Theorem cosasin 26886

Description: The cosine of the arcsine of 𝐴 is √(1 − 𝐴↑2). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cosasin	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Proof of Theorem cosasin

Step	Hyp	Ref	Expression
1		asincl 26855	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2		cosval 16081	. . 3 ⊢ ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
4		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
5		sqcl 14071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6		subcl 11383	. . . . . . 7 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
7	4, 5, 6	sylancr 593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
8	7	sqrtcld 15393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9		ax-icn 11088	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
10		mulcl 11113	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
11	9, 10	mpan 696	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
12	8, 11, 8	ppncand 11536	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
13		efiasin 26870	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
14	11, 8, 13	comraddd 11351	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
15		mulneg12 11579	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
16	9, 1, 15	sylancr 593	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17		asinneg 26868	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
18	17	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
19	16, 18	eqtr4d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
20	19	fveq2d 6831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21		negcl 11384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		efiasin 26870	. . . . . . . 8 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
23	21, 22	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24		mulneg2 11578	. . . . . . . . 9 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
25	9, 24	mpan 696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26		sqneg 14068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
27	26	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
28	27	fveq2d 6831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
29	25, 28	oveq12d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
30	20, 23, 29	3eqtrd 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
31	11	negcld 11483	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
32	31, 8	addcomd 11339	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
33	8, 11	negsubd 11502	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
34	30, 32, 33	3eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
35	14, 34	oveq12d 7374	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
36	8	2timesd 12411	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
37	12, 35, 36	3eqtr4d 2784	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
38	37	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2) = ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2))
39		2cnd 12250	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
40		2ne0 12276	. . . 4 ⊢ 2 ≠ 0
41	40	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
42	8, 39, 41	divcan3d 11927	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
43	3, 38, 42	3eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030  ici 11031   + caddc 11032   · cmul 11034   − cmin 11368  -cneg 11369   / cdiv 11798  2c2 12227  ↑cexp 14014  √csqrt 15186  expce 16017  cosccos 16020  arcsincasin 26844

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21339  df-xmet 21340  df-met 21341  df-bl 21342  df-mopn 21343  df-fbas 21344  df-fg 21345  df-cnfld 21348  df-top 22877  df-topon 22894  df-topsp 22916  df-bases 22929  df-cld 23002  df-ntr 23003  df-cls 23004  df-nei 23081  df-lp 23119  df-perf 23120  df-cn 23210  df-cnp 23211  df-haus 23298  df-tx 23545  df-hmeo 23738  df-fil 23829  df-fm 23921  df-flim 23922  df-flf 23923  df-xms 24303  df-ms 24304  df-tms 24305  df-cncf 24863  df-limc 25851  df-dv 25852  df-log 26538  df-asin 26847

This theorem is referenced by:  sinacos  26887