Theorem dgrcl 26466

Description: The degree of any polynomial is a nonnegative integer. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Assertion

Ref	Expression
dgrcl	⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

Proof of Theorem dgrcl

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (coeff‘𝐹) = (coeff‘𝐹)
2	1	dgrval 26461	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) = sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ))
3		nn0ssre 12536	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ⊆ ℝ
4		ltso 11318	. . . . 5 ⊢ < Or ℝ
5		soss 5587	. . . . 5 ⊢ (ℕ0 ⊆ ℝ → ( < Or ℝ → < Or ℕ0))
6	3, 4, 5	mp2 9	. . . 4 ⊢ < Or ℕ0
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → < Or ℕ0)
8		0zd 12631	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → 0 ∈ ℤ)
9		cnvimass 6082	. . . . 5 ⊢ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ dom (coeff‘𝐹)
10	1	coef 26463	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
11	9, 10	fssdm 6726	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0)
12	1	dgrlem 26462	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ((coeff‘𝐹):ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛))
13	12	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛)
14		nn0uz 12929	. . . . 5 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥‘0)
15	14	uzsupss 12993	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ ℕ0 ∧ ∃𝑛 ∈ ℤ ∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 ≤ 𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
16	8, 11, 13, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → ∃𝑛 ∈ ℕ0 (∀𝑥 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})) ¬ 𝑛 < 𝑥 ∧ ∀𝑥 ∈ ℕ0 (𝑥 < 𝑛 → ∃𝑦 ∈ (◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0}))𝑥 < 𝑦)))
17	7, 16	supcl 9432	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → sup((◡(coeff‘𝐹) “ (ℂ ∖ {0})), ℕ0, < ) ∈ ℕ0)
18	2, 17	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝐹 ∈ (Poly‘𝑆) → (deg‘𝐹) ∈ ℕ0)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   Or wor 5566  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  supcsup 9414  ℂcc 11126  ℝcr 11127  0cc0 11128   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕ₀cn0 12532  ℤcz 12619  Polycply 26416  coeffccoe 26418  degcdgr 26419

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-card 9948  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-rp 13047  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-0p 25904  df-ply 26420  df-coe 26422  df-dgr 26423

This theorem is used by:  dgrub  26467  dgrub2  26468  dgrlb  26469  coeidlem  26470  plyco  26474  dgreq  26477  0dgr  26478  dgrnznn  26480  coefv0  26481  coeaddlem  26482  coemullem  26483  coemulhi  26487  dgreq0  26498  dgrlt  26499  dgradd2  26501  dgrmul  26503  dgrmulc  26504  dgrcolem2  26507  dgrco  26508  plycj  26510  coecj  26511  plycjOLD  26512  coecjOLD  26513  plymul0or  26515  dvply2g  26522  plydivlem3  26532  plydivlem4  26533  plydivex  26534  plydiveu  26535  plyrem  26542  fta1lem  26544  fta1  26545  quotcan  26548  vieta1lem1  26549  vieta1lem2  26550  elqaalem2  26559  elqaalem3  26560  aareccl  26569  aannenlem1  26571  aannenlem2  26572  aalioulem1  26575  aaliou2  26583  taylply2  26611  signsplypnf  35066  signsply0  35067  dgraa0p  43998  mpaaeu  43999  elaa2lem  47069  etransclem46  47116  etransclem47  47117  etransclem48  47118  cjnpoly  47765  sqrtnpoly  47769