MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosneg 15333
Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
cosneg (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg
StepHypRef Expression
1 negicn 10736 . . . . . 6 -i ∈ ℂ
2 mulcl 10470 . . . . . 6 ((-i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
31, 2mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) ∈ ℂ)
4 efcl 15269 . . . . 5 ((-i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
53, 4syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6 ax-icn 10445 . . . . . 6 i ∈ ℂ
7 mulcl 10470 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
86, 7mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9 efcl 15269 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
108, 9syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11 mulneg12 10928 . . . . . . . 8 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
126, 11mpan 686 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · 𝐴) = (i · -𝐴))
1312eqcomd 2800 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = (-i · 𝐴))
1413fveq2d 6545 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘(-i · 𝐴)))
15 mul2neg 10929 . . . . . . 7 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
166, 15mpan 686 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (-i · -𝐴) = (i · 𝐴))
1716fveq2d 6545 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(-i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
1814, 17oveq12d 7037 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(-i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
195, 10, 18comraddd 10703 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))))
2019oveq1d 7034 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
21 negcl 10735 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22 cosval 15309 . . 3 (-𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
2321, 22syl 17 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘(-i · -𝐴))) / 2))
24 cosval 15309 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘(-i · 𝐴))) / 2))
2520, 23, 243eqtr4d 2840 1 (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘-𝐴) = (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1522  wcel 2080  cfv 6228  (class class class)co 7019  cc 10384  ici 10388   + caddc 10389   · cmul 10391  -cneg 10720   / cdiv 11147  2c2 11542  expce 15248  cosccos 15251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-inf2 8953  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463  ax-pre-sup 10464  ax-addf 10465  ax-mulf 10466
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-se 5406  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-isom 6237  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-pm 8262  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-sup 8755  df-inf 8756  df-oi 8823  df-card 9217  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-div 11148  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-rp 12240  df-ico 12594  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-cos 15257
This theorem is referenced by:  tanneg  15334  efmival  15339  sinsub  15354  cossub  15355  sincossq  15362  cosneghalfpi  24739  cos2pim  24755  ptolemy  24765  coseq0negpitopi  24772  tanord  24803  argregt0  24874  argrege0  24875  atantan  25182
  Copyright terms: Public domain W3C validator