MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fsumparts Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumparts 15752
Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumparts.b (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))
fsumparts.c (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))
fsumparts.d (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))
fsumparts.e (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))
fsumparts.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
fsumparts.2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
fsumparts.3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
Assertion
Ref Expression
fsumparts (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
Distinct variable groups:   ๐ด,๐‘—   ๐ต,๐‘˜   ๐ถ,๐‘˜   ๐ท,๐‘˜   ๐‘˜,๐ธ   ๐‘—,๐‘‰   ๐‘˜,๐‘Š   ๐‘—,๐‘˜,๐‘€   ๐‘—,๐‘,๐‘˜   ๐œ‘,๐‘—,๐‘˜   ๐‘˜,๐‘‹   ๐‘˜,๐‘Œ   ๐‘˜,๐‘
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘˜)   ๐ต(๐‘—)   ๐ถ(๐‘—)   ๐ท(๐‘—)   ๐ธ(๐‘—)   ๐‘‰(๐‘˜)   ๐‘Š(๐‘—)   ๐‘‹(๐‘—)   ๐‘Œ(๐‘—)   ๐‘(๐‘—)

Proof of Theorem fsumparts
StepHypRef Expression
1 sum0 15667 . . . 4 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = 0
2 0m0e0 12332 . . . 4 (0 โˆ’ 0) = 0
31, 2eqtr4i 2764 . . 3 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (0 โˆ’ 0)
4 simpr 486 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ๐‘ = ๐‘€)
54oveq2d 7425 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€..^๐‘€))
6 fzo0 13656 . . . . 5 (๐‘€..^๐‘€) = โˆ…
75, 6eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = โˆ…)
87sumeq1d 15647 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)))
9 fsumparts.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
10 eluzfz1 13508 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
119, 10syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
12 eqtr3 2759 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ๐‘˜ = ๐‘)
13 fsumparts.e . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘))
14 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด = ๐ธ โˆง ๐‘‰ = ๐‘) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
1512, 13, 143syl 18 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
16 fsumparts.d . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ))
17 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐ด = ๐ท โˆง ๐‘‰ = ๐‘Œ) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
1918adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2015, 19eqeq12d 2749 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ = ๐‘€ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰) โ†” (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2120pm5.74da 803 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ((๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰)) โ†” (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))))
22 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ด ยท ๐‘‰))
2321, 22vtoclg 3557 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2423imp 408 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ (๐‘€...๐‘) โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2511, 24sylan 581 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) = (๐ท ยท ๐‘Œ))
2625oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)))
2716simpld 496 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐ด = ๐ท)
2827eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ท โˆˆ โ„‚))
29 fsumparts.2 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
3029ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚)
3128, 30, 11rspcdva 3614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
3216simprd 497 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ ๐‘‰ = ๐‘Œ)
3332eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘€ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘Œ โˆˆ โ„‚))
34 fsumparts.3 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3534ralrimiva 3147 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚)
3633, 35, 11rspcdva 3614 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
3731, 36mulcld 11234 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
3837subidd 11559 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
3938adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
4026, 39eqtrd 2773 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = 0)
417sumeq1d 15647 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹))
42 sum0 15667 . . . . 5 ฮฃ๐‘— โˆˆ โˆ… ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = 0
4341, 42eqtrdi 2789 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = 0)
4440, 43oveq12d 7427 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)) = (0 โˆ’ 0))
453, 8, 443eqtr4a 2799 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ = ๐‘€) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
46 fzofi 13939 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โˆˆ Fin
4746a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โˆˆ Fin)
48 eluzel2 12827 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
499, 48syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
5049adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
51 uzid 12837 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
52 peano2uz 12885 . . . . . . . . . . 11 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
53 fzoss1 13659 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘€ + 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โŠ† (๐‘€..^๐‘))
5450, 51, 52, 534syl 19 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) โŠ† (๐‘€..^๐‘))
5554sselda 3983 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
56 elfzofz 13648 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
5729, 34mulcld 11234 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
5856, 57sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
5958adantlr 714 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6055, 59syldan 592 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6147, 60fsumcl 15679 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
6213simpld 496 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐ด = ๐ธ)
6362eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ธ โˆˆ โ„‚))
64 eluzfz2 13509 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
659, 64syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
6663, 30, 65rspcdva 3614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
6713simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ ๐‘‰ = ๐‘)
6867eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘ โˆˆ โ„‚))
6968, 35, 65rspcdva 3614 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
7066, 69mulcld 11234 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7170adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐ธ ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
72 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1)))
73 fzp1ss 13552 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘€ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โŠ† (๐‘€...๐‘))
7450, 73syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)...๐‘) โŠ† (๐‘€...๐‘))
7574sselda 3983 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘))
7657adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
7775, 76syldan 592 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
7813, 14syl 17 . . . . . . . . 9 (๐‘˜ = ๐‘ โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ธ ยท ๐‘))
7972, 77, 78fsumm1 15697 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
80 eluzelz 12832 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
819, 80syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
8281adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
83 fzoval 13633 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
8550zcnd 12667 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
86 ax-1cn 11168 . . . . . . . . . . . . 13 1 โˆˆ โ„‚
87 pncan 11466 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘€ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
8885, 86, 87sylancl 587 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1) โˆ’ 1) = ๐‘€)
8988oveq1d 7424 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)) = (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1)))
9084, 89eqtr4d 2776 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€..^๐‘) = (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
9190sumeq1d 15647 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ถ ยท ๐‘‹))
92 1zzd 12593 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ 1 โˆˆ โ„ค)
9350peano2zd 12669 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„ค)
94 fsumparts.c . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹))
95 oveq12 7418 . . . . . . . . . . 11 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐‘‰ = ๐‘‹) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
9694, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ถ ยท ๐‘‹))
9792, 93, 82, 77, 96fsumshftm 15727 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (((๐‘€ + 1) โˆ’ 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ถ ยท ๐‘‹))
9891, 97eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))
99 fzoval 13633 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) = ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
10082, 99syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐‘€ + 1)..^๐‘) = ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1)))
101100sumeq1d 15647 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰))
102101oveq1d 7424 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
10379, 98, 1023eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ธ ยท ๐‘)))
10461, 71, 103comraddd 11428 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) = ((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
105104oveq1d 7424 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)) = (((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
106 fzofzp1 13729 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘))
10794simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
108107eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ถ โˆˆ โ„‚))
109108rspccva 3612 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
11030, 106, 109syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
111 elfzofz 13648 . . . . . . . . . 10 (๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†’ ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘))
112 fsumparts.b . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š))
113112simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐ด = ๐ต)
114113eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†” ๐ต โˆˆ โ„‚))
115114rspccva 3612 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11630, 111, 115syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
11794simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ ๐‘‰ = ๐‘‹)
118117eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = (๐‘— + 1) โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘‹ โˆˆ โ„‚))
119118rspccva 3612 . . . . . . . . . 10 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘— + 1) โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
12035, 106, 119syl2an 597 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
121110, 116, 120subdird 11671 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)))
122121sumeq2dv 15649 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)))
123 fzofi 13939 . . . . . . . . 9 (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin
124123a1i 11 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€..^๐‘) โˆˆ Fin)
125110, 120mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ถ ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
126116, 120mulcld 11234 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
127124, 125, 126fsumsub 15734 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘‹)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
128122, 127eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
129128adantr 482 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ถ ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
130124, 126fsumcl 15679 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
131130adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆˆ โ„‚)
13271, 131, 61subsub3d 11601 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))) = (((๐ธ ยท ๐‘) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹)))
133105, 129, 1323eqtr4d 2783 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹) = ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))))
134133oveq2d 7425 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))))
13537adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐ท ยท ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
136131, 61subcld 11571 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆˆ โ„‚)
13771, 135, 136nnncan1d 11605 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))) = ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)))
13861, 135addcomd 11416 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
139 eluzp1m1 12848 . . . . . . . . . 10 ((๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
14049, 139sylan 581 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘ โˆ’ 1) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€))
14184eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘) โ†” ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))))
142141biimpar 479 . . . . . . . . . 10 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘))
143142, 59syldan 592 . . . . . . . . 9 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) โˆˆ โ„‚)
144140, 143, 18fsum1p 15699 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰)))
14584sumeq1d 15647 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰))
146101oveq2d 7425 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)...(๐‘ โˆ’ 1))(๐ด ยท ๐‘‰)))
147144, 145, 1463eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ((๐ท ยท ๐‘Œ) + ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)))
148138, 147eqtr4d 2776 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰))
149 oveq12 7418 . . . . . . . 8 ((๐ด = ๐ต โˆง ๐‘‰ = ๐‘Š) โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ต ยท ๐‘Š))
150112, 149syl 17 . . . . . . 7 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐ด ยท ๐‘‰) = (๐ต ยท ๐‘Š))
151150cbvsumv 15642 . . . . . 6 ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)
152148, 151eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š))
153152oveq2d 7425 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ))) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
154131, 61, 135subsub4d 11602 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰) + (๐ท ยท ๐‘Œ))))
155112simprd 497 . . . . . . . . . . 11 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ ๐‘‰ = ๐‘Š)
156155eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ = ๐‘— โ†’ (๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โ†” ๐‘Š โˆˆ โ„‚))
157156rspccva 3612 . . . . . . . . 9 ((โˆ€๐‘˜ โˆˆ (๐‘€...๐‘)๐‘‰ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€...๐‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
15835, 111, 157syl2an 597 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ ๐‘Š โˆˆ โ„‚)
159116, 120, 158subdid 11670 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)))
160159sumeq2dv 15649 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)))
161116, 158mulcld 11234 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)) โ†’ (๐ต ยท ๐‘Š) โˆˆ โ„‚)
162124, 126, 161fsumsub 15734 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ (๐ต ยท ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
163160, 162eqtrd 2773 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
164163adantr 482 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘Š)))
165153, 154, 1643eqtr4d 2783 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ((ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท ๐‘‹) โˆ’ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ ((๐‘€ + 1)..^๐‘)(๐ด ยท ๐‘‰)) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) = ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)))
166134, 137, 1653eqtrrd 2778 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))) โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
167 uzp1 12863 . . 3 (๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘€) โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))))
1689, 167syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ = ๐‘€ โˆจ ๐‘ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘€ + 1))))
16945, 166, 168mpjaodan 958 1 (๐œ‘ โ†’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)(๐ต ยท (๐‘‹ โˆ’ ๐‘Š)) = (((๐ธ ยท ๐‘) โˆ’ (๐ท ยท ๐‘Œ)) โˆ’ ฮฃ๐‘— โˆˆ (๐‘€..^๐‘)((๐ถ โˆ’ ๐ต) ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆจ wo 846   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Fincfn 8939  โ„‚cc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   โˆ’ cmin 11444  โ„คcz 12558  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  ..^cfzo 13627  ฮฃcsu 15632
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633
This theorem is referenced by:  dchrisumlem2  26993  selberg2lem  27053  logdivbnd  27059  pntrsumo1  27068  pntrlog2bndlem2  27081  pntrlog2bndlem4  27083
  Copyright terms: Public domain W3C validator