Theorem sqoddm1div8 14282

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7438	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2		2z 12649	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12723	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		binom21 14258	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
8	6, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
9	1, 8	sylan9eqr 2799	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
10	9	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11		2cnd 12344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12		zcn 12618	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	sqmuld 14198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14		sq2 14236	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
16	15	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
17	13, 16	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18		mulass 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
19	18	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
20	11, 11, 12, 19	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21		2t2e4 12430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
23	22	oveq1d 7446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
24	20, 23	eqtrd 2777	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
25	17, 24	oveq12d 7449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
26	25	oveq1d 7446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
27	26	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28		4z 12651	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30		zsqcl 14169	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
33	29, 4	zmulcld 12728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12723	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
35	32, 34	addcld 11280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36		pncan1 11687	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
37	35, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
38	27, 37	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
39	38	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
40	10, 39	eqtrd 2777	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
41	40	oveq1d 7446	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42		4cn 12351	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 12723	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 12	adddid 11285	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
46	45	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
47	46	oveq1d 7446	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
48	47	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49		4t2e8 12434	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 2) = 8
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
51	50	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
52	51	oveq2d 7447	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
53	30, 4	zaddcld 12726	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12723	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55		2cnne0 12476	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
57		4ne0 12374	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
58	42, 57	pm3.2i 470	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
60		divcan5 11969	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
62	12	sqvald 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
63	62	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
64	12	mulridd 11278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
65	64	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
66	65	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
67		1cnd 11256	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
68		adddi 11244	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
69	68	eqcomd 2743	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
70	12, 12, 67, 69	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
71	63, 66, 70	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
72	71	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
73	52, 61, 72	3eqtrd 2781	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
74	73	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
75	41, 48, 74	3eqtrd 2781	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   − cmin 11492   / cdiv 11920  2c2 12321  4c4 12323  8c8 12327  ℤcz 12613  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  sqoddm1div8z  16391