Theorem basellem1 27413

Description: Lemma for basel 27422. Closure of the sequence of roots. (Contributed by Mario Carneiro, 30-Jul-2014.) Replace OLD theorem. (Revised by Wolf Lammen, 18-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
basel.n	⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)

Assertion

Ref	Expression
basellem1	⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

Proof of Theorem basellem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13690	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℕ)
2	1	nnrpd 13165	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ∈ ℝ+)
3		pirp 26795	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℝ+
4		rpmulcl 13148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ+ ∧ π ∈ ℝ+) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
6		basel.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = ((2 · 𝑀) + 1)
7		2nn 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
8		nnmulcl 12362	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
9	7, 8	mpan 703	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
10	9	peano2nnd 12355	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℕ)
11	6, 10	eqeltrid 2864	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ)
12	11	nnrpd 13165	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ+)
13		rpdivcl 13150	. . . 4 ⊢ (((𝐾 · π) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
14	5, 12, 13	syl2anr 609	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ+)
15	14	rpred 13167	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ)
16	14	rpgt0d 13170	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁))
17	1	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℕ)
18		nnmulcl 12362	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
19	17, 7, 18	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℕ)
20	19	nnred 12353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ∈ ℝ)
21	9	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℕ)
22	21	nnred 12353	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
23	11	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℕ)
24	23	nnred 12353	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑁 ∈ ℝ)
25	6, 24	eqeltrrid 2865	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((2 · 𝑀) + 1) ∈ ℝ)
26	17	nncnd 12354	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℂ)
27		2cn 12421	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
28		mulcom 11289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℂ) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
29	26, 27, 28	sylancl 598	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) = (2 · 𝐾))
30		elfzle2 13664	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ (1...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝑀)
31	30	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≤ 𝑀)
32	17	nnred 12353	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ∈ ℝ)
33		nnre 12345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
34	33	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝑀 ∈ ℝ)
35		2re 12420	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℝ
36		2pos 12450	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 0 < 2
37	35, 36	pm3.2i 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
39		lemul2 12173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
40	32, 34, 38, 39	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 ≤ 𝑀 ↔ (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀)))
41	31, 40	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝐾) ≤ (2 · 𝑀))
42	29, 41	eqbrtrd 5126	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) ≤ (2 · 𝑀))
43	22	ltp1d 12250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 · 𝑀) < ((2 · 𝑀) + 1))
44	20, 22, 25, 42, 43	lelttrd 11471	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < ((2 · 𝑀) + 1))
45	44, 6	breqtrrdi 5146	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · 2) < 𝑁)
46	19	nngt0d 12390	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · 2))
47	23	nngt0d 12390	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < 𝑁)
48		pire 26788	. . . . . 6 ⊢ π ∈ ℝ
49		remulcl 11288	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
50	32, 48, 49	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ)
51	5	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (𝐾 · π) ∈ ℝ+)
52	51	rpgt0d 13170	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 0 < (𝐾 · π))
53		ltdiv2 12206	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 · 2) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · 2)) ∧ (𝑁 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐾 · π))) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
54	20, 46, 24, 47, 50, 52, 53	syl222anc 1413	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · 2) < 𝑁 ↔ ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2))))
55	45, 54	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)))
56		picn 26790	. . . . 5 ⊢ π ∈ ℂ
57	56	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → π ∈ ℂ)
58		2cnne0 12558	. . . . 5 ⊢ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)
59	58	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
60	17	nnne0d 12391	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → 𝐾 ≠ 0)
61		divcan5 12022	. . . 4 ⊢ ((π ∈ ℂ ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0) ∧ (𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝐾 ≠ 0)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
62	57, 59, 26, 60, 61	syl112anc 1401	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / (𝐾 · 2)) = (π / 2))
63	55, 62	breqtrd 5130	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))
64		0xr 11359	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℝ*
65		rehalfcl 12576	. . . 4 ⊢ (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
66		rexr 11358	. . . 4 ⊢ ((π / 2) ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ*)
67	48, 65, 66	mp2b 10	. . 3 ⊢ (π / 2) ∈ ℝ*
68		elioo2 13520	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ (π / 2) ∈ ℝ*) → (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2))))
69	64, 67, 68	mp2an 705	. 2 ⊢ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)) ↔ (((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐾 · π) / 𝑁) ∧ ((𝐾 · π) / 𝑁) < (π / 2)))
70	15, 16, 63, 69	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ (1...𝑀)) → ((𝐾 · π) / 𝑁) ∈ (0(,)(π / 2)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℝcr 11202  0cc0 11203  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℝ^*cxr 11345   < clt 11346   ≤ cle 11347   / cdiv 11976  ℕcn 12338  2c2 12400  ℝ⁺crp 13123  (,)cioo 13479  ...cfz 13642  πcpi 16237

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-inf2 9645  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-fi 9406  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9507  df-card 10023  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-ioo 13483  df-ioc 13484  df-ico 13485  df-icc 13486  df-fz 13643  df-fzo 13792  df-fl 13935  df-seq 14148  df-exp 14208  df-fac 14421  df-bc 14450  df-hash 14478  df-shft 15225  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-limsup 15643  df-clim 15660  df-rlim 15661  df-sum 15859  df-ef 16238  df-sin 16240  df-cos 16241  df-pi 16243  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-starv 17448  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-unif 17456  df-hom 17457  df-cco 17458  df-rest 17598  df-topn 17599  df-0g 17617  df-gsum 17618  df-topgen 17619  df-pt 17620  df-prds 17623  df-xrs 17679  df-qtop 17684  df-imas 17685  df-xps 17687  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-mulg 19283  df-cntz 19536  df-cmn 20001  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-fbas 21680  df-fg 21681  df-cnfld 21684  df-top 23217  df-topon 23234  df-topsp 23256  df-bases 23269  df-cld 23342  df-ntr 23343  df-cls 23344  df-nei 23421  df-lp 23459  df-perf 23460  df-cn 23550  df-cnp 23551  df-haus 23638  df-tx 23886  df-hmeo 24079  df-fil 24170  df-fm 24262  df-flim 24263  df-flf 24264  df-xms 24644  df-ms 24645  df-tms 24646  df-cncf 25204  df-limc 26191  df-dv 26192

This theorem is used by:  basellem4  27416  basellem8  27420