MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 26564
Description: Lemma for basel 26573. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 13525 . . . . . 6 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
21nnrpd 13009 . . . . 5 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3 pirp 25952 . . . . 5 π ∈ ℝ+
4 rpmulcl 12992 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52, 3, 4sylancl 587 . . . 4 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6 basel.n . . . . . 6 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7 2nn 12280 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
8 nnmulcl 12231 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
97, 8mpan 689 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
109peano2nnd 12224 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
116, 10eqeltrid 2838 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
1211nnrpd 13009 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13 rpdivcl 12994 . . . 4 (((𝐾 · π) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
145, 12, 13syl2anr 598 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
1514rpred 13011 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
1614rpgt0d 13014 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
171adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18 nnmulcl 12231 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
1917, 7, 18sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
2019nnred 12222 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
219adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
2221nnred 12222 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
2311adantr 482 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
2423nnred 12222 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
256, 24eqeltrrid 2839 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
2617nncnd 12223 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27 2cn 12282 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
28 mulcom 11191 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
2926, 27, 28sylancl 587 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30 elfzle2 13500 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾𝑀)
3130adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾𝑀)
3217nnred 12222 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33 nnre 12214 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35 2re 12281 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℝ
36 2pos 12310 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39 lemul2 12062 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
4131, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
4229, 41eqbrtrd 5168 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
4322ltp1d 12139 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 11367 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
4544, 6breqtrrdi 5188 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
4619nngt0d 12256 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
4723nngt0d 12256 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48 pire 25949 . . . . . 6 π ∈ ℝ
49 remulcl 11190 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
5032, 48, 49sylancl 587 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
515adantl 483 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5251rpgt0d 13014 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53 ltdiv2 12095 . . . . 5 ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1387 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
5545, 54mpbid 231 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56 picn 25950 . . . . 5 π ∈ ℂ
5756a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58 2cnne0 12417 . . . . 5 (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
5958a1i 11 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
6017nnne0d 12257 . . . 4 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61 divcan5 11911 . . . 4 ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1375 . . 3 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
6355, 62breqtrd 5172 . 2 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64 0xr 11256 . . 3 0 ∈ ℝ*
65 rehalfcl 12433 . . . 4 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66 rexr 11255 . . . 4 ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (π / 2) ∈ ℝ*
68 elioo2 13360 . . 3 ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
6964, 67, 68mp2an 691 . 2 (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1344 1 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941   class class class wbr 5146  (class class class)co 7403  cc 11103  cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   · cmul 11110  *cxr 11242   < clt 11243  cle 11244   / cdiv 11866  cn 12207  2c2 12262  +crp 12969  (,)cioo 13319  ...cfz 13479  πcpi 16005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-inf2 9631  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-int 4949  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-of 7664  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-supp 8141  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-2o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-pm 8818  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-fi 9401  df-sup 9432  df-inf 9433  df-oi 9500  df-card 9929  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-xneg 13087  df-xadd 13088  df-xmul 13089  df-ioo 13323  df-ioc 13324  df-ico 13325  df-icc 13326  df-fz 13480  df-fzo 13623  df-fl 13752  df-seq 13962  df-exp 14023  df-fac 14229  df-bc 14258  df-hash 14286  df-shft 15009  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-limsup 15410  df-clim 15427  df-rlim 15428  df-sum 15628  df-ef 16006  df-sin 16008  df-cos 16009  df-pi 16011  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-sca 17208  df-vsca 17209  df-ip 17210  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-hom 17216  df-cco 17217  df-rest 17363  df-topn 17364  df-0g 17382  df-gsum 17383  df-topgen 17384  df-pt 17385  df-prds 17388  df-xrs 17443  df-qtop 17448  df-imas 17449  df-xps 17451  df-mre 17525  df-mrc 17526  df-acs 17528  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-submnd 18667  df-mulg 18944  df-cntz 19174  df-cmn 19642  df-psmet 20920  df-xmet 20921  df-met 20922  df-bl 20923  df-mopn 20924  df-fbas 20925  df-fg 20926  df-cnfld 20929  df-top 22377  df-topon 22394  df-topsp 22416  df-bases 22430  df-cld 22504  df-ntr 22505  df-cls 22506  df-nei 22583  df-lp 22621  df-perf 22622  df-cn 22712  df-cnp 22713  df-haus 22800  df-tx 23047  df-hmeo 23240  df-fil 23331  df-fm 23423  df-flim 23424  df-flf 23425  df-xms 23807  df-ms 23808  df-tms 23809  df-cncf 24375  df-limc 25364  df-dv 25365
This theorem is referenced by:  basellem4  26567  basellem8  26571
  Copyright terms: Public domain W3C validator