Theorem mogoldbblem 46849

Description: Lemma for mogoldbb 46914. (Contributed by AV, 26-Dec-2021.)

Assertion

Ref	Expression
mogoldbblem	⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

Distinct variable groups:   𝑁,𝑝,𝑞   𝑃,𝑝,𝑞   𝑄,𝑝,𝑞   𝑅,𝑝,𝑞

Proof of Theorem mogoldbblem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2evenALTV 46821	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ Even
2		epee 46834	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Even ∧ 2 ∈ Even ) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
3	1, 2	mpan2 688	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ Even → (𝑁 + 2) ∈ Even )
4	3	3ad2ant2 1133	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) ∈ Even )
5		simp1 1135	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ))
6		simp3 1137	. . 3 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅))
7		even3prm2 46848	. . 3 ⊢ (((𝑁 + 2) ∈ Even ∧ (𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
8	4, 5, 6, 7	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2))
9		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑃 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (2 + 𝑄))
10	9	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((2 + 𝑄) + 𝑅))
11	10	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅)))
12		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
13		prmz 16619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
14	13	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℂ)
15	14	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑄 ∈ ℂ)
16		prmz 16619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℤ)
17	16	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ ℙ → 𝑅 ∈ ℂ)
18	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
19		simp1 1135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → 2 ∈ ℂ)
20		addcl 11198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
21	20	3adant1 1129	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
22		addass 11203	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = (2 + (𝑄 + 𝑅)))
23	19, 21, 22	comraddd 11435	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝑄 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
24	12, 15, 18, 23	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((2 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑄 + 𝑅) + 2))
25	24	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2)))
27		evenz 46759	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℤ)
28	27	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ Even → 𝑁 ∈ ℂ)
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
30		zaddcl 12609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
31	13, 16, 30	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑄 + 𝑅) ∈ ℂ)
34		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
35	29, 33, 34	addcan2d 11425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑄 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
36	26, 35	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)))
37		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑄 ∈ ℙ)
38		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑞))
39	38	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
40	39	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑄 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
41	40	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑄) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞)))
42		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
43		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑅))
44		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑞) = (𝑄 + 𝑅))
45	44	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑄 + 𝑅) = (𝑄 + 𝑞))
46	43, 45	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
47	42, 46	rspcedeq2vd 3619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑄 + 𝑞))
48	37, 41, 47	rspcedvd 3614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑄 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
49	48	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑄 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
51	36, 50	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
52	51	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((2 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
53	11, 52	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑃 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
54	53	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
55	54	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
56	55	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
57	56	3imp 1110	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑃 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
58	57	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑃 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
59		oveq2 7420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 = 2 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 2))
60	59	oveq1d 7427	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 2) + 𝑅))
61	60	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅)))
62		prmz 16619	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
63	62	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℂ)
64	63	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑃 ∈ ℂ)
65		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 2 ∈ ℂ)
66	17	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → 𝑅 ∈ ℂ)
67	64, 65, 66	3jca 1127	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
68	67	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ))
69		add32 11439	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
70	68, 69	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑃 + 2) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑅) + 2))
71	70	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2)))
72	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
73		zaddcl 12609	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑅 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
74	62, 16, 73	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℤ)
75	74	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
76	75	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑅) ∈ ℂ)
77		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
78	72, 76, 77	addcan2d 11425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑅) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
79	71, 78	bitrd 279	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)))
80		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑃 ∈ ℙ)
81		oveq1 7419	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑝 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑞))
82	81	eqeq2d 2742	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
83	82	rexbidv 3177	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑝 = 𝑃 → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
84	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
85		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑅 ∈ ℙ)
86		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑅))
87		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑅))
88	87	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑅 → (𝑃 + 𝑅) = (𝑃 + 𝑞))
89	86, 88	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) ∧ 𝑞 = 𝑅) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
90	85, 89	rspcedeq2vd 3619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
91	80, 84, 90	rspcedvd 3614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
92	91	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
93	92	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
94	79, 93	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
95	94	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 2) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
96	61, 95	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
97	96	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
98	97	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
99	98	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
100	99	3imp 1110	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑄 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
101	100	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑄 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
102		oveq2 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) = ((𝑃 + 𝑄) + 2))
103	102	eqeq2d 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) ↔ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2)))
104	28	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 𝑁 ∈ ℂ)
105		zaddcl 12609	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑃 ∈ ℤ ∧ 𝑄 ∈ ℤ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
106	62, 13, 105	syl2an 595	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℤ)
107	106	zcnd 12674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
108	107	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑃 + 𝑄) ∈ ℂ)
109		2cnd 12297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → 2 ∈ ℂ)
110	104, 108, 109	addcan2d 11425	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) ↔ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)))
111		simpll 764	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑃 ∈ ℙ)
112	83	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑝 = 𝑃) → (∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞) ↔ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞)))
113		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑄 ∈ ℙ)
114		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑄))
115		oveq2 7420	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑞) = (𝑃 + 𝑄))
116	115	eqcomd 2737	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑞 = 𝑄 → (𝑃 + 𝑄) = (𝑃 + 𝑞))
117	114, 116	sylan9eq 2791	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) ∧ 𝑞 = 𝑄) → 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
118	113, 117	rspcedeq2vd 3619	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑃 + 𝑞))
119	111, 112, 118	rspcedvd 3614	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 = (𝑃 + 𝑄)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))
120	119	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
121	120	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → (𝑁 = (𝑃 + 𝑄) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
122	110, 121	sylbid 239	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
123	122	com12 32	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
124	103, 123	syl6bi 253	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 = 2 → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
125	124	com13 88	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ) → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))))
126	125	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
127	126	3adant3 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) → (𝑁 ∈ Even → ((𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))))
128	127	3imp 1110	. . . 4 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → (𝑅 = 2 → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
129	128	com12 32	. . 3 ⊢ (𝑅 = 2 → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
130	58, 101, 129	3jaoi 1426	. 2 ⊢ ((𝑃 = 2 ∨ 𝑄 = 2 ∨ 𝑅 = 2) → (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞)))
131	8, 130	mpcom 38	1 ⊢ (((𝑃 ∈ ℙ ∧ 𝑄 ∈ ℙ ∧ 𝑅 ∈ ℙ) ∧ 𝑁 ∈ Even ∧ (𝑁 + 2) = ((𝑃 + 𝑄) + 𝑅)) → ∃𝑝 ∈ ℙ ∃𝑞 ∈ ℙ 𝑁 = (𝑝 + 𝑞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ w3o 1085   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∃wrex 3069  (class class class)co 7412  ℂcc 11114   + caddc 11119  2c2 12274  ℤcz 12565  ℙcprime 16615   Even ceven 46753

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12480  df-z 12566  df-uz 12830  df-rp 12982  df-seq 13974  df-exp 14035  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-prm 16616  df-even 46755  df-odd 46756

This theorem is referenced by:  mogoldbb  46914