Theorem dgrcl 26154

Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrcl	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2727	. . 3 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2	1	dgrval 26149	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3		nn0ssre 12498	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
4		ltso 11316	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5604	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8		0zd 12592	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9		cnvimass 6079	. . . . 5 ⊢ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
10	1	coef 26151	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11	9, 10	fssdm 6736	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
12	1	dgrlem 26150	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
13	12	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
14		nn0uz 12886	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	14	uzsupss 12946	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
17	7, 16	supcl 9473	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
18	2, 17	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2099  ∀wral 3056  ∃wrex 3065   ∖ cdif 3941   ∪ cun 3942   ⊆ wss 3944  {csn 4624   class class class wbr 5142   Or wor 5583  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  supcsup 9455  ℂcc 11128  ℝcr 11129  0cc0 11130   < clt 11270   ≤ cle 11271  ℕ₀cn0 12494  ℤcz 12580  Polycply 26105  coeffccoe 26107  degcdgr 26108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-rp 12999  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-seq 13991  df-exp 14051  df-hash 14314  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-0p 25586  df-ply 26109  df-coe 26111  df-dgr 26112

This theorem is referenced by:  dgrub  26155  dgrub2  26156  dgrlb  26157  coeidlem  26158  plyco  26162  dgreq  26165  0dgr  26166  dgrnznn  26168  coefv0  26169  coeaddlem  26170  coemullem  26171  coemulhi  26175  dgreq0  26187  dgrlt  26188  dgradd2  26190  dgrmul  26192  dgrmulc  26193  dgrcolem2  26196  dgrco  26197  plycj  26199  coecj  26200  plymul0or  26202  dvply2g  26206  dvply2gOLD  26207  plydivlem3  26217  plydivlem4  26218  plydivex  26219  plydiveu  26220  plyrem  26227  fta1lem  26229  fta1  26230  quotcan  26231  vieta1lem1  26232  vieta1lem2  26233  elqaalem2  26242  elqaalem3  26243  aareccl  26248  aannenlem1  26250  aannenlem2  26251  aalioulem1  26254  aaliou2  26262  taylply2  26289  taylply2OLD  26290  signsplypnf  34118  signsply0  34119  dgraa0p  42495  mpaaeu  42496  elaa2lem  45544  etransclem46  45591  etransclem47  45592  etransclem48  45593