Theorem cosneg 16221

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11469	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
2		mulcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16154	. . . . 5 ⊢ ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11170	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 11195	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16154	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		mulneg12 11663	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
12	6, 11	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
13	12	eqcomd 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
14	13	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
15		mul2neg 11664	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
16	6, 15	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
17	16	fveq2d 6889	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
18	14, 17	oveq12d 7434	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
19	5, 10, 18	comraddd 11435	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
20	19	oveq1d 7431	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21		negcl 11468	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		cosval 16197	. . 3 ⊢ (-𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
23	21, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
24		cosval 16197	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
25	20, 23, 24	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ici 11113   + caddc 11114   · cmul 11116  -cneg 11453   / cdiv 11882  2c2 12306  expce 16133  cosccos 16136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12875  df-rp 13029  df-ico 13390  df-fz 13548  df-fzo 13696  df-fl 13839  df-seq 14052  df-exp 14112  df-fac 14324  df-hash 14381  df-shft 15124  df-cj 15170  df-re 15171  df-im 15172  df-sqrt 15306  df-abs 15307  df-limsup 15542  df-clim 15559  df-rlim 15560  df-sum 15758  df-ef 16139  df-cos 16142

This theorem is used by:  tanneg  16222  efmival  16227  sinsub  16242  cossub  16243  sincossq  16250  cosneghalfpi  26666  cos2pim  26682  ptolemy  26692  coseq0negpitopi  26699  tanord  26734  argregt0  26806  argrege0  26807  atantan  27119  cospim  43145