Theorem hashfz 14380

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12784	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12789	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		1z 12548	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 12560	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 593	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6		fzen 13486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
8	1	zcnd 12625	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11087	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 11392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12		1cnd 11130	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
13	2	zcnd 12625	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 8	subcld 11496	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 12, 8	addsub12d 11519	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵 − 𝐴)))
16	12, 14, 15	comraddd 11351	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	11, 16	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
18	7, 17	breqtrd 5098	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
19		hasheni 14301	. . 3 ⊢ ((𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
21		uznn0sub 12814	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
22		peano2nn0 12468	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
23		hashfz1 14299	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2774	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5072  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ≈ cen 8880  ℂcc 11027  1c1 11030   + caddc 11032   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ...cfz 13452  ♯chash 14283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-hash 14284

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14381  hashfzo  14382  hashfzp1  14384  hashfz0  14385  0sgmppw  27179  logfaclbnd  27203  gausslemma2dlem5  27352  ballotlem2  34673  subfacp1lem5  35412  fzisoeu  45748  stoweidlem11  46454  stoweidlem26  46469