Theorem hashfz 14434

Description: Value of the numeric cardinality of a nonempty integer range. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Sep-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 15-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hashfz	⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Proof of Theorem hashfz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12838	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℤ)
2		eluzelz 12843	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℤ)
3		1z 12595	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℤ
4		zsubcl 12607	. . . . . 6 ⊢ ((1 ∈ ℤ ∧ 𝐴 ∈ ℤ) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
5	3, 1, 4	sylancr 596	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (1 − 𝐴) ∈ ℤ)
6		fzen 13540	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℤ ∧ (1 − 𝐴) ∈ ℤ) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
7	1, 2, 5, 6	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))))
8	1	zcnd 12672	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
9		ax-1cn 11125	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan3 11432	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
11	8, 9, 10	sylancl 595	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴 + (1 − 𝐴)) = 1)
12		1cnd 11169	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 1 ∈ ℂ)
13	2	zcnd 12672	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → 𝐵 ∈ ℂ)
14	13, 8	subcld 11536	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℂ)
15	13, 12, 8	addsub12d 11559	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = (1 + (𝐵 − 𝐴)))
16	12, 14, 15	comraddd 11391	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 + (1 − 𝐴)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
17	11, 16	oveq12d 7409	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → ((𝐴 + (1 − 𝐴))...(𝐵 + (1 − 𝐴))) = (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
18	7, 17	breqtrd 5123	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)))
19		hasheni 14355	. . 3 ⊢ ((𝐴...𝐵) ≈ (1...((𝐵 − 𝐴) + 1)) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
20	18, 19	syl 17	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))))
21		uznn0sub 12868	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0)
22		peano2nn0 12515	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ0 → ((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0)
23		hashfz1 14353	. . 3 ⊢ (((𝐵 − 𝐴) + 1) ∈ ℕ0 → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
24	21, 22, 23	3syl 18	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(1...((𝐵 − 𝐴) + 1))) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))
25	20, 24	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘𝐴) → (♯‘(𝐴...𝐵)) = ((𝐵 − 𝐴) + 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ≈ cen 8918  ℂcc 11065  1c1 11068   + caddc 11070   − cmin 11408  ℕ₀cn0 12475  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12833  ...cfz 13506  ♯chash 14337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-fz 13507  df-hash 14338

This theorem is referenced by:  fzsdom2  14435  hashfzo  14436  hashfzp1  14438  hashfz0  14439  0sgmppw  27250  logfaclbnd  27274  gausslemma2dlem5  27423  ballotlem2  34747  subfacp1lem5  35495  fzisoeu  45840  stoweidlem11  46546  stoweidlem26  46561