Theorem dgrcl 26532

Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrcl	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2	1	dgrval 26527	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3		nn0ssre 12591	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
4		ltso 11371	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5579	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8		0zd 12686	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9		cnvimass 6076	. . . . 5 ⊢ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
10	1	coef 26529	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11	9, 10	fssdm 6721	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
12	1	dgrlem 26528	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
13	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
14		nn0uz 12984	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	14	uzsupss 13048	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
17	7, 16	supcl 9434	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
18	2, 17	eqeltrd 2861	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  ∃wrex 3087   ∖ cdif 3896   ∪ cun 3897   ⊆ wss 3899  {csn 4584   class class class wbr 5103   Or wor 5558  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  supcsup 9416  ℂcc 11179  ℝcr 11180  0cc0 11181   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕ₀cn0 12587  ℤcz 12674  Polycply 26482  coeffccoe 26484  degcdgr 26485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-inf2 9626  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-pre-sup 11259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-pm 8834  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9418  df-inf 9419  df-oi 9488  df-card 10001  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-div 11955  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-rp 13102  df-fz 13621  df-fzo 13769  df-fl 13912  df-seq 14125  df-exp 14185  df-hash 14455  df-cj 15246  df-re 15247  df-im 15248  df-sqrt 15382  df-abs 15383  df-clim 15635  df-rlim 15636  df-sum 15834  df-0p 25971  df-ply 26486  df-coe 26488  df-dgr 26489

This theorem is used by:  dgrub  26533  dgrub2  26534  dgrlb  26535  coeidlem  26536  plyco  26540  dgreq  26543  0dgr  26544  dgrnznn  26546  coefv0  26547  coeaddlem  26548  coemullem  26549  coemulhi  26553  dgreq0  26564  dgrlt  26565  dgradd2  26567  dgrmul  26569  dgrmulc  26570  dgrcolem2  26573  dgrco  26574  plycj  26576  coecj  26577  plycjOLD  26578  coecjOLD  26579  plymul0or  26581  dvply2g  26588  plydivlem3  26598  plydivlem4  26599  plydivex  26600  plydiveu  26601  plyrem  26608  fta1lem  26610  fta1  26611  quotcan  26614  vieta1lem1  26615  vieta1lem2  26616  elqaalem2  26625  elqaalem3  26626  aareccl  26635  aannenlem1  26637  aannenlem2  26638  aalioulem1  26641  aaliou2  26649  taylply2  26677  signsplypnf  35162  signsply0  35163  dgraa0p  44109  mpaaeu  44110  elaa2lem  47187  etransclem46  47234  etransclem47  47235  etransclem48  47236  cjnpoly  47883  sqrtnpoly  47887