MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 16148
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 16041 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
21eqeq2i 2739 . . . 4 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1)
3 imcl 15064 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43renegcld 11645 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 0re 11220 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
6 reef11 16069 . . . . 5 ((-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
74, 5, 6sylancl 585 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
82, 7bitr3id 285 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
93recnd 11246 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
109negeq0d 11567 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
118, 10bitr4d 282 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
12 ax-icn 11171 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
13 mulcl 11196 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1412, 13mpan 687 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 absef 16147 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))))
17 recl 15063 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1817recnd 11246 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
19 mulcl 11196 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 9, 19sylancr 586 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
21 replim 15069 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2218, 20, 21comraddd 11432 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด)))
2322oveq2d 7421 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))))
24 adddi 11201 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
2512, 20, 18, 24mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
26 ixi 11847 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
2726oveq1i 7415 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด))
28 mulass 11200 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2912, 12, 9, 28mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
309mulm1d 11670 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3127, 29, 303eqtr3a 2790 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3231oveq1d 7420 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3325, 32eqtrd 2766 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3423, 33eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3534fveq2d 6889 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜(-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))))
364, 17crred 15184 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3735, 36eqtrd 2766 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3837fveq2d 6889 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
3916, 38eqtrd 2766 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4039eqeq1d 2728 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1 โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1))
41 reim0b 15072 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
4211, 40, 413bitr4rd 312 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113  ici 11114   + caddc 11115   ยท cmul 11117  -cneg 11449  โ„œcre 15050  โ„‘cim 15051  abscabs 15187  expce 16011
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12981  df-ico 13336  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020
This theorem is referenced by:  sineq0  26413  sineq0ALT  44271
  Copyright terms: Public domain W3C validator