MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 16087
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 15980 . . . . 5 (expโ€˜0) = 1
21eqeq2i 2750 . . . 4 ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1)
3 imcl 15003 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
43renegcld 11589 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ -(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
5 0re 11164 . . . . 5 0 โˆˆ โ„
6 reef11 16008 . . . . 5 ((-(โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
74, 5, 6sylancl 587 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = (expโ€˜0) โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
82, 7bitr3id 285 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
93recnd 11190 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
109negeq0d 11511 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((โ„‘โ€˜๐ด) = 0 โ†” -(โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
118, 10bitr4d 282 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1 โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
12 ax-icn 11117 . . . . . 6 i โˆˆ โ„‚
13 mulcl 11142 . . . . . 6 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
15 absef 16086 . . . . 5 ((i ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))))
17 recl 15002 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„)
1817recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚)
19 mulcl 11142 . . . . . . . . . . 11 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
2012, 9, 19sylancr 588 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚)
21 replim 15008 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((โ„œโ€˜๐ด) + (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2218, 20, 21comraddd 11376 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ๐ด = ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด)))
2322oveq2d 7378 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))))
24 adddi 11147 . . . . . . . . . 10 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„œโ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
2512, 20, 18, 24mp3an2i 1467 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
26 ixi 11791 . . . . . . . . . . . 12 (i ยท i) = -1
2726oveq1i 7372 . . . . . . . . . . 11 ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด))
28 mulass 11146 . . . . . . . . . . . 12 ((i โˆˆ โ„‚ โˆง i โˆˆ โ„‚ โˆง (โ„‘โ€˜๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
2912, 12, 9, 28mp3an12i 1466 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท i) ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))))
309mulm1d 11614 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (-1 ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3127, 29, 303eqtr3a 2801 . . . . . . . . . 10 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3231oveq1d 7377 . . . . . . . . 9 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((i ยท (i ยท (โ„‘โ€˜๐ด))) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3325, 32eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ((i ยท (โ„‘โ€˜๐ด)) + (โ„œโ€˜๐ด))) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3423, 33eqtrd 2777 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (i ยท ๐ด) = (-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด))))
3534fveq2d 6851 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = (โ„œโ€˜(-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))))
364, 17crred 15123 . . . . . 6 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(-(โ„‘โ€˜๐ด) + (i ยท (โ„œโ€˜๐ด)))) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3735, 36eqtrd 2777 . . . . 5 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (โ„œโ€˜(i ยท ๐ด)) = -(โ„‘โ€˜๐ด))
3837fveq2d 6851 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (expโ€˜(โ„œโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
3916, 38eqtrd 2777 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)))
4039eqeq1d 2739 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1 โ†” (expโ€˜-(โ„‘โ€˜๐ด)) = 1))
41 reim0b 15011 . 2 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (โ„‘โ€˜๐ด) = 0))
4211, 40, 413bitr4rd 312 1 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โ†” (absโ€˜(expโ€˜(i ยท ๐ด))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059  ici 11060   + caddc 11061   ยท cmul 11063  -cneg 11393  โ„œcre 14989  โ„‘cim 14990  abscabs 15126  expce 15951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-rp 12923  df-ico 13277  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960
This theorem is referenced by:  sineq0  25896  sineq0ALT  43293
  Copyright terms: Public domain W3C validator