MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosasin Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosasin 26752
Description: The cosine of the arcsine of 𝐴 is √(1 − 𝐴↑2). (Contributed by Mario Carneiro, 2-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
cosasin (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))

Proof of Theorem cosasin
StepHypRef Expression
1 asincl 26721 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ)
2 cosval 16063 . . 3 ((arcsin‘𝐴) ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
31, 2syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2))
4 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
5 sqcl 14080 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
6 subcl 11456 . . . . . . 7 ((1 ∈ ℂ ∧ (𝐴↑2) ∈ ℂ) → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
74, 5, 6sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (𝐴↑2)) ∈ ℂ)
87sqrtcld 15381 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (𝐴↑2))) ∈ ℂ)
9 ax-icn 11165 . . . . . 6 i ∈ ℂ
10 mulcl 11190 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
119, 10mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
128, 11, 8ppncand 11608 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
13 efiasin 26736 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
1411, 8, 13comraddd 11425 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)))
15 mulneg12 11649 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (arcsin‘𝐴) ∈ ℂ) → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
169, 1, 15sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
17 asinneg 26734 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (arcsin‘-𝐴) = -(arcsin‘𝐴))
1817oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (arcsin‘-𝐴)) = (i · -(arcsin‘𝐴)))
1916, 18eqtr4d 2767 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · (arcsin‘𝐴)) = (i · (arcsin‘-𝐴)))
2019fveq2d 6885 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))))
21 negcl 11457 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22 efiasin 26736 . . . . . . . 8 (-𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
2321, 22syl 17 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · (arcsin‘-𝐴))) = ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))))
24 mulneg2 11648 . . . . . . . . 9 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
259, 24mpan 687 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = -(i · 𝐴))
26 sqneg 14078 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (-𝐴↑2) = (𝐴↑2))
2726oveq2d 7417 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (1 − (-𝐴↑2)) = (1 − (𝐴↑2)))
2827fveq2d 6885 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (√‘(1 − (-𝐴↑2))) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
2925, 28oveq12d 7419 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · -𝐴) + (√‘(1 − (-𝐴↑2)))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3020, 23, 293eqtrd 2768 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3111negcld 11555 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → -(i · 𝐴) ∈ ℂ)
3231, 8addcomd 11413 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-(i · 𝐴) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)))
338, 11negsubd 11574 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + -(i · 𝐴)) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
3430, 32, 333eqtrd 2768 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴)))
3514, 34oveq12d 7419 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (i · 𝐴)) + ((√‘(1 − (𝐴↑2))) − (i · 𝐴))))
3682timesd 12452 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) = ((√‘(1 − (𝐴↑2))) + (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3712, 35, 363eqtr4d 2774 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) = (2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))))
3837oveq1d 7416 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · (arcsin‘𝐴))) + (exp‘(-i · (arcsin‘𝐴)))) / 2) = ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2))
39 2cnd 12287 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ∈ ℂ)
40 2ne0 12313 . . . 4 2 ≠ 0
4140a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → 2 ≠ 0)
428, 39, 41divcan3d 11992 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((2 · (√‘(1 − (𝐴↑2)))) / 2) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
433, 38, 423eqtrd 2768 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘(arcsin‘𝐴)) = (√‘(1 − (𝐴↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932  cfv 6533  (class class class)co 7401  cc 11104  0cc0 11106  1c1 11107  ici 11108   + caddc 11109   · cmul 11111  cmin 11441  -cneg 11442   / cdiv 11868  2c2 12264  cexp 14024  csqrt 15177  expce 16002  cosccos 16005  arcsincasin 26710
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-xneg 13089  df-xadd 13090  df-xmul 13091  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-ico 13327  df-icc 13328  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13964  df-exp 14025  df-fac 14231  df-bc 14260  df-hash 14288  df-shft 15011  df-cj 15043  df-re 15044  df-im 15045  df-sqrt 15179  df-abs 15180  df-limsup 15412  df-clim 15429  df-rlim 15430  df-sum 15630  df-ef 16008  df-sin 16010  df-cos 16011  df-pi 16013  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-submnd 18704  df-mulg 18986  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-psmet 21220  df-xmet 21221  df-met 21222  df-bl 21223  df-mopn 21224  df-fbas 21225  df-fg 21226  df-cnfld 21229  df-top 22718  df-topon 22735  df-topsp 22757  df-bases 22771  df-cld 22845  df-ntr 22846  df-cls 22847  df-nei 22924  df-lp 22962  df-perf 22963  df-cn 23053  df-cnp 23054  df-haus 23141  df-tx 23388  df-hmeo 23581  df-fil 23672  df-fm 23764  df-flim 23765  df-flf 23766  df-xms 24148  df-ms 24149  df-tms 24150  df-cncf 24720  df-limc 25717  df-dv 25718  df-log 26407  df-asin 26713
This theorem is referenced by:  sinacos  26753
  Copyright terms: Public domain W3C validator