Theorem signshf 34919

Description: 𝐻, corresponding to the word 𝐹 multiplied by (𝑥 − 𝐶), as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
signsv.p	⊢ ⨣ = (𝑎 ∈ {-1, 0, 1}, 𝑏 ∈ {-1, 0, 1} ↦ if(𝑏 = 0, 𝑎, 𝑏))
signsv.w	⊢ 𝑊 = {⟨(Base‘ndx), {-1, 0, 1}⟩, ⟨(+g‘ndx), ⨣ ⟩}
signsv.t	⊢ 𝑇 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ (𝑛 ∈ (0..^(♯‘𝑓)) ↦ (𝑊 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (sgn‘(𝑓‘𝑖))))))
signsv.v	⊢ 𝑉 = (𝑓 ∈ Word ℝ ↦ Σ𝑗 ∈ (1..^(♯‘𝑓))if(((𝑇‘𝑓)‘𝑗) ≠ ((𝑇‘𝑓)‘(𝑗 − 1)), 1, 0))
signs.h	⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))

Assertion

Ref	Expression
signshf	⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏, ⨣   𝑓,𝑖,𝑛,𝐹   𝑓,𝑊,𝑖,𝑛

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   ⨣ (𝑓,𝑖,𝑗,𝑛)   𝑇(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝐹(𝑗,𝑎,𝑏)   𝐻(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑉(𝑓,𝑖,𝑗,𝑛,𝑎,𝑏)   𝑊(𝑗,𝑎,𝑏)

Proof of Theorem signshf

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubcl 11521	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
2	1	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
3		0re 11209	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℝ
4		s1cl 14639	. . . . . . . 8 ⊢ (0 ∈ ℝ → ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ)
5	3, 4	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ
6		ccatcl 14610	. . . . . . 7 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
7	5, 6	mpan 702	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ)
8		wrdf 14554	. . . . . 6 ⊢ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
9	7, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ)
10		1cnd 11201	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → 1 ∈ ℂ)
11		lencl 14569	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12566	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘𝐹) ∈ ℂ)
13		ccatlen 14611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ ∧ 𝐹 ∈ Word ℝ) → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
14	5, 13	mpan 702	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)))
15		s1len 14643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (♯‘⟨“0”⟩) = 1
16	15	oveq1i 7421	. . . . . . . . 9 ⊢ ((♯‘⟨“0”⟩) + (♯‘𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹))
17	14, 16	eqtrdi 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = (1 + (♯‘𝐹)))
18	10, 12, 17	comraddd 11423	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)) = ((♯‘𝐹) + 1))
19	18	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
20	19	feq2d 6690	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^(♯‘(⟨“0”⟩ ++ 𝐹)))⟶ℝ ↔ (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
21	9, 20	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
22	21	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (⟨“0”⟩ ++ 𝐹):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
23		remulcl 11184	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
24	23	adantl 486	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℝ)
25		ccatcl 14610	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ ⟨“0”⟩ ∈ Word ℝ) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
26	5, 25	mpan2 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ)
27		wrdf 14554	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
28	26, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ)
29		ccatws1len 14657	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)) = ((♯‘𝐹) + 1))
30	29	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1)))
31	30	feq2d 6690	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^(♯‘(𝐹 ++ ⟨“0”⟩)))⟶ℝ ↔ (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ))
32	28, 31	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Word ℝ → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
33	32	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (𝐹 ++ ⟨“0”⟩):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
34		ovexd 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → (0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∈ V)
35		rpre 13024	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ+ → 𝐶 ∈ ℝ)
36	35	adantl 486	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐶 ∈ ℝ)
37	24, 33, 34, 36	ofcf 34437	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
38		inidm 4187	. . 3 ⊢ ((0..^((♯‘𝐹) + 1)) ∩ (0..^((♯‘𝐹) + 1))) = (0..^((♯‘𝐹) + 1))
39	2, 22, 37, 34, 34, 38	off 7693	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
40		signs.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶))
41	40	feq1i 6697	. 2 ⊢ (𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ ↔ ((⟨“0”⟩ ++ 𝐹) ∘f − ((𝐹 ++ ⟨“0”⟩) ∘f/c · 𝐶)):(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)
42	39, 41	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐹 ∈ Word ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → 𝐻:(0..^((♯‘𝐹) + 1))⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463  ifcif 4492  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ∘_f cof 7673  ℝcr 11098  0cc0 11099  1c1 11100   + caddc 11102   · cmul 11104   − cmin 11440  -cneg 11441  ℝ⁺crp 13015  ...cfz 13534  ..^cfzo 13681  ♯chash 14365  Word cword 14549   ++ cconcat 14606  ⟨“cs1 14632  sgncsgn 15122  Σcsu 15736  ndxcnx 17252  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309   Σ_g cgsu 17492   ∘_f/c cofc 34429

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-1o 8452  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9924  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-n0 12504  df-z 12591  df-uz 12862  df-rp 13016  df-fz 13535  df-fzo 13682  df-hash 14366  df-word 14550  df-concat 14607  df-s1 14633  df-ofc 34430

This theorem is referenced by:  signshwrd  34920  signshlen  34921