Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  signshf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem signshf 32098
 Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
signsv.p = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⟩}
signsv.t 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓𝑖))))))
signsv.v 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
Assertion
Ref Expression
signshf ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 resubcl 11001 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
21adantl 485 . . 3 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3 0re 10694 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
4 s1cl 14016 . . . . . . . 8 (0 ∈ ℝ → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
53, 4ax-mp 5 . . . . . . 7 ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ
6 ccatcl 13986 . . . . . . 7 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
75, 6mpan 689 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8 wrdf 13931 . . . . . 6 ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
97, 8syl 17 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10 1cnd 10687 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → 1 ∈ ℂ)
11 lencl 13945 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
1211nn0cnd 12009 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
13 ccatlen 13987 . . . . . . . . . 10 ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
145, 13mpan 689 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
15 s1len 14020 . . . . . . . . . 10 (♯‘⟨“0”⟩) = 1
1615oveq1i 7166 . . . . . . . . 9 ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
1714, 16eqtrdi 2809 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
1810, 12, 17comraddd 10905 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
1918oveq2d 7172 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
2019feq2d 6489 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
219, 20mpbid 235 . . . 4 (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
2221adantr 484 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
23 remulcl 10673 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
2423adantl 485 . . . 4 (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
25 ccatcl 13986 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
265, 25mpan2 690 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
27 wrdf 13931 . . . . . . 7 ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
2826, 27syl 17 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
29 ccatws1len 14034 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
3029oveq2d 7172 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
3130feq2d 6489 . . . . . 6 (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
3228, 31mpbid 235 . . . . 5 (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
3332adantr 484 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
34 ovexd 7191 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
35 rpre 12451 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ+𝐶 ∈ ℝ)
3635adantl 485 . . . 4 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
3724, 33, 34, 36ofcf 31602 . . 3 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38 inidm 4125 . . 3 ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
392, 22, 37, 34, 34, 38off 7428 . 2 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
40 signs.h . . 3 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
4140feq1i 6494 . 2 (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
4239, 41sylibr 237 1 ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  Vcvv 3409  ifcif 4423  {cpr 4527  {ctp 4529  ⟨cop 4531   ↦ cmpt 5116  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156   ∈ cmpo 7158   ∘f cof 7409  ℝcr 10587  0cc0 10588  1c1 10589   + caddc 10591   · cmul 10593   − cmin 10921  -cneg 10922  ℝ+crp 12443  ...cfz 12952  ..^cfzo 13095  ♯chash 13753  Word cword 13926   ++ cconcat 13982  ⟨“cs1 14009  sgncsgn 14506  Σcsu 15103  ndxcnx 16551  Basecbs 16554  +gcplusg 16636   Σg cgsu 16785   ∘f/c cofc 31594 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7411  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-card 9414  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-n0 11948  df-z 12034  df-uz 12296  df-rp 12444  df-fz 12953  df-fzo 13096  df-hash 13754  df-word 13927  df-concat 13983  df-s1 14010  df-ofc 31595 This theorem is referenced by:  signshwrd  32099  signshlen  32100
 Copyright terms: Public domain W3C validator