MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  absefib Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem absefib 15546
Description: A complex number is real iff the exponential of its product with i has absolute value one. (Contributed by NM, 21-Aug-2008.)
Assertion
Ref Expression
absefib (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))

Proof of Theorem absefib
StepHypRef Expression
1 ef0 15439 . . . . 5 (exp‘0) = 1
21eqeq2i 2839 . . . 4 ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1)
3 imcl 14465 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
43renegcld 11061 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → -(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ)
5 0re 10637 . . . . 5 0 ∈ ℝ
6 reef11 15467 . . . . 5 ((-(ℑ‘𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
74, 5, 6sylancl 586 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = (exp‘0) ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
82, 7syl5bbr 286 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
93recnd 10663 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ)
109negeq0d 10983 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → ((ℑ‘𝐴) = 0 ↔ -(ℑ‘𝐴) = 0))
118, 10bitr4d 283 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1 ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
12 ax-icn 10590 . . . . . 6 i ∈ ℂ
13 mulcl 10615 . . . . . 6 ((i ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
1412, 13mpan 686 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) ∈ ℂ)
15 absef 15545 . . . . 5 ((i · 𝐴) ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
1614, 15syl 17 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))))
17 recl 14464 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℝ)
1817recnd 10663 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ)
19 mulcl 10615 . . . . . . . . . . 11 ((i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
2012, 9, 19sylancr 587 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ)
21 replim 14470 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((ℜ‘𝐴) + (i · (ℑ‘𝐴))))
2218, 20, 21comraddd 10848 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → 𝐴 = ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴)))
2322oveq2d 7166 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))))
24 adddi 10620 . . . . . . . . . 10 ((i ∈ ℂ ∧ (i · (ℑ‘𝐴)) ∈ ℂ ∧ (ℜ‘𝐴) ∈ ℂ) → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
2512, 20, 18, 24mp3an2i 1459 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))))
26 ixi 11263 . . . . . . . . . . . 12 (i · i) = -1
2726oveq1i 7160 . . . . . . . . . . 11 ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (-1 · (ℑ‘𝐴))
28 mulass 10619 . . . . . . . . . . . 12 ((i ∈ ℂ ∧ i ∈ ℂ ∧ (ℑ‘𝐴) ∈ ℂ) → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
2912, 12, 9, 28mp3an12i 1458 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · i) · (ℑ‘𝐴)) = (i · (i · (ℑ‘𝐴))))
309mulm1d 11086 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ ℂ → (-1 · (ℑ‘𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3127, 29, 303eqtr3a 2885 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ ℂ → (i · (i · (ℑ‘𝐴))) = -(ℑ‘𝐴))
3231oveq1d 7165 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → ((i · (i · (ℑ‘𝐴))) + (i · (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3325, 32eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℂ → (i · ((i · (ℑ‘𝐴)) + (ℜ‘𝐴))) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3423, 33eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ ℂ → (i · 𝐴) = (-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴))))
3534fveq2d 6673 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))))
364, 17crred 14585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(-(ℑ‘𝐴) + (i · (ℜ‘𝐴)))) = -(ℑ‘𝐴))
3735, 36eqtrd 2861 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℂ → (ℜ‘(i · 𝐴)) = -(ℑ‘𝐴))
3837fveq2d 6673 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (exp‘(ℜ‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
3916, 38eqtrd 2861 . . 3 (𝐴 ∈ ℂ → (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = (exp‘-(ℑ‘𝐴)))
4039eqeq1d 2828 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → ((abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1 ↔ (exp‘-(ℑ‘𝐴)) = 1))
41 reim0b 14473 . 2 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (ℑ‘𝐴) = 0))
4211, 40, 413bitr4rd 313 1 (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (abs‘(exp‘(i · 𝐴))) = 1))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207   = wceq 1530  wcel 2107  cfv 6354  (class class class)co 7150  cc 10529  cr 10530  0cc0 10531  1c1 10532  ici 10533   + caddc 10534   · cmul 10536  -cneg 10865  cre 14451  cim 14452  abscabs 14588  expce 15410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-inf2 9098  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8284  df-pm 8404  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-rp 12385  df-ico 12739  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-seq 13365  df-exp 13425  df-fac 13629  df-bc 13658  df-hash 13686  df-shft 14421  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-limsup 14823  df-clim 14840  df-rlim 14841  df-sum 15038  df-ef 15416  df-sin 15418  df-cos 15419
This theorem is referenced by:  sineq0  25043  sineq0ALT  41155
  Copyright terms: Public domain W3C validator