MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqoddm1div8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqoddm1div8 14153
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 7369 . . . . . 6 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2))
2 2z 12542 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53, 4zmulcld 12620 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12615 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7 binom21 14129 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2799 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
109oveq1d 7377 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) = (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1))
11 2cnd 12238 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12511 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1311, 12sqmuld 14070 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
14 sq2 14108 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2โ†‘2) = 4)
1615oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) = (4 ยท (๐‘โ†‘2)))
1713, 16eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = (4 ยท (๐‘โ†‘2)))
18 mulass 11146 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐‘) = (2 ยท (2 ยท ๐‘)))
1918eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท 2) ยท ๐‘))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท 2) ยท ๐‘))
21 2t2e4 12324 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 2) = 4
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 2) = 4)
2322oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐‘) = (4 ยท ๐‘))
2420, 23eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = (4 ยท ๐‘))
2517, 24oveq12d 7380 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
2625oveq1d 7377 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) = (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1))
2726oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1))
28 4z 12544 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
30 zsqcl 14041 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12615 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3329, 4zmulcld 12620 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3433zcnd 12615 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3532, 34addcld 11181 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
36 pncan1 11586 . . . . . . 7 (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3827, 37eqtrd 2777 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3938adantr 482 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4010, 39eqtrd 2777 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4140oveq1d 7377 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8))
42 4cn 12245 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
4342a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
4430zcnd 12615 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44, 12adddid 11186 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4645eqcomd 2743 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) = (4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)))
4746oveq1d 7377 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8))
4847adantr 482 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8))
49 4t2e8 12328 . . . . . . 7 (4 ยท 2) = 8
5049a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท 2) = 8)
5150eqcomd 2743 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 = (4 ยท 2))
5251oveq2d 7378 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)))
5330, 4zaddcld 12618 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5453zcnd 12615 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
55 2cnne0 12370 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5655a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
57 4ne0 12268 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5842, 57pm3.2i 472 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
5958a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
60 divcan5 11864 . . . . 5 ((((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1372 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6212sqvald 14055 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
6362oveq1d 7377 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + ๐‘))
6412mulid1d 11179 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
6564eqcomd 2743 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
6665oveq2d 7378 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)))
67 1cnd 11157 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
68 adddi 11147 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ + 1)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)))
6968eqcomd 2743 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7012, 12, 67, 69syl3anc 1372 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7163, 66, 703eqtrd 2781 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7271oveq1d 7377 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7352, 61, 723eqtrd 2781 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7473adantr 482 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7541, 48, 743eqtrd 2781 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   โˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  2c2 12215  4c4 12217  8c8 12221  โ„คcz 12506  โ†‘cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  16243
  Copyright terms: Public domain W3C validator