MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser2 15634
Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
clim2ser.2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
clim2ser2.5 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘˜   π‘˜,𝐹   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑁   πœ‘,π‘˜   π‘˜,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables 𝑗 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2725 . 2 (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)) = (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ 𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
42, 3eleqtrdi 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
5 peano2uz 12915 . . . 4 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
64, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
7 eluzelz 12862 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
86, 7syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 clim2ser2.5 . 2 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 12857 . . . . 5 (𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
114, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
133, 11, 12serf 14027 . . 3 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹):π‘βŸΆβ„‚)
1413, 2ffvelcdmd 7090 . 2 (πœ‘ β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
15 seqex 14000 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
176, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
183uztrn2 12871 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
1917, 18sylan 578 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
2019, 12syldan 589 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
211, 8, 20serf 14027 . . 3 (πœ‘ β†’ seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))βŸΆβ„‚)
2221ffvelcdmda 7089 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) ∈ β„‚)
2314adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) ∈ β„‚)
24 addcl 11220 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
2524adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚)) β†’ (π‘˜ + π‘₯) ∈ β„‚)
26 addass 11225 . . . . 5 ((π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
2726adantl 480 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ (π‘˜ ∈ β„‚ ∧ π‘₯ ∈ β„‚ ∧ 𝑦 ∈ β„‚)) β†’ ((π‘˜ + π‘₯) + 𝑦) = (π‘˜ + (π‘₯ + 𝑦)))
28 simpr 483 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1)))
294adantr 479 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ 𝑁 ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
30 elfzuz 13529 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
3130, 3eleqtrrdi 2836 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
3231, 12sylan2 591 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3332adantlr 713 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...𝑗)) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) ∈ β„‚)
3425, 27, 28, 29, 33seqsplit 14032 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—)))
3523, 22, 34comraddd 11458 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ (β„€β‰₯β€˜(𝑁 + 1))) β†’ (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘—) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)β€˜π‘—) + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
361, 8, 9, 14, 16, 22, 35climaddc1 15611 1 (πœ‘ β†’ seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)β€˜π‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  1c1 11139   + caddc 11141  β„€cz 12588  β„€β‰₯cuz 12852  ...cfz 13516  seqcseq 13998   ⇝ cli 15460
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-rp 13007  df-fz 13517  df-seq 13999  df-exp 14059  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-clim 15464
This theorem is referenced by:  iserex  15635  abelthlem6  26391  abelthlem9  26395  leibpi  26892
  Copyright terms: Public domain W3C validator