MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 16182
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 16075 . . . . 5 (exp‘0) = 1
21eqeq2i 2741 . . . 4 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1)
3 imcl 15098 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43renegcld 11679 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5 0re 11254 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6 reef11 16103 . . . . 5 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
74, 5, 6sylancl 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
82, 7bitr3id 284 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
93recnd 11280 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
109negeq0d 11601 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
118, 10bitr4d 281 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12 ax-icn 11205 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 mulcl 11230 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15 absef 16181 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
17 recl 15097 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 11280 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
19 mulcl 11230 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2012, 9, 19sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
21 replim 15103 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2218, 20, 21comraddd 11466 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
2322oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))))
24 adddi 11235 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
2512, 20, 18, 24mp3an2i 1462 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
26 ixi 11881 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
2726oveq1i 7436 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
28 mulass 11234 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
2912, 12, 9, 28mp3an12i 1461 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
309mulm1d 11704 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3127, 29, 303eqtr3a 2792 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
3231oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3325, 32eqtrd 2768 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3423, 33eqtrd 2768 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3534fveq2d 6906 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))))
364, 17crred 15218 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
3735, 36eqtrd 2768 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3837fveq2d 6906 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
3916, 38eqtrd 2768 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4039eqeq1d 2730 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1 ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1))
41 reim0b 15106 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4211, 40, 413bitr4rd 311 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11144  cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147  ici 11148   + caddc 11149   · cmul 11151  -cneg 11483  cre 15084  cim 15085  abscabs 15221  expce 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-pm 8854  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-ico 13370  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054
This theorem is referenced by:  sineq0  26478  sineq0ALT  44407
  Copyright terms: Public domain W3C validator