MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 25963
Description: Lemma for basel 25972. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 13141 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 12626 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3 pirp 25351 . . . . 5 π ∈ ℝ+
4 rpmulcl 12609 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancl 589 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6 basel.n . . . . . 6 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7 2nn 11903 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnmulcl 11854 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
97, 8mpan 690 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
109peano2nnd 11847 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
116, 10eqeltrid 2842 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnrpd 12626 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 12611 . . . 4 (((𝐾 · π) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
145, 12, 13syl2anr 600 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1514rpred 12628 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
1614rpgt0d 12631 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
171adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18 nnmulcl 11854 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
1917, 7, 18sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
2019nnred 11845 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
219adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2221nnred 11845 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
2311adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 11845 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
256, 24eqeltrrid 2843 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
2617nncnd 11846 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 2cn 11905 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
28 mulcom 10815 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
2926, 27, 28sylancl 589 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30 elfzle2 13116 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾𝑀)
3130adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾𝑀)
3217nnred 11845 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 nnre 11837 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3433adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 2re 11904 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 2pos 11933 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39 lemul2 11685 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1373 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4131, 40mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
4229, 41eqbrtrd 5075 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
4322ltp1d 11762 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 10990 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
4544, 6breqtrrdi 5095 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
4619nngt0d 11879 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
4723nngt0d 11879 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48 pire 25348 . . . . . 6 π ∈ ℝ
49 remulcl 10814 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
5032, 48, 49sylancl 589 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
515adantl 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5251rpgt0d 12631 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53 ltdiv2 11718 . . . . 5 ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1388 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5545, 54mpbid 235 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56 picn 25349 . . . . 5 π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58 2cnne0 12040 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6017nnne0d 11880 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61 divcan5 11534 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1376 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6355, 62breqtrd 5079 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64 0xr 10880 . . 3 0 ∈ ℝ*
65 rehalfcl 12056 . . . 4 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66 rexr 10879 . . . 4 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
68 elioo2 12976 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
6964, 67, 68mp2an 692 . 2 (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1345 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wne 2940   class class class wbr 5053  (class class class)co 7213  cc 10727  cr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   + caddc 10732   · cmul 10734  *cxr 10866   < clt 10867  cle 10868   / cdiv 11489  cn 11830  2c2 11885  +crp 12586  (,)cioo 12935  ...cfz 13095  πcpi 15628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-iin 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-supp 7904  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-fsupp 8986  df-fi 9027  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xneg 12704  df-xadd 12705  df-xmul 12706  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-fac 13840  df-bc 13869  df-hash 13897  df-shft 14630  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-limsup 15032  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-ef 15629  df-sin 15631  df-cos 15632  df-pi 15634  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-hom 16826  df-cco 16827  df-rest 16927  df-topn 16928  df-0g 16946  df-gsum 16947  df-topgen 16948  df-pt 16949  df-prds 16952  df-xrs 17007  df-qtop 17012  df-imas 17013  df-xps 17015  df-mre 17089  df-mrc 17090  df-acs 17092  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-mulg 18489  df-cntz 18711  df-cmn 19172  df-psmet 20355  df-xmet 20356  df-met 20357  df-bl 20358  df-mopn 20359  df-fbas 20360  df-fg 20361  df-cnfld 20364  df-top 21791  df-topon 21808  df-topsp 21830  df-bases 21843  df-cld 21916  df-ntr 21917  df-cls 21918  df-nei 21995  df-lp 22033  df-perf 22034  df-cn 22124  df-cnp 22125  df-haus 22212  df-tx 22459  df-hmeo 22652  df-fil 22743  df-fm 22835  df-flim 22836  df-flf 22837  df-xms 23218  df-ms 23219  df-tms 23220  df-cncf 23775  df-limc 24763  df-dv 24764
This theorem is referenced by:  basellem4  25966  basellem8  25970
  Copyright terms: Public domain W3C validator