Theorem mogoldbblem 47707

Description: Lemma for mogoldbb 47772. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbblem	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑄,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Proof of Theorem mogoldbblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2evenALTV 47679	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ Even
2		epee 47692	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
3	1, 2	mpan2 691	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 + 2) ∈ Even )
4	3	3ad2ant2 1135	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
5		simp1 1137	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ))
6		simp3 1139	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))
7		even3prm2 47706	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 2) ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
9		oveq1 7438	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (2 + 𝑄))
10	9	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((2 + 𝑄) + 𝑅))
11	10	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅)))
12		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
13		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
16		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simp1 1137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
20		addcl 11237	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
21	20	3adant1 1131	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
22		addass 11242	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = (2 + (𝑄 + 𝑅)))
23	19, 21, 22	comraddd 11475	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
24	12, 15, 18, 23	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
25	24	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
27		evenz 47617	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		zaddcl 12657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
31	13, 16, 30	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
34		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
35	29, 33, 34	addcan2d 11465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
36	26, 35	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
37		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℙ)
38		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑞))
39	38	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
40	39	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑄) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
42		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑅))
44		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑅))
45	44	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑅) = (𝑄 + 𝑞))
46	43, 45	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
47	42, 46	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
48	37, 41, 47	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
51	36, 50	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
52	51	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
53	11, 52	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
54	53	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
56	55	3adant1 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
57	56	3imp 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
58	57	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
59		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 2))
60	59	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 2) + 𝑅))
61	60	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅)))
62		prmz 16712	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
63	62	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
65		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
66	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	64, 65, 66	3jca 1129	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
69		add32 11480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
71	70	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2)))
72	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
73		zaddcl 12657	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
74	62, 16, 73	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
77		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
78	72, 76, 77	addcan2d 11465	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
79	71, 78	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
80		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
81		oveq1 7438	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑞))
82	81	eqeq2d 2748	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
83	82	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
85		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
86		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑅))
87		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑅))
88	87	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑅) = (𝑃 + 𝑞))
89	86, 88	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
90	85, 89	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
91	80, 84, 90	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
92	91	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
94	79, 93	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
95	94	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
96	61, 95	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
97	96	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
98	97	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
99	98	3adant2 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
100	99	3imp 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
101	100	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑄 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
102		oveq2 7439	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑄) + 2))
103	102	eqeq2d 2748	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2)))
104	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
105		zaddcl 12657	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
106	62, 13, 105	syl2an 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
107	106	zcnd 12723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
109		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
110	104, 108, 109	addcan2d 11465	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)))
111		simpll 767	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ ℙ)
112	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
113		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℙ)
114		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑄))
115		oveq2 7439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑄))
116	115	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 𝑞))
117	114, 116	sylan9eq 2797	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑞 = 𝑄) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
118	113, 117	rspcedeq2vd 3630	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
119	111, 112, 118	rspcedvd 3624	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
122	110, 121	sylbid 240	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
123	122	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
124	103, 123	biimtrdi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
125	124	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
126	125	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
127	126	3adant3 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
128	127	3imp 1111	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
129	128	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
130	58, 101, 129	3jaoi 1430	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
131	8, 130	mpcom 38	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3070  (class class class)co 7431  ℂcc 11153   + caddc 11158  2c2 12321  ℤcz 12613  ℙcprime 16708   Even ceven 47611

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-prm 16709  df-even 47613  df-odd 47614

This theorem is referenced by:  mogoldbb  47772