Theorem divsqrtsumlem 27353

Description: Lemma for divsqrsum 27355 and divsqrtsum2 27356. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumlem	⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 13594	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
2	1	eqcomi 2772	. . . . 5 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
3		nnuz 13042	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1zzd 12765	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		0red 11348	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		1re 11345	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0nn0 12659	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0addge2i 12693	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (0 + 1)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10		2re 12455	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		rpsqrtcl 15472	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13202	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14		remulcl 11322	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12	rprecred 13213	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		nnrp 13170	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
18	17, 16	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		reelprrecn 11329	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
21	12	rpcnd 13204	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22		2rp 13163	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23		rpmulcl 13183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	22, 12, 23	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpreccld 13212	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26		dvsqrt 27116	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28		2cnd 12459	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
29	20, 21, 25, 27, 28	dvmptcmul 26328	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30		2cnd 12459	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31		1cnd 11339	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
32	24	rpcnne0d 13211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33		divass 12030	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
35	12	rpcnne0d 13211	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36		rpcnne0 13177	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
37	22, 36	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38		divcan5 12057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1399	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2800	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
41	40	mpteq2dva 5202	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
42	29, 41	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43		fveq2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
44	43	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ≤ 𝑛)
46		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rprege0d 13209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
49	48	rprege0d 13209	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50		sqrtle 15468	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
51	47, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
52	45, 51	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
53	46	rpsqrtcld 15620	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
54	48	rpsqrtcld 15620	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	53, 54	lerecd 13221	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
56	52, 55	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57		divsqrtsum.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58		sqrtlim 27346	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60		fveq2 6914	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
61	60	oveq2d 7465	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
62	2, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61	dvfsumrlim3 26397	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
63	62	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
64	63	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
65	62	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
66	65	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67		rpge0 13172	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
68	67	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
69	62	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
70	69	mptru 1577	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
71	68, 70	mpd3an3 1492	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
72	64, 66, 71	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  {cpr 4590   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5656  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  ℂcc 11235  ℝcr 11236  0cc0 11237  1c1 11238   + caddc 11240   · cmul 11242  +∞cpnf 11377   ≤ cle 11381   − cmin 11578   / cdiv 12011  ℕcn 12373  2c2 12435  ℝ⁺crp 13158  (,)cioo 13514  ...cfz 13677  ⌊cfl 13968  √csqrt 15441  abscabs 15442   ⇝_𝑟 crli 15693  Σcsu 15894   D cdv 26227

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-inf2 9677  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314  ax-pre-sup 11315  ax-addf 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-isom 6573  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-of 7723  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-2o 8513  df-er 8753  df-map 8885  df-pm 8886  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-fi 9438  df-sup 9469  df-inf 9470  df-oi 9539  df-card 10055  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-div 12012  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-q 13114  df-rp 13159  df-xneg 13279  df-xadd 13280  df-xmul 13281  df-ioo 13518  df-ioc 13519  df-ico 13520  df-icc 13521  df-fz 13678  df-fzo 13827  df-fl 13970  df-mod 14048  df-seq 14183  df-exp 14243  df-fac 14457  df-bc 14486  df-hash 14514  df-shft 15261  df-cj 15307  df-re 15308  df-im 15309  df-sqrt 15443  df-abs 15444  df-limsup 15679  df-clim 15696  df-rlim 15697  df-sum 15895  df-ef 16274  df-sin 16276  df-cos 16277  df-pi 16279  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-starv 17484  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-unif 17492  df-hom 17493  df-cco 17494  df-rest 17634  df-topn 17635  df-0g 17653  df-gsum 17654  df-topgen 17655  df-pt 17656  df-prds 17659  df-xrs 17715  df-qtop 17720  df-imas 17721  df-xps 17723  df-mre 17797  df-mrc 17798  df-acs 17800  df-mgm 18857  df-sgrp 18949  df-mnd 18965  df-submnd 19020  df-mulg 19319  df-cntz 19573  df-cmn 20038  df-psmet 21712  df-xmet 21713  df-met 21714  df-bl 21715  df-mopn 21716  df-fbas 21717  df-fg 21718  df-cnfld 21721  df-top 23256  df-topon 23273  df-topsp 23295  df-bases 23308  df-cld 23381  df-ntr 23382  df-cls 23383  df-nei 23460  df-lp 23498  df-perf 23499  df-cn 23589  df-cnp 23590  df-haus 23677  df-cmp 23749  df-tx 23925  df-hmeo 24118  df-fil 24209  df-fm 24301  df-flim 24302  df-flf 24303  df-xms 24683  df-ms 24684  df-tms 24685  df-cncf 25243  df-limc 26230  df-dv 26231  df-log 26930  df-cxp 26931

This theorem is used by:  divsqrsumf  27354  divsqrsum  27355  divsqrtsum2  27356