referenced by:  signshwrd  34583  signshlen  34584