MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 27037
Description: Lemma for divsqrsum 27039 and divsqrtsum2 27040. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 13461 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2743 . . . . 5 + = (0(,)+∞)
3 nnuz 12918 . . . . 5 ℕ = (ℤ‘1)
4 1zzd 12645 . . . . 5 (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5 0red 11261 . . . . 5 (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6 1re 11258 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 12538 . . . . . . 7 0 ∈ ℕ0
86, 7nn0addge2i 12572 . . . . . 6 1 ≤ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10 2re 12337 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 15299 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
1312rpred 13074 . . . . . 6 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14 remulcl 11237 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 587 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
1612rprecred 13085 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17 nnrp 13043 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 593 . . . . 5 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 11244 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
2112rpcnd 13076 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22 2rp 13036 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 13055 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 587 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 13084 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 26798 . . . . . . . 8 (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28 2cnd 12341 . . . . . . 7 (⊤ → 2 ∈ ℂ)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 26016 . . . . . 6 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30 2cnd 12341 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31 1cnd 11253 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
3224rpcnne0d 13083 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33 divass 11937 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
3512rpcnne0d 13083 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36 rpcnne0 13050 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38 divcan5 11966 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1370 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
4034, 39eqtr3d 2776 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
4140mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
4229, 41eqtrd 2774 . . . . 5 (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
4443oveq2d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45 simp3r 1201 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥𝑛)
46 simp2l 1198 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
4746rprege0d 13081 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48 simp2r 1199 . . . . . . . . 9 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 13081 . . . . . . . 8 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50 sqrtle 15295 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5147, 49, 50syl2anc 584 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (𝑥𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
5245, 51mpbid 232 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
5346rpsqrtcld 15446 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 15446 . . . . . . 7 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 13093 . . . . . 6 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
5652, 55mpbid 232 . . . . 5 ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥𝑥𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58 sqrtlim 27030 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
6160oveq2d 7446 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 26088 . . . 4 (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
6362simp1d 1141 . . 3 (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
6463mptru 1543 . 2 𝐹:ℝ+⟶ℝ
6562simp2d 1142 . . 3 (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
6665mptru 1543 . 2 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67 rpge0 13045 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
6867adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
6962simp3d 1143 . . . 4 (⊤ → ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
7069mptru 1543 . . 3 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7168, 70mpd3an3 1461 . 2 ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
7264, 66, 713pm3.2i 1338 1 (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹𝑟 𝐿𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wtru 1537  wcel 2105  wne 2937  {cpr 4632   class class class wbr 5147  cmpt 5230  dom cdm 5688  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  +∞cpnf 11289  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  +crp 13031  (,)cioo 13383  ...cfz 13543  cfl 13826  csqrt 15268  abscabs 15269  𝑟 crli 15517  Σcsu 15718   D cdv 25912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-iin 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-fac 14309  df-bc 14338  df-hash 14366  df-shft 15102  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-limsup 15503  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-ef 16099  df-sin 16101  df-cos 16102  df-pi 16104  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-prds 17493  df-xrs 17548  df-qtop 17553  df-imas 17554  df-xps 17556  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-fbas 21378  df-fg 21379  df-cnfld 21382  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-cld 23042  df-ntr 23043  df-cls 23044  df-nei 23121  df-lp 23159  df-perf 23160  df-cn 23250  df-cnp 23251  df-haus 23338  df-cmp 23410  df-tx 23585  df-hmeo 23778  df-fil 23869  df-fm 23961  df-flim 23962  df-flf 23963  df-xms 24345  df-ms 24346  df-tms 24347  df-cncf 24917  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26612  df-cxp 26613
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  27038  divsqrsum  27039  divsqrtsum2  27040
  Copyright terms: Public domain W3C validator