MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sqoddm1div8 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sqoddm1div8 14208
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2))
2 2z 12596 . . . . . . . . . 10 2 โˆˆ โ„ค
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„ค)
4 id 22 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„ค)
53, 4zmulcld 12674 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
65zcnd 12669 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
7 binom21 14184 . . . . . . 7 ((2 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚ โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘) + 1)โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2794 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (๐‘€โ†‘2) = ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1))
109oveq1d 7426 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) = (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1))
11 2cnd 12292 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
12 zcn 12565 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
1311, 12sqmuld 14125 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)))
14 sq2 14163 . . . . . . . . . . . 12 (2โ†‘2) = 4
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2โ†‘2) = 4)
1615oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2โ†‘2) ยท (๐‘โ†‘2)) = (4 ยท (๐‘โ†‘2)))
1713, 16eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท ๐‘)โ†‘2) = (4 ยท (๐‘โ†‘2)))
18 mulass 11200 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐‘) = (2 ยท (2 ยท ๐‘)))
1918eqcomd 2738 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚) โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท 2) ยท ๐‘))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = ((2 ยท 2) ยท ๐‘))
21 2t2e4 12378 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 2) = 4
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท 2) = 4)
2322oveq1d 7426 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((2 ยท 2) ยท ๐‘) = (4 ยท ๐‘))
2420, 23eqtrd 2772 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 ยท (2 ยท ๐‘)) = (4 ยท ๐‘))
2517, 24oveq12d 7429 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
2625oveq1d 7426 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) = (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1))
2726oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1))
28 4z 12598 . . . . . . . . . . 11 4 โˆˆ โ„ค
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
30 zsqcl 14096 . . . . . . . . . 10 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„ค)
3129, 30zmulcld 12674 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„ค)
3231zcnd 12669 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท (๐‘โ†‘2)) โˆˆ โ„‚)
3329, 4zmulcld 12674 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ๐‘) โˆˆ โ„ค)
3433zcnd 12669 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ๐‘) โˆˆ โ„‚)
3532, 34addcld 11235 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚)
36 pncan1 11640 . . . . . . 7 (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) โˆˆ โ„‚ โ†’ ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3827, 37eqtrd 2772 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
3938adantr 481 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((((2 ยท ๐‘)โ†‘2) + (2 ยท (2 ยท ๐‘))) + 1) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4010, 39eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4140oveq1d 7426 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8))
42 4cn 12299 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„‚
4342a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 4 โˆˆ โ„‚)
4430zcnd 12669 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) โˆˆ โ„‚)
4543, 44, 12adddid 11240 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) = ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)))
4645eqcomd 2738 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) = (4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)))
4746oveq1d 7426 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8))
4847adantr 481 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((4 ยท (๐‘โ†‘2)) + (4 ยท ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8))
49 4t2e8 12382 . . . . . . 7 (4 ยท 2) = 8
5049a1i 11 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 ยท 2) = 8)
5150eqcomd 2738 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 8 = (4 ยท 2))
5251oveq2d 7427 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)))
5330, 4zaddcld 12672 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„ค)
5453zcnd 12669 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„‚)
55 2cnne0 12424 . . . . . 6 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5655a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
57 4ne0 12322 . . . . . . 7 4 โ‰  0
5842, 57pm3.2i 471 . . . . . 6 (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)
5958a1i 11 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0))
60 divcan5 11918 . . . . 5 ((((๐‘โ†‘2) + ๐‘) โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (4 โˆˆ โ„‚ โˆง 4 โ‰  0)) โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1371 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / (4 ยท 2)) = (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2))
6212sqvald 14110 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘โ†‘2) = (๐‘ ยท ๐‘))
6362oveq1d 7426 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + ๐‘))
6412mulridd 11233 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (๐‘ ยท 1) = ๐‘)
6564eqcomd 2738 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ๐‘ = (๐‘ ยท 1))
6665oveq2d 7427 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + ๐‘) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)))
67 1cnd 11211 . . . . . . 7 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ 1 โˆˆ โ„‚)
68 adddi 11201 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐‘ ยท (๐‘ + 1)) = ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)))
6968eqcomd 2738 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚) โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7012, 12, 67, 69syl3anc 1371 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘ ยท ๐‘) + (๐‘ ยท 1)) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7163, 66, 703eqtrd 2776 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((๐‘โ†‘2) + ๐‘) = (๐‘ ยท (๐‘ + 1)))
7271oveq1d 7426 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ (((๐‘โ†‘2) + ๐‘) / 2) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7352, 61, 723eqtrd 2776 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„ค โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7473adantr 481 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ ((4 ยท ((๐‘โ†‘2) + ๐‘)) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
7541, 48, 743eqtrd 2776 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ = ((2 ยท ๐‘) + 1)) โ†’ (((๐‘€โ†‘2) โˆ’ 1) / 8) = ((๐‘ ยท (๐‘ + 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   โˆ’ cmin 11446   / cdiv 11873  2c2 12269  4c4 12271  8c8 12275  โ„คcz 12560  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-seq 13969  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  16299
  Copyright terms: Public domain W3C validator