Theorem dgrcl 26198

Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrcl	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2	1	dgrval 26193	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3		nn0ssre 12441	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
4		ltso 11226	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5559	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8		0zd 12536	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9		cnvimass 6047	. . . . 5 ⊢ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
10	1	coef 26195	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11	9, 10	fssdm 6687	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
12	1	dgrlem 26194	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
14		nn0uz 12826	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	14	uzsupss 12890	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
17	7, 16	supcl 9371	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
18	2, 17	eqeltrd 2836	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ∃wrex 3061   ∖ cdif 3886   ∪ cun 3887   ⊆ wss 3889  {csn 4567   class class class wbr 5085   Or wor 5538  ^◡ccnv 5630   “ cima 5634  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  supcsup 9353  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038   < clt 11179   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  Polycply 26149  coeffccoe 26151  degcdgr 26152

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-rp 12943  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-seq 13964  df-exp 14024  df-hash 14293  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-0p 25637  df-ply 26153  df-coe 26155  df-dgr 26156

This theorem is referenced by:  dgrub  26199  dgrub2  26200  dgrlb  26201  coeidlem  26202  plyco  26206  dgreq  26209  0dgr  26210  dgrnznn  26212  coefv0  26213  coeaddlem  26214  coemullem  26215  coemulhi  26219  dgreq0  26230  dgrlt  26231  dgradd2  26233  dgrmul  26235  dgrmulc  26236  dgrcolem2  26239  dgrco  26240  plycj  26242  coecj  26243  plycjOLD  26244  coecjOLD  26245  plymul0or  26247  dvply2g  26251  plydivlem3  26261  plydivlem4  26262  plydivex  26263  plydiveu  26264  plyrem  26271  fta1lem  26273  fta1  26274  quotcan  26275  vieta1lem1  26276  vieta1lem2  26277  elqaalem2  26286  elqaalem3  26287  aareccl  26292  aannenlem1  26294  aannenlem2  26295  aalioulem1  26298  aaliou2  26306  taylply2  26333  signsplypnf  34694  signsply0  34695  dgraa0p  43577  mpaaeu  43578  elaa2lem  46661  etransclem46  46708  etransclem47  46709  etransclem48  46710  cjnpoly  47337