Theorem sqoddm1div8 14428

Description: A squared odd number minus 1 divided by 8 is the odd number multiplied with its successor divided by 2. (Contributed by AV, 19-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
sqoddm1div8	⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

Proof of Theorem sqoddm1div8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 7458	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1) → (𝑀↑2) = (((2 · 𝑁) + 1)↑2))
2		2z 12768	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℤ
3	2	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℤ)
4		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℤ)
5	3, 4	zmulcld 12849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
6	5	zcnd 12844	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 𝑁) ∈ ℂ)
7		binom21 14404	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 𝑁) ∈ ℂ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
8	6, 7	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁) + 1)↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
9	1, 8	sylan9eqr 2820	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (𝑀↑2) = ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1))
10	9	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1))
11		2cnd 12461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 2 ∈ ℂ)
12		zcn 12738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
13	11, 12	sqmuld 14341	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = ((2↑2) · (𝑁↑2)))
14		sq2 14380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑2) = 4
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2↑2) = 4)
16	15	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2↑2) · (𝑁↑2)) = (4 · (𝑁↑2)))
17	13, 16	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 𝑁)↑2) = (4 · (𝑁↑2)))
18		mulass 11327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((2 · 2) · 𝑁) = (2 · (2 · 𝑁)))
19	18	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
20	11, 11, 12, 19	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = ((2 · 2) · 𝑁))
21		2t2e4 12546	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
22	21	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · 2) = 4)
23	22	oveq1d 7466	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((2 · 2) · 𝑁) = (4 · 𝑁))
24	20, 23	eqtrd 2798	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 · (2 · 𝑁)) = (4 · 𝑁))
25	17, 24	oveq12d 7469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
26	25	oveq1d 7466	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1))
27	26	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1))
28		4z 12770	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 4 ∈ ℤ
29	28	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℤ)
30		zsqcl 14312	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℤ)
31	29, 30	zmulcld 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℤ)
32	31	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · (𝑁↑2)) ∈ ℂ)
33	29, 4	zmulcld 12849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℤ)
34	33	zcnd 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 𝑁) ∈ ℂ)
35	32, 34	addcld 11367	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ)
36		pncan1 11779	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) ∈ ℂ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
37	35, 36	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
38	27, 37	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
39	38	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((((2 · 𝑁)↑2) + (2 · (2 · 𝑁))) + 1) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
40	10, 39	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((𝑀↑2) − 1) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
41	40	oveq1d 7466	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8))
42		4cn 12468	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
43	42	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 4 ∈ ℂ)
44	30	zcnd 12844	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) ∈ ℂ)
45	43, 44, 12	adddid 11372	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) = ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)))
46	45	eqcomd 2769	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) = (4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)))
47	46	oveq1d 7466	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
48	47	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((4 · (𝑁↑2)) + (4 · 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8))
49		4t2e8 12551	. . . . . . 7 ⊢ (4 · 2) = 8
50	49	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 · 2) = 8)
51	50	eqcomd 2769	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 8 = (4 · 2))
52	51	oveq2d 7467	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)))
53	30, 4	zaddcld 12847	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℤ)
54	53	zcnd 12844	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ)
55		2cnne0 12595	. . . . . 6 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
56	55	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
57		4ne0 12494	. . . . . . 7 ⊢ 4 ≠ 0
58	42, 57	pm3.2i 476	. . . . . 6 ⊢ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0))
60		divcan5 12059	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁↑2) + 𝑁) ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (4 ∈ ℂ ∧ 4 ≠ 0)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
61	54, 56, 59, 60	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / (4 · 2)) = (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2))
62	12	sqvald 14326	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁↑2) = (𝑁 · 𝑁))
63	62	oveq1d 7466	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁))
64	12	mulridd 11365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 · 1) = 𝑁)
65	64	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 = (𝑁 · 1))
66	65	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + 𝑁) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
67		1cnd 11341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 1 ∈ ℂ)
68		adddi 11328	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 · (𝑁 + 1)) = ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)))
69	68	eqcomd 2769	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
70	12, 12, 67, 69	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁 · 𝑁) + (𝑁 · 1)) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
71	63, 66, 70	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((𝑁↑2) + 𝑁) = (𝑁 · (𝑁 + 1)))
72	71	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (((𝑁↑2) + 𝑁) / 2) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
73	52, 61, 72	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
74	73	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → ((4 · ((𝑁↑2) + 𝑁)) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))
75	41, 48, 74	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑀 = ((2 · 𝑁) + 1)) → (((𝑀↑2) − 1) / 8) = ((𝑁 · (𝑁 + 1)) / 2))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   − cmin 11580   / cdiv 12013  2c2 12437  4c4 12439  8c8 12443  ℤcz 12733  ↑cexp 14244

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-n0 12647  df-z 12734  df-uz 13006  df-seq 14185  df-exp 14245

This theorem is used by:  sqoddm1div8z  16568