Theorem cosasin 26957

Description: The cosine of the arcsine of 𝐴 is √(1 − 𝐴↑2). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Proof of Theorem cosasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 26926	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16146	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
4		ax-1cn 11125	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14125	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11423	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 596	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15458	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11126	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11151	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 10	mpan 700	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12	8, 11, 8	ppncand 11576	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
13		efiasin 26941	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	11, 8, 13	comraddd 11391	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
15		mulneg12 11619	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	9, 1, 15	sylancr 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 26939	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2799	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
20	19	fveq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21		negcl 11424	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 26941	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11618	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	9, 24	mpan 700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7407	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7409	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	11	negcld 11523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 8	addcomd 11379	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
33	8, 11	negsubd 11542	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
34	30, 32, 33	3eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
35	14, 34	oveq12d 7409	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
36	8	2timesd 12458	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
37	12, 35, 36	3eqtr4d 2806	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
38	37	oveq1d 7406	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2) = ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2))
39		2cnd 12290	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12318	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
42	8, 39, 41	divcan3d 11966	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
43	3, 38, 42	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067  1c1 11068  ici 11069   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  -cneg 11409   / cdiv 11838  2c2 12266  ↑cexp 14068  √csqrt 15251  expce 16082  cosccos 16085  arcsincasin 26915

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-inf2 9590  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-fi 9351  df-sup 9382  df-inf 9383  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-q 12944  df-rp 12988  df-xneg 13108  df-xadd 13109  df-xmul 13110  df-ioo 13347  df-ioc 13348  df-ico 13349  df-icc 13350  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-fac 14281  df-bc 14310  df-hash 14338  df-shft 15074  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-limsup 15489  df-clim 15506  df-rlim 15507  df-sum 15705  df-ef 16088  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-rest 17442  df-topn 17443  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-topgen 17463  df-pt 17464  df-prds 17467  df-xrs 17523  df-qtop 17528  df-imas 17529  df-xps 17531  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19101  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-psmet 21404  df-xmet 21405  df-met 21406  df-bl 21407  df-mopn 21408  df-fbas 21409  df-fg 21410  df-cnfld 21413  df-top 22942  df-topon 22959  df-topsp 22981  df-bases 22994  df-cld 23067  df-ntr 23068  df-cls 23069  df-nei 23146  df-lp 23184  df-perf 23185  df-cn 23275  df-cnp 23276  df-haus 23363  df-tx 23610  df-hmeo 23803  df-fil 23894  df-fm 23986  df-flim 23987  df-flf 23988  df-xms 24368  df-ms 24369  df-tms 24370  df-cncf 24928  df-limc 25916  df-dv 25917  df-log 26609  df-asin 26918

This theorem is referenced by:  sinacos  26958