Theorem mogoldbblem 48637

Description: Lemma for mogoldbb 48702. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbblem	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑄,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Proof of Theorem mogoldbblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2evenALTV 48609	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ Even
2		epee 48622	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
3	1, 2	mpan2 704	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 + 2) ∈ Even )
4	3	3ad2ant2 1152	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
5		simp1 1154	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ))
6		simp3 1156	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))
7		even3prm2 48636	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 2) ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
9		oveq1 7421	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (2 + 𝑄))
10	9	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((2 + 𝑄) + 𝑅))
11	10	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅)))
12		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
13		prmz 16766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
15	14	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
16		prmz 16766	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simp1 1154	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
20		addcl 11207	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
21	20	3adant1 1148	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
22		addass 11212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = (2 + (𝑄 + 𝑅)))
23	19, 21, 22	comraddd 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
24	12, 15, 18, 23	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
25	24	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
26	25	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
27		evenz 48547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		zaddcl 12659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
31	13, 16, 30	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
34		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
35	29, 33, 34	addcan2d 11439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
36	26, 35	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
37		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℙ)
38		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑞))
39	38	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
40	39	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
41	40	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑄) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
42		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑅))
44		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑅))
45	44	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑅) = (𝑄 + 𝑞))
46	43, 45	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
47	42, 46	rspcedeq2vd 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
48	37, 41, 47	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
49	48	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
50	49	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
51	36, 50	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
52	51	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
53	11, 52	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
54	53	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
55	54	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
56	55	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
57	56	3imp 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
58	57	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
59		oveq2 7422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 2))
60	59	oveq1d 7429	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 2) + 𝑅))
61	60	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅)))
62		prmz 16766	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
63	62	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
64	63	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
65		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
66	17	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	64, 65, 66	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
68	67	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
69		add32 11454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
71	70	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2)))
72	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
73		zaddcl 12659	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
74	62, 16, 73	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
76	75	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
77		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
78	72, 76, 77	addcan2d 11439	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
79	71, 78	bitrd 282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
80		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
81		oveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑞))
82	81	eqeq2d 2771	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
83	82	rexbidv 3186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
84	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
85		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
86		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑅))
87		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑅))
88	87	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑅) = (𝑃 + 𝑞))
89	86, 88	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
90	85, 89	rspcedeq2vd 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
91	80, 84, 90	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
92	91	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
93	92	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
94	79, 93	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
95	94	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
96	61, 95	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
97	96	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
98	97	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
99	98	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
100	99	3imp 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
101	100	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑄 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
102		oveq2 7422	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑄) + 2))
103	102	eqeq2d 2771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2)))
104	28	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
105		zaddcl 12659	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
106	62, 13, 105	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
107	106	zcnd 12727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
108	107	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
109		2cnd 12344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
110	104, 108, 109	addcan2d 11439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)))
111		simpll 779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ ℙ)
112	83	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
113		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℙ)
114		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑄))
115		oveq2 7422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑄))
116	115	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 𝑞))
117	114, 116	sylan9eq 2815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑞 = 𝑄) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
118	113, 117	rspcedeq2vd 3584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
119	111, 112, 118	rspcedvd 3578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
120	119	ex 418	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
121	120	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
122	110, 121	sylbid 243	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
123	122	com12 33	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
124	103, 123	biimtrdi 256	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
125	124	com13 89	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
126	125	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
127	126	3adant3 1150	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
128	127	3imp 1128	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
129	128	com12 33	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
130	58, 101, 129	3jaoi 1454	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
131	8, 130	mpcom 39	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086  (class class class)co 7414  ℂcc 11123   + caddc 11128  2c2 12320  ℤcz 12616  ℙcprime 16762   Even ceven 48541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-pre-sup 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-sup 9413  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-n0 12530  df-z 12617  df-uz 12889  df-rp 13044  df-seq 14067  df-exp 14127  df-cj 15187  df-re 15188  df-im 15189  df-sqrt 15323  df-abs 15324  df-dvds 16344  df-prm 16763  df-even 48543  df-odd 48544

This theorem is used by:  mogoldbb  48702