Theorem basellem1 27138

Description: Lemma for basel 27147. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)

Assertion

Ref	Expression
basellem1	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13589	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13072	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3		pirp 26517	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ+
4		rpmulcl 13055	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6		basel.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7		2nn 12336	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnmulcl 12287	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
9	7, 8	mpan 690	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
10	9	peano2nnd 12280	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
11	6, 10	eqeltrid 2842	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13072	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13057	. . . 4 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
14	5, 12, 13	syl2anr 597	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13074	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
16	14	rpgt0d 13077	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
17	1	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18		nnmulcl 12287	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
19	17, 7, 18	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
21	9	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
22	21	nnred 12278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
23	11	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	6, 24	eqeltrrid 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
26	17	nncnd 12279	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		2cn 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		mulcom 11238	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
29	26, 27, 28	sylancl 586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30		elfzle2 13564	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑀)
31	30	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
32	17	nnred 12278	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		nnre 12270	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		2re 12337	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		2pos 12366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
37	35, 36	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39		lemul2 12117	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
40	32, 34, 38, 39	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
41	31, 40	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
42	29, 41	eqbrtrd 5169	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
43	22	ltp1d 12195	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
44	20, 22, 25, 42, 43	lelttrd 11416	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
45	44, 6	breqtrrdi 5189	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
46	19	nngt0d 12312	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
47	23	nngt0d 12312	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48		pire 26514	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
49		remulcl 11237	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
50	32, 48, 49	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
51	5	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52	51	rpgt0d 13077	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53		ltdiv2 12151	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
54	20, 46, 24, 47, 50, 52, 53	syl222anc 1385	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
55	45, 54	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56		picn 26515	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58		2cnne0 12473	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
60	17	nnne0d 12313	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61		divcan5 11966	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
62	57, 59, 26, 60, 61	syl112anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
63	55, 62	breqtrd 5173	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64		0xr 11305	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
65		rehalfcl 12489	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66		rexr 11304	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67	48, 65, 66	mp2b 10	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
68		elioo2 13424	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
69	64, 67, 68	mp2an 692	. 2 ⊢ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
70	15, 16, 63, 69	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℝcr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  ℝ^*cxr 11291   < clt 11292   ≤ cle 11293   / cdiv 11917  ℕcn 12263  2c2 12318  ℝ⁺crp 13031  (,)cioo 13383  ...cfz 13543  πcpi 16098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916

This theorem is referenced by:  basellem4  27141  basellem8  27145