Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  clim2ser2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem clim2ser2 14770
 Description: The limit of an infinite series with an initial segment added. (Contributed by Paul Chapman, 9-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
clim2ser.1 𝑍 = (ℤ𝑀)
clim2ser.2 (𝜑𝑁𝑍)
clim2ser.4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
clim2ser2.5 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
Assertion
Ref Expression
clim2ser2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝑘,𝐹   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝜑,𝑘   𝑘,𝑍

Proof of Theorem clim2ser2
Dummy variables 𝑗 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . 2 (ℤ‘(𝑁 + 1)) = (ℤ‘(𝑁 + 1))
2 clim2ser.2 . . . . 5 (𝜑𝑁𝑍)
3 clim2ser.1 . . . . 5 𝑍 = (ℤ𝑀)
42, 3syl6eleq 2916 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
5 peano2uz 12030 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
64, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀))
7 eluzelz 11985 . . 3 ((𝑁 + 1) ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
86, 7syl 17 . 2 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 clim2ser2.5 . 2 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹) ⇝ 𝐴)
10 eluzel2 11980 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
114, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
12 clim2ser.4 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑍) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
133, 11, 12serf 13130 . . 3 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹):𝑍⟶ℂ)
1413, 2ffvelrnd 6614 . 2 (𝜑 → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
15 seqex 13104 . . 3 seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V
1615a1i 11 . 2 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ V)
176, 3syl6eleqr 2917 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑁 + 1) ∈ 𝑍)
183uztrn2 11993 . . . . . 6 (((𝑁 + 1) ∈ 𝑍𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
1917, 18sylan 575 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑘𝑍)
2019, 12syldan 585 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
211, 8, 20serf 13130 . . 3 (𝜑 → seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹):(ℤ‘(𝑁 + 1))⟶ℂ)
2221ffvelrnda 6613 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) ∈ ℂ)
2314adantr 474 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) ∈ ℂ)
24 addcl 10341 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
2524adantl 475 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ)) → (𝑘 + 𝑥) ∈ ℂ)
26 addass 10346 . . . . 5 ((𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
2726adantl 475 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ (𝑘 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ)) → ((𝑘 + 𝑥) + 𝑦) = (𝑘 + (𝑥 + 𝑦)))
28 simpr 479 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1)))
294adantr 474 . . . 4 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → 𝑁 ∈ (ℤ𝑀))
30 elfzuz 12638 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
3130, 3syl6eleqr 2917 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...𝑗) → 𝑘𝑍)
3231, 12sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3332adantlr 706 . . . 4 (((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...𝑗)) → (𝐹𝑘) ∈ ℂ)
3425, 27, 28, 29, 33seqsplit 13135 . . 3 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁) + (seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗)))
3523, 22, 34comraddd 10576 . 2 ((𝜑𝑗 ∈ (ℤ‘(𝑁 + 1))) → (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑗) = ((seq(𝑁 + 1)( + , 𝐹)‘𝑗) + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
361, 8, 9, 14, 16, 22, 35climaddc1 14749 1 (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ⇝ (𝐴 + (seq𝑀( + , 𝐹)‘𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1111   = wceq 1656   ∈ wcel 2164  Vcvv 3414   class class class wbr 4875  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910  ℂcc 10257  1c1 10260   + caddc 10262  ℤcz 11711  ℤ≥cuz 11975  ...cfz 12626  seqcseq 13102   ⇝ cli 14599 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fz 12627  df-seq 13103  df-exp 13162  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-clim 14603 This theorem is referenced by:  iserex  14771  abelthlem6  24596  abelthlem9  24600  leibpi  25089
 Copyright terms: Public domain W3C validator