MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 26329
Description: Lemma for divsqrsum 26331 and divsqrtsum2 26332. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 13342 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2745 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 12806 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 12534 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 0red 11158 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6 1re 11155 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 12428 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
86, 7nn0addge2i 12462 . . . . . 6 1 ≤ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10 2re 12227 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 15149 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211adantl 482 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1312rpred 12957 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14 remulcl 11136 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612rprecred 12968 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17 nnrp 12926 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 593 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 11143 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
2112rpcnd 12959 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22 2rp 12920 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 12938 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 12967 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 26095 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28 2cnd 12231 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 25328 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30 2cnd 12231 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31 1cnd 11150 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
3224rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33 divass 11831 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3512rpcnne0d 12966 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36 rpcnne0 12933 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38 divcan5 11857 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2778 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
4140mpteq2dva 5205 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
4229, 41eqtrd 2776 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
4443oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45 simp3r 1202 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥𝑛)
46 simp2l 1199 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rprege0d 12964 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 simp2r 1200 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 12964 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50 sqrtle 15145 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5147, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5245, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
5346rpsqrtcld 15296 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 15296 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 12976 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
5652, 55mpbid 231 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58 sqrtlim 26322 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
6160oveq2d 7373 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 25397 . . . 4 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
6362simp1d 1142 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
6463mptru 1548 . 2 𝐹:ℝ+⟶ℝ
6562simp2d 1143 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
6665mptru 1548 . 2 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67 rpge0 12928 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
6867adantl 482 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
6962simp3d 1144 . . . 4 (⊤ → ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
7069mptru 1548 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7168, 70mpd3an3 1462 . 2 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7264, 66, 713pm3.2i 1339 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wtru 1542  wcel 2106  wne 2943  {cpr 4588   class class class wbr 5105  cmpt 5188  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  +crp 12915  (,)cioo 13264  ...cfz 13424  cfl 13695  csqrt 15118  abscabs 15119  𝑟 crli 15367  Σcsu 15570   D cdv 25227
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  26330  divsqrsum  26331  divsqrtsum2  26332
  Copyright terms: Public domain W3C validator