MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe11 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe11 25767
Description: The coefficient function is one-to-one, so if the coefficients are equal then the functions are equal and vice-versa. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 23-Aug-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
coefv0.1 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
coeadd.2 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
Assertion
Ref Expression
coe11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐴 = 𝐡))
Proof of Theorem coe11
Dummy variables π‘˜ 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6892 . . 3 (𝐹 = 𝐺 β†’ (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΊ))
2 coefv0.1 . . 3 𝐴 = (coeffβ€˜πΉ)
3 coeadd.2 . . 3 𝐡 = (coeffβ€˜πΊ)
41, 2, 33eqtr4g 2798 . 2 (𝐹 = 𝐺 β†’ 𝐴 = 𝐡)
5 simp3 1139 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐴 = 𝐡)
65cnveqd 5876 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ ◑𝐴 = ◑𝐡)
76imaeq1d 6059 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})) = (◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})))
87supeq1d 9441 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
92dgrval 25742 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
1093ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((◑𝐴 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
113dgrval 25742 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΊ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
12113ad2ant2 1135 . . . . . . . 8 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΊ) = sup((◑𝐡 β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
138, 10, 123eqtr4d 2783 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΊ))
1413oveq2d 7425 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (0...(degβ€˜πΉ)) = (0...(degβ€˜πΊ)))
15 simpl3 1194 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ 𝐴 = 𝐡)
1615fveq1d 6894 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (π΅β€˜π‘˜))
1716oveq1d 7424 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))) β†’ ((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = ((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1814, 17sumeq12dv 15652 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)) = Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜)))
1918mpteq2dv 5251 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))) = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
20 eqid 2733 . . . . . 6 (degβ€˜πΉ) = (degβ€˜πΉ)
212, 20coeid 25752 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
22213ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΉ))((π΄β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
23 eqid 2733 . . . . . 6 (degβ€˜πΊ) = (degβ€˜πΊ)
243, 23coeid 25752 . . . . 5 (𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
25243ad2ant2 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ β„‚ ↦ Ξ£π‘˜ ∈ (0...(degβ€˜πΊ))((π΅β€˜π‘˜) Β· (π‘§β†‘π‘˜))))
2619, 22, 253eqtr4d 2783 . . 3 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐴 = 𝐡) β†’ 𝐹 = 𝐺)
27263expia 1122 . 2 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐴 = 𝐡 β†’ 𝐹 = 𝐺))
284, 27impbid2 225 1 ((𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) ∧ 𝐺 ∈ (Polyβ€˜π‘†)) β†’ (𝐹 = 𝐺 ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3946  {csn 4629   ↦ cmpt 5232  β—‘ccnv 5676   β€œ cima 5680  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  supcsup 9435  β„‚cc 11108  0cc0 11110   Β· cmul 11115   < clt 11248  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  β†‘cexp 14027  Ξ£csu 15632  Polycply 25698  coeffccoe 25700  degcdgr 25701
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187  df-ply 25702  df-coe 25704  df-dgr 25705
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator