Theorem basellem1 27441

Description: Lemma for basel 27450. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)

Assertion

Ref	Expression
basellem1	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13717	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13192	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3		pirp 26823	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ+
4		rpmulcl 13175	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6		basel.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7		2nn 12446	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnmulcl 12389	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
9	7, 8	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
10	9	peano2nnd 12382	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
11	6, 10	eqeltrid 2868	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13192	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13177	. . . 4 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
14	5, 12, 13	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13194	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
16	14	rpgt0d 13197	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
17	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18		nnmulcl 12389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
19	17, 7, 18	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
21	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
22	21	nnred 12380	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
23	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12380	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	6, 24	eqeltrrid 2869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
26	17	nncnd 12381	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		2cn 12448	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		mulcom 11316	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30		elfzle2 13691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑀)
31	30	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
32	17	nnred 12380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		nnre 12372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		2re 12447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		2pos 12477	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
37	35, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39		lemul2 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
40	32, 34, 38, 39	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
41	31, 40	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
42	29, 41	eqbrtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
43	22	ltp1d 12277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
44	20, 22, 25, 42, 43	lelttrd 11498	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
45	44, 6	breqtrrdi 5151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
46	19	nngt0d 12417	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
47	23	nngt0d 12417	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48		pire 26816	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
49		remulcl 11315	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
50	32, 48, 49	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
51	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52	51	rpgt0d 13197	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53		ltdiv2 12233	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
54	20, 46, 24, 47, 50, 52, 53	syl222anc 1414	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
55	45, 54	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56		picn 26818	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58		2cnne0 12585	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
60	17	nnne0d 12418	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61		divcan5 12049	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
62	57, 59, 26, 60, 61	syl112anc 1402	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
63	55, 62	breqtrd 5135	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64		0xr 11386	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
65		rehalfcl 12603	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66		rexr 11385	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67	48, 65, 66	mp2b 10	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
68		elioo2 13547	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
69	64, 67, 68	mp2an 705	. 2 ⊢ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
70	15, 16, 63, 69	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   + caddc 11233   · cmul 11235  ℝ^*cxr 11372   < clt 11373   ≤ cle 11374   / cdiv 12003  ℕcn 12365  2c2 12427  ℝ⁺crp 13150  (,)cioo 13506  ...cfz 13669  πcpi 16264

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ioc 13511  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-sin 16267  df-cos 16268  df-pi 16270  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220

This theorem is used by:  basellem4  27444  basellem8  27448