Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dgrcl 24740
 Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2825 . . 3 (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
21dgrval 24735 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup(((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3 nn0ssre 11893 . . . . 5 0 ⊆ ℝ
4 ltso 10713 . . . . 5 < Or ℝ
5 soss 5491 . . . . 5 (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
63, 4, 5mp2 9 . . . 4 < Or ℕ0
76a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8 0zd 11985 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9 cnvimass 5946 . . . . 5 ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
101coef 24737 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
119, 10fssdm 6526 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
121dgrlem 24736 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛))
1312simprd 496 . . . 4 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛)
14 nn0uz 12272 . . . . 5 0 = (ℤ‘0)
1514uzsupss 12332 . . . 4 ((0 ∈ ℤ ∧ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
168, 11, 13, 15syl3anc 1365 . . 3 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ ((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
177, 16supcl 8914 . 2 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup(((coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
182, 17eqeltrd 2917 1 (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  ∃wrex 3143   ∖ cdif 3936   ∪ cun 3937   ⊆ wss 3939  {csn 4563   class class class wbr 5062   Or wor 5471  ◡ccnv 5552   “ cima 5556  ⟶wf 6347  ‘cfv 6351  supcsup 8896  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529   < clt 10667   ≤ cle 10668  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  Polycply 24691  coeffccoe 24693  degcdgr 24694 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-13 2385  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-inf2 9096  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606  ax-pre-sup 10607  ax-addf 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-sup 8898  df-inf 8899  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-rp 12383  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-fl 13155  df-seq 13363  df-exp 13423  df-hash 13684  df-cj 14451  df-re 14452  df-im 14453  df-sqrt 14587  df-abs 14588  df-clim 14838  df-rlim 14839  df-sum 15036  df-0p 24188  df-ply 24695  df-coe 24697  df-dgr 24698 This theorem is referenced by:  dgrub  24741  dgrub2  24742  dgrlb  24743  coeidlem  24744  plyco  24748  dgreq  24751  0dgr  24752  dgrnznn  24754  coefv0  24755  coeaddlem  24756  coemullem  24757  coemulhi  24761  dgreq0  24772  dgrlt  24773  dgradd2  24775  dgrmul  24777  dgrmulc  24778  dgrcolem2  24781  dgrco  24782  plycj  24784  coecj  24785  plymul0or  24787  dvply2g  24791  plydivlem3  24801  plydivlem4  24802  plydivex  24803  plydiveu  24804  plyrem  24811  fta1lem  24813  fta1  24814  quotcan  24815  vieta1lem1  24816  vieta1lem2  24817  elqaalem2  24826  elqaalem3  24827  aareccl  24832  aannenlem1  24834  aannenlem2  24835  aalioulem1  24838  aaliou2  24846  taylply2  24873  signsplypnf  31708  signsply0  31709  dgraa0p  39616  mpaaeu  39617  elaa2lem  42386  etransclem46  42433  etransclem47  42434  etransclem48  42435
 Copyright terms: Public domain W3C validator