MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 26585
Description: Lemma for basel 26594. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 13530 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
21nnrpd 13014 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3 pirp 25971 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„+
4 rpmulcl 12997 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
52, 3, 4sylancl 587 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
6 basel.n . . . . . 6 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
7 2nn 12285 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
8 nnmulcl 12236 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
97, 8mpan 689 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
109peano2nnd 12229 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
116, 10eqeltrid 2838 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211nnrpd 13014 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
13 rpdivcl 12999 . . . 4 (((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
145, 12, 13syl2anr 598 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1514rpred 13016 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„)
1614rpgt0d 13019 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘))
171adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
18 nnmulcl 12236 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
1917, 7, 18sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
2019nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„)
219adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
2221nnred 12227 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
2311adantr 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2423nnred 12227 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
256, 24eqeltrrid 2839 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„)
2617nncnd 12228 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
27 2cn 12287 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
28 mulcom 11196 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
2926, 27, 28sylancl 587 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
30 elfzle2 13505 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3130adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3217nnred 12227 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
33 nnre 12219 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3433adantr 482 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
35 2re 12286 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
36 2pos 12315 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
39 lemul2 12067 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4131, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4229, 41eqbrtrd 5171 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4322ltp1d 12144 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 11372 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4544, 6breqtrrdi 5191 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ๐‘)
4619nngt0d 12261 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท 2))
4723nngt0d 12261 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ๐‘)
48 pire 25968 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„
49 remulcl 11195 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
5032, 48, 49sylancl 587 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
515adantl 483 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
5251rpgt0d 13019 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท ฯ€))
53 ltdiv2 12100 . . . . 5 ((((๐พ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท 2)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท ฯ€))) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1387 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5545, 54mpbid 231 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)))
56 picn 25969 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
58 2cnne0 12422 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5958a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
6017nnne0d 12262 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰  0)
61 divcan5 11916 . . . 4 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1375 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6355, 62breqtrd 5175 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))
64 0xr 11261 . . 3 0 โˆˆ โ„*
65 rehalfcl 12438 . . . 4 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„)
66 rexr 11260 . . . 4 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
68 elioo2 13365 . . 3 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))))
6964, 67, 68mp2an 691 . 2 (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1344 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115  โ„*cxr 11247   < clt 11248   โ‰ค cle 11249   / cdiv 11871  โ„•cn 12212  2c2 12267  โ„+crp 12974  (,)cioo 13324  ...cfz 13484  ฯ€cpi 16010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ioc 13329  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-shft 15014  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-ef 16011  df-sin 16013  df-cos 16014  df-pi 16016  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-pt 17390  df-prds 17393  df-xrs 17448  df-qtop 17453  df-imas 17454  df-xps 17456  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-fbas 20941  df-fg 20942  df-cnfld 20945  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-cld 22523  df-ntr 22524  df-cls 22525  df-nei 22602  df-lp 22640  df-perf 22641  df-cn 22731  df-cnp 22732  df-haus 22819  df-tx 23066  df-hmeo 23259  df-fil 23350  df-fm 23442  df-flim 23443  df-flf 23444  df-xms 23826  df-ms 23827  df-tms 23828  df-cncf 24394  df-limc 25383  df-dv 25384
This theorem is referenced by:  basellem4  26588  basellem8  26592
  Copyright terms: Public domain W3C validator