MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  hashfz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hashfz 14463
Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
hashfz (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12881 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 eluzelz 12886 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3 1z 12645 . . . . . 6 1 ∈ ℤ
4 zsubcl 12657 . . . . . 6 ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
53, 1, 4sylancr 587 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6 fzen 13578 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
71, 2, 5, 6syl3anc 1370 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
81zcnd 12721 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9 ax-1cn 11211 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
10 pncan3 11514 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
118, 9, 10sylancl 586 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12 1cnd 11254 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 1 ∈ ℂ)
132zcnd 12721 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
1413, 8subcld 11618 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
1513, 12, 8addsub12d 11641 . . . . . 6 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵𝐴)))
1612, 14, 15comraddd 11473 . . . . 5 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵𝐴) + 1))
1711, 16oveq12d 7449 . . . 4 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵𝐴) + 1)))
187, 17breqtrd 5174 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)))
19 hasheni 14384 . . 3 ((𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵𝐴) + 1)) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
2018, 19syl 17 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))))
21 uznn0sub 12915 . . 3 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (𝐵𝐴) ∈ ℕ0)
22 peano2nn0 12564 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
23 hashfz1 14382 . . 3 (((𝐵𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2421, 22, 233syl 18 . 2 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(1...((𝐵𝐴) + 1))) = ((𝐵𝐴) + 1))
2520, 24eqtrd 2775 1 (𝐵 ∈ (ℤ𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵𝐴) + 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cen 8981  cc 11151  1c1 11154   + caddc 11156  cmin 11490  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  ...cfz 13544  chash 14366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367
This theorem is referenced by:  fzsdom2  14464  hashfzo  14465  hashfzp1  14467  hashfz0  14468  0sgmppw  27257  logfaclbnd  27281  gausslemma2dlem5  27430  ballotlem2  34470  subfacp1lem5  35169  fzisoeu  45251  stoweidlem11  45967  stoweidlem26  45982
  Copyright terms: Public domain W3C validator