MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumparts 15698
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))
fsumparts.c (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))
fsumparts.d (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))
fsumparts.e (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))
fsumparts.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
fsumparts.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fsumparts.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumparts (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐ท,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘—,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘—,๐‘˜,๐‘€   ๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‹   ๐‘˜,๐‘Œ   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘—)   ๐ถ(๐‘—)   ๐ท(๐‘—)   ๐ธ(๐‘—)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘—)   ๐‘‹(๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 15613 . . . 4 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = 0
2 0m0e0 12280 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
31, 2eqtr4i 2768 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (0 โˆ’ 0)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ๐‘ = ๐‘€)
54oveq2d 7378 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€..^๐‘€))
6 fzo0 13603 . . . . 5 (๐‘€..^๐‘€) = โˆ…
75, 6eqtrdi 2793 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = โˆ…)
87sumeq1d 15593 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)))
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
10 eluzfz1 13455 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
12 eqtr3 2763 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))
14 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))
17 oveq12 7371 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2015, 19eqeq12d 2753 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰) โ†” (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2120pm5.74da 803 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰)) โ†” (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))))
22 eqidd 2738 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰))
2321, 22vtoclg 3528 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2423imp 408 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2511, 24sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2625oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2716simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)
2827eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ท โˆˆ โ„‚))
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3029ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚)
3128, 30, 11rspcdva 3585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3216simprd 497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐‘‰ = ๐‘Œ)
3332eleq1d 2823 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘Œ โˆˆ โ„‚))
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3534ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3633, 35, 11rspcdva 3585 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3731, 36mulcld 11182 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
3837subidd 11507 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
3938adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
4026, 39eqtrd 2777 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
417sumeq1d 15593 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹))
42 sum0 15613 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = 0
4341, 42eqtrdi 2793 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = 0)
4440, 43oveq12d 7380 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)) = (0 โˆ’ 0))
453, 8, 443eqtr4a 2803 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
46 fzofi 13886 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โˆˆ Fin
4746a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โˆˆ Fin)
48 eluzel2 12775 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
499, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
51 uzid 12785 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
52 peano2uz 12833 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
53 fzoss1 13606 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โŠ† (๐‘€..^๐‘))
5450, 51, 52, 534syl 19 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โŠ† (๐‘€..^๐‘))
5554sselda 3949 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
56 elfzofz 13595 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
5729, 34mulcld 11182 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
5856, 57sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
5958adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6055, 59syldan 592 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6147, 60fsumcl 15625 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6213simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)
6362eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ธ โˆˆ โ„‚))
64 eluzfz2 13456 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
6663, 30, 65rspcdva 3585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6713simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐‘‰ = ๐‘)
6867eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„‚))
6968, 35, 65rspcdva 3585 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7066, 69mulcld 11182 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7170adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
72 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
73 fzp1ss 13499 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โŠ† (๐‘€...๐‘))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โŠ† (๐‘€...๐‘))
7574sselda 3949 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
7657adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
7775, 76syldan 592 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
7813, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
7972, 77, 78fsumm1 15643 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
80 eluzelz 12780 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8281adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
83 fzoval 13580 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
8550zcnd 12615 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
86 ax-1cn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
87 pncan 11414 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
8885, 86, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
8988oveq1d 7377 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
9084, 89eqtr4d 2780 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
9190sumeq1d 15593 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ถ ยท ๐‘‹))
92 1zzd 12541 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
9350peano2zd 12617 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))
95 oveq12 7371 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
9792, 93, 82, 77, 96fsumshftm 15673 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ถ ยท ๐‘‹))
9891, 97eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))
99 fzoval 13580 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) = ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
10082, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) = ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
101100sumeq1d 15593 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰))
102101oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
10379, 98, 1023eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
10461, 71, 103comraddd 11376 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
105104oveq1d 7377 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)) = (((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
106 fzofzp1 13676 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
10794simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
108107eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„‚))
109108rspccva 3583 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11030, 106, 109syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
111 elfzofz 13595 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘))
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))
113112simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)
114113eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
115114rspccva 3583 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11630, 111, 115syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11794simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐‘‰ = ๐‘‹)
118117eleq1d 2823 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘‹ โˆˆ โ„‚))
119118rspccva 3583 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
12035, 106, 119syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
121110, 116, 120subdird 11619 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)))
122121sumeq2dv 15595 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)))
123 fzofi 13886 . . . . . . . . 9 (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
125110, 120mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
126116, 120mulcld 11182 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
127124, 125, 126fsumsub 15680 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
128122, 127eqtrd 2777 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
129128adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
130124, 126fsumcl 15625 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
131130adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
13271, 131, 61subsub3d 11549 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))) = (((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
133105, 129, 1323eqtr4d 2787 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))))
134133oveq2d 7378 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))))
13537adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐ท ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
136131, 61subcld 11519 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„‚)
13771, 135, 136nnncan1d 11553 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))) = ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)))
13861, 135addcomd 11364 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
139 eluzp1m1 12796 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
14049, 139sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
14184eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))))
142141biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
143142, 59syldan 592 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
144140, 143, 18fsum1p 15645 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰)))
14584sumeq1d 15593 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰))
146101oveq2d 7378 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰)))
147144, 145, 1463eqtr4d 2787 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
148138, 147eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))
149 oveq12 7371 . . . . . . . 8 ((๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ต ยท ๐‘Š))
150112, 149syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ต ยท ๐‘Š))
151150cbvsumv 15588 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)
152148, 151eqtrdi 2793 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š))
153152oveq2d 7378 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
154131, 61, 135subsub4d 11550 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ))))
155112simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐‘‰ = ๐‘Š)
156155eleq1d 2823 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
157156rspccva 3583 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
15835, 111, 157syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
159116, 120, 158subdid 11618 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)))
160159sumeq2dv 15595 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)))
161116, 158mulcld 11182 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Š) โˆˆ โ„‚)
162124, 126, 161fsumsub 15680 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
163160, 162eqtrd 2777 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
164163adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
165153, 154, 1643eqtr4d 2787 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)))
166134, 137, 1653eqtrrd 2782 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
167 uzp1 12811 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))))
1689, 167syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))))
16945, 166, 168mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3065   โŠ† wss 3915  โˆ…c0 4287  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  ...cfz 13431  ..^cfzo 13574  ฮฃcsu 15577
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  26854  selberg2lem  26914  logdivbnd  26920  pntrsumo1  26929  pntrlog2bndlem2  26942  pntrlog2bndlem4  26944
  Copyright terms: Public domain W3C validator