Theorem fsumparts 15926

Description: Summation by parts. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumparts.b	⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
fsumparts.c	⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
fsumparts.d	⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
fsumparts.e	⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
fsumparts.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
fsumparts.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
fsumparts.3	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
fsumparts	⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑗   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝐷,𝑘   𝑘,𝐸   𝑗,𝑉   𝑘,𝑊   𝑗,𝑘,𝑀   𝑗,𝑁,𝑘   𝜑,𝑗,𝑘   𝑘,𝑋   𝑘,𝑌   𝑘,𝑍

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑘)   𝐵(𝑗)   𝐶(𝑗)   𝐷(𝑗)   𝐸(𝑗)   𝑉(𝑘)   𝑊(𝑗)   𝑋(𝑗)   𝑌(𝑗)   𝑍(𝑗)

Proof of Theorem fsumparts

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sum0 15840	. . . 4 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = 0
2		0m0e0 12416	. . . 4 ⊢ (0 − 0) = 0
3	1, 2	eqtr4i 2786	. . 3 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (0 − 0)
4		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑁 = 𝑀)
5	4	oveq2d 7425	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀..^𝑀))
6		fzo0 13772	. . . . 5 ⊢ (𝑀..^𝑀) = ∅
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝑀..^𝑁) = ∅)
8	7	sumeq1d 15820	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ ∅ (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
9		fsumparts.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
10		eluzfz1 13618	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ (𝑀...𝑁))
12		eqtr3 2782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → 𝑘 = 𝑁)
13		fsumparts.e	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍))
14		oveq12 7418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 = 𝐸 ∧ 𝑉 = 𝑍) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
15	12, 13, 14	3syl 19	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
16		fsumparts.d	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌))
17		oveq12 7418	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐴 = 𝐷 ∧ 𝑉 = 𝑌) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
18	16, 17	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
19	18	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐷 · 𝑌))
20	15, 19	eqeq12d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑘 = 𝑀 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉) ↔ (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
21	20	pm5.74da 816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → ((𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉)) ↔ (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))))
22		eqidd 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = 𝑀 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐴 · 𝑉))
23	21, 22	vtoclg 3517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) → (𝑁 = 𝑀 → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌)))
24	23	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ (𝑀...𝑁) ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
25	11, 24	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (𝐸 · 𝑍) = (𝐷 · 𝑌))
26	25	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)))
27	16	simpld 500	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝐴 = 𝐷)
28	27	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐷 ∈ ℂ))
29		fsumparts.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐴 ∈ ℂ)
30	29	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ)
31	28, 30, 11	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
32	16	simprd 501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → 𝑉 = 𝑌)
33	32	eleq1d 2845	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑀 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑌 ∈ ℂ))
34		fsumparts.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑉 ∈ ℂ)
35	34	ralrimiva 3154	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ)
36	33, 35, 11	rspcdva 3577	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
37	31, 36	mulcld 11286	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
38	37	subidd 11614	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
39	38	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐷 · 𝑌) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
40	26, 39	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → ((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) = 0)
41	7	sumeq1d 15820	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋))
42		sum0 15840	. . . . 5 ⊢ Σ𝑗 ∈ ∅ ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0
43	41, 42	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = 0)
44	40, 43	oveq12d 7427	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (0 − 0))
45	3, 8, 44	3eqtr4a 2821	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 = 𝑀) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
46		fzofi 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin
47	46	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ∈ Fin)
48		eluzel2 12925	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
49	9, 48	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℤ)
51		uzid 12935	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
52		peano2uz 12983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
53		fzoss1 13775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
54	50, 51, 52, 53	4syl 20	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) ⊆ (𝑀..^𝑁))
55	54	sselda 3931	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
56		elfzofz 13764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
57	29, 34	mulcld 11286	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
58	56, 57	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
59	58	adantlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
60	55, 59	syldan 603	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
61	47, 60	fsumcl 15852	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
62	13	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝐴 = 𝐸)
63	62	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐸 ∈ ℂ))
64		eluzfz2 13619	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
65	9, 64	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (𝑀...𝑁))
66	63, 30, 65	rspcdva 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
67	13	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → 𝑉 = 𝑍)
68	67	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑍 ∈ ℂ))
69	68, 35, 65	rspcdva 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ ℂ)
70	66, 69	mulcld 11286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
71	70	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐸 · 𝑍) ∈ ℂ)
72		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1)))
73		fzp1ss 13663	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
74	50, 73	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)...𝑁) ⊆ (𝑀...𝑁))
75	74	sselda 3931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁))
76	57	adantlr 728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
77	75, 76	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
78	13, 14	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝑁 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐸 · 𝑍))
79	72, 77, 78	fsumm1 15870	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
80		eluzelz 12930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
81	9, 80	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
82	81	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑁 ∈ ℤ)
83		fzoval 13748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
84	82, 83	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
85	50	zcnd 12759	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 𝑀 ∈ ℂ)
86		ax-1cn 11215	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 1 ∈ ℂ
87		pncan 11520	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑀 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
88	85, 86, 87	sylancl 598	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1) − 1) = 𝑀)
89	88	oveq1d 7424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)) = (𝑀...(𝑁 − 1)))
90	84, 89	eqtr4d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀..^𝑁) = (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1)))
91	90	sumeq1d 15820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
92		1zzd 12682	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → 1 ∈ ℤ)
93	50	peano2zd 12761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑀 + 1) ∈ ℤ)
94		fsumparts.c	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋))
95		oveq12 7418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝑉 = 𝑋) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
96	94, 95	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐶 · 𝑋))
97	92, 93, 82, 77, 96	fsumshftm 15900	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (((𝑀 + 1) − 1)...(𝑁 − 1))(𝐶 · 𝑋))
98	91, 97	eqtr4d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...𝑁)(𝐴 · 𝑉))
99		fzoval 13748	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
100	82, 99	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝑀 + 1)..^𝑁) = ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1)))
101	100	sumeq1d 15820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
102	101	oveq1d 7424	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
103	79, 98, 102	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐸 · 𝑍)))
104	61, 71, 103	comraddd 11481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
105	104	oveq1d 7424	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
106		fzofzp1 13853	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁))
107	94	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝐴 = 𝐶)
108	107	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐶 ∈ ℂ))
109	108	rspccva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
110	30, 106, 109	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐶 ∈ ℂ)
111		elfzofz 13764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁) → 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁))
112		fsumparts.b	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊))
113	112	simpld 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝐴 = 𝐵)
114	113	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 ∈ ℂ ↔ 𝐵 ∈ ℂ))
115	114	rspccva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
116	30, 111, 115	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝐵 ∈ ℂ)
117	94	simprd 501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → 𝑉 = 𝑋)
118	117	eleq1d 2845	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑗 + 1) → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑋 ∈ ℂ))
119	118	rspccva 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ (𝑗 + 1) ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
120	35, 106, 119	syl2an 608	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑋 ∈ ℂ)
121	110, 116, 120	subdird 11728	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → ((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
122	121	sumeq2dv 15822	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)))
123		fzofi 14071	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀..^𝑁) ∈ Fin
124	123	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑀..^𝑁) ∈ Fin)
125	110, 120	mulcld 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐶 · 𝑋) ∈ ℂ)
126	116, 120	mulcld 11286	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
127	124, 125, 126	fsumsub 15907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑋)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
128	122, 127	eqtrd 2795	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
129	128	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐶 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
130	124, 126	fsumcl 15852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
131	130	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) ∈ ℂ)
132	71, 131, 61	subsub3d 11656	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))) = (((𝐸 · 𝑍) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋)))
133	105, 129, 132	3eqtr4d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋) = ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))))
134	133	oveq2d 7425	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))))
135	37	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝐷 · 𝑌) ∈ ℂ)
136	131, 61	subcld 11626	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) ∈ ℂ)
137	71, 135, 136	nnncan1d 11660	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − ((𝐸 · 𝑍) − (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))) = ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)))
138	61, 135	addcomd 11469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
139		eluzp1m1 12946	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
140	49, 139	sylan 592	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
141	84	eleq2d 2846	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁) ↔ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))))
142	141	biimpar 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → 𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁))
143	142, 59	syldan 603	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))) → (𝐴 · 𝑉) ∈ ℂ)
144	140, 143, 18	fsum1p 15872	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
145	84	sumeq1d 15820	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑘 ∈ (𝑀...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉))
146	101	oveq2d 7425	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)...(𝑁 − 1))(𝐴 · 𝑉)))
147	144, 145, 146	3eqtr4d 2805	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = ((𝐷 · 𝑌) + Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)))
148	138, 147	eqtr4d 2798	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉))
149		oveq12 7418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 = 𝐵 ∧ 𝑉 = 𝑊) → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
150	112, 149	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝐴 · 𝑉) = (𝐵 · 𝑊))
151	150	cbvsumv 15816	. . . . . 6 ⊢ Σ𝑘 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)
152	148, 151	eqtrdi 2811	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊))
153	152	oveq2d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
154	131, 61, 135	subsub4d 11657	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − (Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉) + (𝐷 · 𝑌))))
155	112	simprd 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → 𝑉 = 𝑊)
156	155	eleq1d 2845	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑗 → (𝑉 ∈ ℂ ↔ 𝑊 ∈ ℂ))
157	156	rspccva 3575	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀𝑘 ∈ (𝑀...𝑁)𝑉 ∈ ℂ ∧ 𝑗 ∈ (𝑀...𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
158	35, 111, 157	syl2an 608	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → 𝑊 ∈ ℂ)
159	116, 120, 158	subdid 11727	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = ((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
160	159	sumeq2dv 15822	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)))
161	116, 158	mulcld 11286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)) → (𝐵 · 𝑊) ∈ ℂ)
162	124, 126, 161	fsumsub 15907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐵 · 𝑋) − (𝐵 · 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
163	160, 162	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
164	163	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑊)))
165	153, 154, 164	3eqtr4d 2805	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → ((Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · 𝑋) − Σ𝑘 ∈ ((𝑀 + 1)..^𝑁)(𝐴 · 𝑉)) − (𝐷 · 𝑌)) = Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)))
166	134, 137, 165	3eqtrrd 2800	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))) → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))
167		uzp1 12957	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
168	9, 167	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 = 𝑀 ∨ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘(𝑀 + 1))))
169	45, 166, 168	mpjaodan 973	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)(𝐵 · (𝑋 − 𝑊)) = (((𝐸 · 𝑍) − (𝐷 · 𝑌)) − Σ𝑗 ∈ (𝑀..^𝑁)((𝐶 − 𝐵) · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  Fincfn 8952  ℂcc 11155  0cc0 11157  1c1 11158   + caddc 11160   · cmul 11162   − cmin 11498  ℤcz 12648  ℤ_≥cuz 12920  ...cfz 13594  ..^cfzo 13742  Σcsu 15806

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-sup 9412  df-oi 9482  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-rp 13076  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-sum 15807

This theorem is used by:  dchrisumlem2  27766  selberg2lem  27826  logdivbnd  27832  pntrsumo1  27841  pntrlog2bndlem2  27854  pntrlog2bndlem4  27856