MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe11 25520
Description: The coefficient function is one-to-one, so if the coefficients are equal then the functions are equal and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coe11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐴 = 𝐡))

Proof of Theorem coe11
Dummy variables π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6825 . . 3 (𝐹 = 𝐺 β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΊ))
2 coefv0.1 . . 3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
3 coeadd.2 . . 3 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
41, 2, 33eqtr4g 2801 . 2 (𝐹 = 𝐺 β†’ 𝐴 = 𝐡)
5 simp3 1137 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
65cnveqd 5817 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ◑𝐴 = ◑𝐡)
76imaeq1d 5998 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = (◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
87supeq1d 9303 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
92dgrval 25495 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
1093ad2ant1 1132 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
113dgrval 25495 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
12113ad2ant2 1133 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΊ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
138, 10, 123eqtr4d 2786 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΊ))
1413oveq2d 7353 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) = (0...(degβ€˜πΊ)))
15 simpl3 1192 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐴 = 𝐡)
1615fveq1d 6827 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1716oveq1d 7352 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1814, 17sumeq12dv 15517 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1918mpteq2dv 5194 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
20 eqid 2736 . . . . . 6 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
212, 20coeid 25505 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
22213ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
23 eqid 2736 . . . . . 6 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
243, 23coeid 25505 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
25243ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2619, 22, 253eqtr4d 2786 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐹 = 𝐺)
27263expia 1120 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐹 = 𝐺))
284, 27impbid2 225 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3895  {csn 4573   ↦ cmpt 5175  β—‘ccnv 5619   β€œ cima 5623  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  supcsup 9297  β„‚cc 10970  0cc0 10972   Β· cmul 10977   < clt 11110  β„•0cn0 12334  ...cfz 13340  β†‘cexp 13883  Ξ£csu 15496  Polycply 25451  coeffccoe 25453  degcdgr 25454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-inf2 9498  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-isom 6488  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-pm 8689  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-oi 9367  df-card 9796  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fzo 13484  df-fl 13613  df-seq 13823  df-exp 13884  df-hash 14146  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-clim 15296  df-rlim 15297  df-sum 15497  df-0p 24940  df-ply 25455  df-coe 25457  df-dgr 25458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator