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Theorem sqoddm1div8 14279
Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
sqoddm1div8 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8
StepHypRef Expression
1 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2 2z 12647 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
32a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
53, 4zmulcld 12726 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
65zcnd 12721 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7 binom21 14255 . . . . . . 7 ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
86, 7syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
91, 8sylan9eqr 2797 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
109oveq1d 7446 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11 2cnd 12342 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12 zcn 12616 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
1311, 12sqmuld 14195 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14 sq2 14233 . . . . . . . . . . . 12 (2↑2) = 4
1514a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
1713, 16eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18 mulass 11241 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
1918eqcomd 2741 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
2011, 11, 12, 19syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21 2t2e4 12428 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 2) = 4
2221a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
2322oveq1d 7446 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
2420, 23eqtrd 2775 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
2517, 24oveq12d 7449 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
2625oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
2726oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28 4z 12649 . . . . . . . . . . 11 4 ∈ ℤ
2928a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30 zsqcl 14166 . . . . . . . . . 10 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
3129, 30zmulcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
3231zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
3329, 4zmulcld 12726 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
3433zcnd 12721 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
3532, 34addcld 11278 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36 pncan1 11685 . . . . . . 7 (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3735, 36syl 17 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3827, 37eqtrd 2775 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
3938adantr 480 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4010, 39eqtrd 2775 . . 3 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4140oveq1d 7446 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42 4cn 12349 . . . . . . 7 4 ∈ ℂ
4342a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
4430zcnd 12721 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
4543, 44, 12adddid 11283 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
4645eqcomd 2741 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
4746oveq1d 7446 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
4847adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49 4t2e8 12432 . . . . . . 7 (4 · 2) = 8
5049a1i 11 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
5150eqcomd 2741 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
5251oveq2d 7447 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
5330, 4zaddcld 12724 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
5453zcnd 12721 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55 2cnne0 12474 . . . . . 6 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5655a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
57 4ne0 12372 . . . . . . 7 4 ≠ 0
5842, 57pm3.2i 470 . . . . . 6 (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
5958a1i 11 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
60 divcan5 11967 . . . . 5 ((((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6154, 56, 59, 60syl3anc 1370 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
6212sqvald 14180 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
6362oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
6412mulridd 11276 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
6564eqcomd 2741 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
6665oveq2d 7447 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
67 1cnd 11254 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
68 adddi 11242 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
6968eqcomd 2741 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7012, 12, 67, 69syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7163, 66, 703eqtrd 2779 . . . . 5 (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
7271oveq1d 7446 . . . 4 (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7352, 61, 723eqtrd 2779 . . 3 (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7473adantr 480 . 2 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
7541, 48, 743eqtrd 2779 1 ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  4c4 12321  8c8 12325  cz 12611  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  16388
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