MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  basellem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem basellem1 26821
Description: Lemma for basel 26830. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
basel.n ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
Assertion
Ref Expression
basellem1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))

Proof of Theorem basellem1
StepHypRef Expression
1 elfznn 13534 . . . . . 6 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
21nnrpd 13018 . . . . 5 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„+)
3 pirp 26207 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„+
4 rpmulcl 13001 . . . . 5 ((๐พ โˆˆ โ„+ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„+) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
52, 3, 4sylancl 584 . . . 4 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
6 basel.n . . . . . 6 ๐‘ = ((2 ยท ๐‘€) + 1)
7 2nn 12289 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„•
8 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
97, 8mpan 686 . . . . . . 7 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
109peano2nnd 12233 . . . . . 6 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„•)
116, 10eqeltrid 2835 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
1211nnrpd 13018 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
13 rpdivcl 13003 . . . 4 (((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
145, 12, 13syl2anr 595 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„+)
1514rpred 13020 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„)
1614rpgt0d 13023 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘))
171adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„•)
18 nnmulcl 12240 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„• โˆง 2 โˆˆ โ„•) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
1917, 7, 18sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„•)
2019nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โˆˆ โ„)
219adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„•)
2221nnred 12231 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
2311adantr 479 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
2423nnred 12231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
256, 24eqeltrrid 2836 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((2 ยท ๐‘€) + 1) โˆˆ โ„)
2617nncnd 12232 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„‚)
27 2cn 12291 . . . . . . . 8 2 โˆˆ โ„‚
28 mulcom 11198 . . . . . . . 8 ((๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
2926, 27, 28sylancl 584 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) = (2 ยท ๐พ))
30 elfzle2 13509 . . . . . . . . 9 (๐พ โˆˆ (1...๐‘€) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3130adantl 480 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰ค ๐‘€)
3217nnred 12231 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โˆˆ โ„)
33 nnre 12223 . . . . . . . . . 10 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
3433adantr 479 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
35 2re 12290 . . . . . . . . . . 11 2 โˆˆ โ„
36 2pos 12319 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
3735, 36pm3.2i 469 . . . . . . . . . 10 (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)
3837a1i 11 . . . . . . . . 9 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2))
39 lemul2 12071 . . . . . . . . 9 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4032, 34, 38, 39syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ โ‰ค ๐‘€ โ†” (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€)))
4131, 40mpbid 231 . . . . . . 7 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐พ) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4229, 41eqbrtrd 5169 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
4322ltp1d 12148 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 ยท ๐‘€) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4420, 22, 25, 42, 43lelttrd 11376 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ((2 ยท ๐‘€) + 1))
4544, 6breqtrrdi 5189 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท 2) < ๐‘)
4619nngt0d 12265 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท 2))
4723nngt0d 12265 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < ๐‘)
48 pire 26204 . . . . . 6 ฯ€ โˆˆ โ„
49 remulcl 11197 . . . . . 6 ((๐พ โˆˆ โ„ โˆง ฯ€ โˆˆ โ„) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
5032, 48, 49sylancl 584 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„)
515adantl 480 . . . . . 6 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„+)
5251rpgt0d 13023 . . . . 5 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ 0 < (๐พ ยท ฯ€))
53 ltdiv2 12104 . . . . 5 ((((๐พ ยท 2) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท 2)) โˆง (๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐พ ยท ฯ€))) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5420, 46, 24, 47, 50, 52, 53syl222anc 1384 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท 2) < ๐‘ โ†” ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2))))
5545, 54mpbid 231 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)))
56 picn 26205 . . . . 5 ฯ€ โˆˆ โ„‚
5756a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ฯ€ โˆˆ โ„‚)
58 2cnne0 12426 . . . . 5 (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0)
5958a1i 11 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0))
6017nnne0d 12266 . . . 4 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ๐พ โ‰  0)
61 divcan5 11920 . . . 4 ((ฯ€ โˆˆ โ„‚ โˆง (2 โˆˆ โ„‚ โˆง 2 โ‰  0) โˆง (๐พ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐พ โ‰  0)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6257, 59, 26, 60, 61syl112anc 1372 . . 3 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / (๐พ ยท 2)) = (ฯ€ / 2))
6355, 62breqtrd 5173 . 2 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))
64 0xr 11265 . . 3 0 โˆˆ โ„*
65 rehalfcl 12442 . . . 4 (ฯ€ โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„)
66 rexr 11264 . . . 4 ((ฯ€ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*)
6748, 65, 66mp2b 10 . . 3 (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*
68 elioo2 13369 . . 3 ((0 โˆˆ โ„* โˆง (ฯ€ / 2) โˆˆ โ„*) โ†’ (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2))))
6964, 67, 68mp2an 688 . 2 (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)) โ†” (((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ โ„ โˆง 0 < ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆง ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) < (ฯ€ / 2)))
7015, 16, 63, 69syl3anbrc 1341 1 ((๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐พ โˆˆ (1...๐‘€)) โ†’ ((๐พ ยท ฯ€) / ๐‘) โˆˆ (0(,)(ฯ€ / 2)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2938   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  โ„‚cc 11110  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117  โ„*cxr 11251   < clt 11252   โ‰ค cle 11253   / cdiv 11875  โ„•cn 12216  2c2 12271  โ„+crp 12978  (,)cioo 13328  ...cfz 13488  ฯ€cpi 16014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-limc 25615  df-dv 25616
This theorem is referenced by:  basellem4  26824  basellem8  26828
  Copyright terms: Public domain W3C validator