Theorem cosasin 26868

Description: The cosine of the arcsine of 𝐴 is √(1 − 𝐴↑2). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Proof of Theorem cosasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 26837	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16090	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
4		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14080	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11392	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 588	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15402	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11097	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11122	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 10	mpan 691	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12	8, 11, 8	ppncand 11545	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
13		efiasin 26852	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	11, 8, 13	comraddd 11360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
15		mulneg12 11588	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	9, 1, 15	sylancr 588	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 26850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
20	19	fveq2d 6844	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21		negcl 11393	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 26852	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11587	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	9, 24	mpan 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14077	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7385	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	11	negcld 11492	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 8	addcomd 11348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
33	8, 11	negsubd 11511	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
34	30, 32, 33	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
35	14, 34	oveq12d 7385	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
36	8	2timesd 12420	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
37	12, 35, 36	3eqtr4d 2781	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
38	37	oveq1d 7382	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2) = ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2))
39		2cnd 12259	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12285	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
42	8, 39, 41	divcan3d 11936	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
43	3, 38, 42	3eqtrd 2775	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039  ici 11040   + caddc 11041   · cmul 11043   − cmin 11377  -cneg 11378   / cdiv 11807  2c2 12236  ↑cexp 14023  √csqrt 15195  expce 16026  cosccos 16029  arcsincasin 26826

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-asin 26829

This theorem is referenced by:  sinacos  26869