MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 26582
Description: Lemma for basel 26591. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 13529 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
21nnrpd 13013 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3 pirp 25970 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„+
4 rpmulcl 12996 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
52, 3, 4sylancl 586 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
6 basel.n . . . . . 6 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
7 2nn 12284 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
8 nnmulcl 12235 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
97, 8mpan 688 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
109peano2nnd 12228 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
116, 10eqeltrid 2837 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211nnrpd 13013 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
13 rpdivcl 12998 . . . 4 (((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
145, 12, 13syl2anr 597 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1514rpred 13015 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„)
1614rpgt0d 13018 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘))
171adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
18 nnmulcl 12235 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
1917, 7, 18sylancl 586 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
2019nnred 12226 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„)
219adantr 481 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
2221nnred 12226 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
2311adantr 481 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2423nnred 12226 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
256, 24eqeltrrid 2838 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„)
2617nncnd 12227 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
27 2cn 12286 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
28 mulcom 11195 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
2926, 27, 28sylancl 586 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
30 elfzle2 13504 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3130adantl 482 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3217nnred 12226 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
33 nnre 12218 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3433adantr 481 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
35 2re 12285 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
36 2pos 12314 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
39 lemul2 12066 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4131, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4229, 41eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4322ltp1d 12143 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 11371 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4544, 6breqtrrdi 5190 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ๐‘)
4619nngt0d 12260 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท 2))
4723nngt0d 12260 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ๐‘)
48 pire 25967 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„
49 remulcl 11194 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
5032, 48, 49sylancl 586 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
515adantl 482 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
5251rpgt0d 13018 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท ฯ€))
53 ltdiv2 12099 . . . . 5 ((((๐พ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท 2)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท ฯ€))) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1386 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5545, 54mpbid 231 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)))
56 picn 25968 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
58 2cnne0 12421 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5958a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
6017nnne0d 12261 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰  0)
61 divcan5 11915 . . . 4 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1374 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6355, 62breqtrd 5174 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))
64 0xr 11260 . . 3 0 โˆˆ โ„*
65 rehalfcl 12437 . . . 4 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„)
66 rexr 11259 . . . 4 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
68 elioo2 13364 . . 3 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))))
6964, 67, 68mp2an 690 . 2 (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1343 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆง w3a 1087   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   ยท cmul 11114  โ„*cxr 11246   < clt 11247   โ‰ค cle 11248   / cdiv 11870  โ„•cn 12211  2c2 12266  โ„+crp 12973  (,)cioo 13323  ...cfz 13483  ฯ€cpi 16009
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383
This theorem is referenced by:  basellem4  26585  basellem8  26589
  Copyright terms: Public domain W3C validator