Theorem clim2ser2 15591

Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
clim2ser.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
clim2ser.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
clim2ser.4	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser2.5	⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
clim2ser2	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2

Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. 2 ⊢ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)) = (ℤ≥‘(𝑁 + 1))
2		clim2ser.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝑍)
3		clim2ser.1	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
4	2, 3	eleqtrdi 2847	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
5		peano2uz 12826	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀))
7		eluzelz 12773	. . 3 ⊢ ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		clim2ser2.5	. 2 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10		eluzel2 12768	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
11	4, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
12		clim2ser.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
13	3, 11, 12	serf 13965	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
14	13, 2	ffvelcdmd 7039	. 2 ⊢ (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15		seqex 13938	. . 3 ⊢ seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
16	15	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
17	6, 3	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
18	3	uztrn2 12782	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
19	17, 18	sylan 581	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑘 ∈ 𝑍)
20	19, 12	syldan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
21	1, 8, 20	serf 13965	. . 3 ⊢ (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ≥‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
22	21	ffvelcdmda 7038	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
23	14	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
24		addcl 11120	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
26		addass 11125	. . . . 5 ⊢ ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
27	26	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
28		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1)))
29	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
30		elfzuz 13448	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ≥‘𝑀))
31	30, 3	eleqtrrdi 2848	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ 𝑍)
32	31, 12	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
33	32	adantlr 716	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
34	25, 27, 28, 29, 33	seqsplit 13970	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
35	23, 22, 34	comraddd 11359	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
36	1, 8, 9, 14, 16, 22, 35	climaddc1 15570	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3442   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   + caddc 11041  ℤcz 12500  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13435  seqcseq 13936   ⇝ cli 15419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9357  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-rp 12918  df-fz 13436  df-seq 13937  df-exp 13997  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-clim 15423

This theorem is referenced by:  iserex  15592  abelthlem6  26414  abelthlem9  26418  leibpi  26920