Theorem cosneg 16356

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11595	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
2		mulcl 11321	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16289	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11296	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 11321	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16289	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		mulneg12 11791	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
12	6, 11	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
13	12	eqcomd 2769	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = ( -i · 𝐴))
14	13	fveq2d 6918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘( -i · 𝐴)))
15		mul2neg 11792	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
16	6, 15	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
17	16	fveq2d 6918	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
18	14, 17	oveq12d 7467	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
19	5, 10, 18	comraddd 11561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))
20	19	oveq1d 7464	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
21		negcl 11594	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		cosval 16332	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2))
23	21, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2))
24		cosval 16332	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
25	20, 23, 24	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ici 11239   + caddc 11240   · cmul 11242   -cneg 11579   / cdiv 12011  2c2 12435  expce 16268  cosccos 16271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-pm 8886  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-n0 12645  df-z 12732  df-uz 13004  df-rp 13159  df-ico 13520  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-cos 16277

This theorem is used by:  tanneg  16357  efmival  16362  sinsub  16377  cossub  16378  sincossq  16385  cosneghalfpi  26845  cos2pim  26861  ptolemy  26871  coseq0negpitopi  26878  tanord  26912  argregt0  26984  argrege0  26985  atantan  27297  cospim  43662  coshneg  51240