Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 15613
 Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 15506 . . . . 5 (exp‘0) = 1
21eqeq2i 2772 . . . 4 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1)
3 imcl 14532 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43renegcld 11119 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5 0re 10695 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6 reef11 15534 . . . . 5 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
74, 5, 6sylancl 589 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
82, 7bitr3id 288 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
93recnd 10721 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
109negeq0d 11041 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
118, 10bitr4d 285 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12 ax-icn 10648 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 mulcl 10673 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15 absef 15612 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
17 recl 14531 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 10721 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
19 mulcl 10673 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2012, 9, 19sylancr 590 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
21 replim 14537 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2218, 20, 21comraddd 10906 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
2322oveq2d 7173 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))))
24 adddi 10678 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
2512, 20, 18, 24mp3an2i 1464 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
26 ixi 11321 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
2726oveq1i 7167 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
28 mulass 10677 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
2912, 12, 9, 28mp3an12i 1463 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
309mulm1d 11144 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3127, 29, 303eqtr3a 2818 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
3231oveq1d 7172 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3325, 32eqtrd 2794 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3423, 33eqtrd 2794 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3534fveq2d 6668 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))))
364, 17crred 14652 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
3735, 36eqtrd 2794 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3837fveq2d 6668 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
3916, 38eqtrd 2794 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4039eqeq1d 2761 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1 ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1))
41 reim0b 14540 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4211, 40, 413bitr4rd 315 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  ℂcc 10587  ℝcr 10588  0cc0 10589  1c1 10590  ici 10591   + caddc 10592   · cmul 10594  -cneg 10923  ℜcre 14518  ℑcim 14519  abscabs 14655  expce 15477 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-inf2 9151  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666  ax-pre-sup 10667  ax-addf 10668  ax-mulf 10669 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-int 4843  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-isom 6350  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-1o 8119  df-er 8306  df-pm 8426  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-fin 8545  df-sup 8953  df-inf 8954  df-oi 9021  df-card 9415  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-div 11350  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-n0 11949  df-z 12035  df-uz 12297  df-rp 12445  df-ico 12799  df-fz 12954  df-fzo 13097  df-fl 13225  df-seq 13433  df-exp 13494  df-fac 13698  df-bc 13727  df-hash 13755  df-shft 14488  df-cj 14520  df-re 14521  df-im 14522  df-sqrt 14656  df-abs 14657  df-limsup 14890  df-clim 14907  df-rlim 14908  df-sum 15105  df-ef 15483  df-sin 15485  df-cos 15486 This theorem is referenced by:  sineq0  25230  sineq0ALT  42062
 Copyright terms: Public domain W3C validator