MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dgrcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem dgrcl 25971
Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
dgrcl (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
Proof of Theorem dgrcl
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2732 . . 3 (coeffβ€˜πΉ) = (coeffβ€˜πΉ)
21dgrval 25966 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) = sup((β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ))
3 nn0ssre 12480 . . . . 5 β„•0 βŠ† ℝ
4 ltso 11298 . . . . 5 < Or ℝ
5 soss 5608 . . . . 5 (β„•0 βŠ† ℝ β†’ ( < Or ℝ β†’ < Or β„•0))
63, 4, 5mp2 9 . . . 4 < Or β„•0
76a1i 11 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ < Or β„•0)
8 0zd 12574 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ 0 ∈ β„€)
9 cnvimass 6080 . . . . 5 (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† dom (coeffβ€˜πΉ)
101coef 25968 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}))
119, 10fssdm 6737 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0)
121dgrlem 25967 . . . . 5 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ ((coeffβ€˜πΉ):β„•0⟢(𝑆 βˆͺ {0}) ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛))
1312simprd 496 . . . 4 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛)
14 nn0uz 12868 . . . . 5 β„•0 = (β„€β‰₯β€˜0)
1514uzsupss 12928 . . . 4 ((0 ∈ β„€ ∧ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) βŠ† β„•0 ∧ βˆƒπ‘› ∈ β„€ βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ ≀ 𝑛) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
168, 11, 13, 15syl3anc 1371 . . 3 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„•0 (βˆ€π‘₯ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})) Β¬ 𝑛 < π‘₯ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ β„•0 (π‘₯ < 𝑛 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0}))π‘₯ < 𝑦)))
177, 16supcl 9455 . 2 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ sup((β—‘(coeffβ€˜πΉ) β€œ (β„‚ βˆ– {0})), β„•0, < ) ∈ β„•0)
182, 17eqeltrd 2833 1 (𝐹 ∈ (Polyβ€˜π‘†) β†’ (degβ€˜πΉ) ∈ β„•0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   Or wor 5587  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  supcsup 9437  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   < clt 11252   ≀ cle 11253  β„•0cn0 12476  β„€cz 12562  Polycply 25922  coeffccoe 25924  degcdgr 25925
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411  df-ply 25926  df-coe 25928  df-dgr 25929
This theorem is referenced by:  dgrub  25972  dgrub2  25973  dgrlb  25974  coeidlem  25975  plyco  25979  dgreq  25982  0dgr  25983  dgrnznn  25985  coefv0  25986  coeaddlem  25987  coemullem  25988  coemulhi  25992  dgreq0  26003  dgrlt  26004  dgradd2  26006  dgrmul  26008  dgrmulc  26009  dgrcolem2  26012  dgrco  26013  plycj  26015  coecj  26016  plymul0or  26018  dvply2g  26022  plydivlem3  26032  plydivlem4  26033  plydivex  26034  plydiveu  26035  plyrem  26042  fta1lem  26044  fta1  26045  quotcan  26046  vieta1lem1  26047  vieta1lem2  26048  elqaalem2  26057  elqaalem3  26058  aareccl  26063  aannenlem1  26065  aannenlem2  26066  aalioulem1  26069  aaliou2  26077  taylply2  26104  signsplypnf  33847  signsply0  33848  dgraa0p  42193  mpaaeu  42194  elaa2lem  45248  etransclem46  45295  etransclem47  45296  etransclem48  45297
  Copyright terms: Public domain W3C validator