Theorem cosneg 16321

Description: The cosines of a number and its negative are the same. (Contributed by NM, 30-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
cosneg	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negicn 11562	. . . . . 6 ⊢ -i ∈ ℂ
2		mulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ (( -i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) ∈ ℂ)
4		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ (( -i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
5	3, 4	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · 𝐴)) ∈ ℂ)
6		ax-icn 11263	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
7		mulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
8	6, 7	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
9		efcl 16254	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
10	8, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · 𝐴)) ∈ ℂ)
11		mulneg12 11758	. . . . . . . 8 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
12	6, 11	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · 𝐴) = (i · -𝐴))
13	12	eqcomd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · -𝐴) = ( -i · 𝐴))
14	13	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(i · -𝐴)) = (exp‘( -i · 𝐴)))
15		mul2neg 11759	. . . . . . 7 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
16	6, 15	mpan 703	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ( -i · -𝐴) = (i · 𝐴))
17	16	fveq2d 6890	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘( -i · -𝐴)) = (exp‘(i · 𝐴)))
18	14, 17	oveq12d 7439	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) = ((exp‘( -i · 𝐴)) + (exp‘(i · 𝐴))))
19	5, 10, 18	comraddd 11528	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) = ((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))))
20	19	oveq1d 7436	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
21		negcl 11561	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -𝐴 ∈ ℂ)
22		cosval 16297	. . 3 ⊢ ( -𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2))
23	21, 22	syl 18	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (((exp‘(i · -𝐴)) + (exp‘( -i · -𝐴))) / 2))
24		cosval 16297	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘𝐴) = (((exp‘(i · 𝐴)) + (exp‘( -i · 𝐴))) / 2))
25	20, 23, 24	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (cos‘ -𝐴) = (cos‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ici 11206   + caddc 11207   · cmul 11209   -cneg 11546   / cdiv 11977  2c2 12401  expce 16233  cosccos 16236

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-er 8721  df-pm 8854  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-n0 12611  df-z 12698  df-uz 12970  df-rp 13125  df-ico 13486  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-cos 16242

This theorem is used by:  tanneg  16322  efmival  16327  sinsub  16342  cossub  16343  sincossq  16350  cosneghalfpi  26805  cos2pim  26821  ptolemy  26831  coseq0negpitopi  26838  tanord  26872  argregt0  26944  argrege0  26945  atantan  27257  cospim  43496