Theorem absefib 16290

Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)

Assertion

Ref	Expression
absefib	⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

Proof of Theorem absefib

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ef0 16181	. . . . 5 ⊢ (exp‘0) = 1
2	1	eqeq2i 2775	. . . 4 ⊢ ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1)
3		imcl 15200	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
4	3	renegcld 11668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5		0re 11237	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
6		reef11 16211	. . . . 5 ⊢ ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
7	4, 5, 6	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
8	2, 7	bitr3id 288	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
9	3	recnd 11264	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
10	9	negeq0d 11588	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
11	8, 10	bitr4d 285	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12		ax-icn 11186	. . . . . 6 ⊢ i ∈ ℂ
13		mulcl 11211	. . . . . 6 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
14	12, 13	mpan 703	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15		absef 16289	. . . . 5 ⊢ ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
16	14, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
17		recl 15199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
18	17	recnd 11264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
19		mulcl 11211	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
20	12, 9, 19	sylancr 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
21		replim 15205	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
22	18, 20, 21	comraddd 11451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
23	22	oveq2d 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))))
24		adddi 11216	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
25	12, 20, 18, 24	mp3an2i 1495	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
26		ixi 11870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (i · i) = -1
27	26	oveq1i 7426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
28		mulass 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
29	12, 12, 9, 28	mp3an12i 1494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
30	9	mulm1d 11693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
31	27, 29, 30	3eqtr3a 2821	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
32	31	oveq1d 7431	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
33	25, 32	eqtrd 2797	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
34	23, 33	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
35	34	fveq2d 6886	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))))
36	4, 17	crred 15320	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
37	35, 36	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
38	37	fveq2d 6886	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
39	16, 38	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
40	39	eqeq1d 2764	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1 ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1))
41		reim0b 15208	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
42	11, 40, 41	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128  ici 11129   + caddc 11130   · cmul 11132  -cneg 11469  ℜcre 15186  ℑcim 15187  abscabs 15323  expce 16151

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-inf2 9623  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-pm 8832  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-z 12619  df-uz 12891  df-rp 13045  df-ico 13406  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-fl 13855  df-seq 14068  df-exp 14128  df-fac 14340  df-bc 14369  df-hash 14397  df-shft 15142  df-cj 15188  df-re 15189  df-im 15190  df-sqrt 15324  df-abs 15325  df-limsup 15560  df-clim 15577  df-rlim 15578  df-sum 15776  df-ef 16157  df-sin 16159  df-cos 16160

This theorem is used by:  sineq0  26762  sineq0ALT  45761