MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsqrtsumlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsqrtsumlem 26899
Description: Lemma for divsqrsum 26901 and divsqrtsum2 26902. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
divsqrtsum.2 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘›)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
Assertion
Ref Expression
divsqrtsumlem (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄))))
Distinct variable group:   π‘₯,𝑛,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯,𝑛)   𝐿(π‘₯,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem
StepHypRef Expression
1 ioorp 13426 . . . . . 6 (0(,)+∞) = ℝ+
21eqcomi 2736 . . . . 5 ℝ+ = (0(,)+∞)
3 nnuz 12887 . . . . 5 β„• = (β„€β‰₯β€˜1)
4 1zzd 12615 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ∈ β„€)
5 0red 11239 . . . . 5 (⊀ β†’ 0 ∈ ℝ)
6 1re 11236 . . . . . . 7 1 ∈ ℝ
7 0nn0 12509 . . . . . . 7 0 ∈ β„•0
86, 7nn0addge2i 12543 . . . . . 6 1 ≀ (0 + 1)
98a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ 1 ≀ (0 + 1))
10 2re 12308 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
11 rpsqrtcl 15235 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ ℝ+ β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
1211adantl 481 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
1312rpred 13040 . . . . . 6 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
14 remulcl 11215 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1510, 13, 14sylancr 586 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
1612rprecred 13051 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
17 nnrp 13009 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ β„• β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
1817, 16sylan2 592 . . . . 5 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
19 reelprrecn 11222 . . . . . . . 8 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
2019a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
2112rpcnd 13042 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
22 2rp 13003 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ+
23 rpmulcl 13021 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℝ+ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2422, 12, 23sylancr 586 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ+)
2524rpreccld 13050 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) ∈ ℝ+)
26 dvsqrt 26663 . . . . . . . 8 (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
2726a1i 11 . . . . . . 7 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (βˆšβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
28 2cnd 12312 . . . . . . 7 (⊀ β†’ 2 ∈ β„‚)
2920, 21, 25, 27, 28dvmptcmul 25883 . . . . . 6 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))))
30 2cnd 12312 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 2 ∈ β„‚)
31 1cnd 11231 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ 1 ∈ β„‚)
3224rpcnne0d 13049 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) β‰  0))
33 divass 11912 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚ ∧ ((2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) ∈ β„‚ ∧ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)) β‰  0)) β†’ ((2 Β· 1) / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (2 Β· (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
3430, 31, 32, 33syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· 1) / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (2 Β· (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))))
3512rpcnne0d 13049 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0))
36 rpcnne0 13016 . . . . . . . . . 10 (2 ∈ ℝ+ β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
3722, 36mp1i 13 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0))
38 divcan5 11938 . . . . . . . . 9 ((1 ∈ β„‚ ∧ ((βˆšβ€˜π‘₯) ∈ β„‚ ∧ (βˆšβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ (2 ∈ β„‚ ∧ 2 β‰  0)) β†’ ((2 Β· 1) / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
3931, 35, 37, 38syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ ((2 Β· 1) / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
4034, 39eqtr3d 2769 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ π‘₯ ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
4140mpteq2dva 5242 . . . . . 6 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (1 / (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
4229, 41eqtrd 2767 . . . . 5 (⊀ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
43 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π‘›))
4443oveq2d 7430 . . . . 5 (π‘₯ = 𝑛 β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) = (1 / (βˆšβ€˜π‘›)))
45 simp3r 1200 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ π‘₯ ≀ 𝑛)
46 simp2l 1197 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)
4746rprege0d 13047 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
48 simp2r 1198 . . . . . . . . 9 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ 𝑛 ∈ ℝ+)
4948rprege0d 13047 . . . . . . . 8 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛))
50 sqrtle 15231 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑛 ↔ (βˆšβ€˜π‘₯) ≀ (βˆšβ€˜π‘›)))
5147, 49, 50syl2anc 583 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑛 ↔ (βˆšβ€˜π‘₯) ≀ (βˆšβ€˜π‘›)))
5245, 51mpbid 231 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ≀ (βˆšβ€˜π‘›))
5346rpsqrtcld 15382 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) ∈ ℝ+)
5448rpsqrtcld 15382 . . . . . . 7 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (βˆšβ€˜π‘›) ∈ ℝ+)
5553, 54lerecd 13059 . . . . . 6 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ ((βˆšβ€˜π‘₯) ≀ (βˆšβ€˜π‘›) ↔ (1 / (βˆšβ€˜π‘›)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))))
5652, 55mpbid 231 . . . . 5 ((⊀ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ 𝑛)) β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘›)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)))
57 divsqrtsum.2 . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(βŒŠβ€˜π‘₯))(1 / (βˆšβ€˜π‘›)) βˆ’ (2 Β· (βˆšβ€˜π‘₯))))
58 sqrtlim 26892 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0
5958a1i 11 . . . . 5 (⊀ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ+ ↦ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯))) β‡π‘Ÿ 0)
60 fveq2 6891 . . . . . 6 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (βˆšβ€˜π‘₯) = (βˆšβ€˜π΄))
6160oveq2d 7430 . . . . 5 (π‘₯ = 𝐴 β†’ (1 / (βˆšβ€˜π‘₯)) = (1 / (βˆšβ€˜π΄)))
622, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61dvfsumrlim3 25955 . . . 4 (⊀ β†’ (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄)))))
6362simp1d 1140 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹:ℝ+βŸΆβ„)
6463mptru 1541 . 2 𝐹:ℝ+βŸΆβ„
6562simp2d 1141 . . 3 (⊀ β†’ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ )
6665mptru 1541 . 2 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ
67 rpge0 13011 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ+ β†’ 0 ≀ 𝐴)
6867adantl 481 . . 3 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ 0 ≀ 𝐴)
6962simp3d 1142 . . . 4 (⊀ β†’ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄))))
7069mptru 1541 . . 3 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≀ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄)))
7168, 70mpd3an3 1459 . 2 ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄)))
7264, 66, 713pm3.2i 1337 1 (𝐹:ℝ+βŸΆβ„ ∧ 𝐹 ∈ dom β‡π‘Ÿ ∧ ((𝐹 β‡π‘Ÿ 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π΄) βˆ’ 𝐿)) ≀ (1 / (βˆšβ€˜π΄))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534  βŠ€wtru 1535   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  {cpr 4626   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„‚cc 11128  β„cr 11129  0cc0 11130  1c1 11131   + caddc 11133   Β· cmul 11135  +∞cpnf 11267   ≀ cle 11271   βˆ’ cmin 11466   / cdiv 11893  β„•cn 12234  2c2 12289  β„+crp 12998  (,)cioo 13348  ...cfz 13508  βŒŠcfl 13779  βˆšcsqrt 15204  abscabs 15205   β‡π‘Ÿ crli 15453  Ξ£csu 15656   D cdv 25779
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9656  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-pre-sup 11208  ax-addf 11209
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8838  df-pm 8839  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-fi 9426  df-sup 9457  df-inf 9458  df-oi 9525  df-card 9954  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11894  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-q 12955  df-rp 12999  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13352  df-ioc 13353  df-ico 13354  df-icc 13355  df-fz 13509  df-fzo 13652  df-fl 13781  df-mod 13859  df-seq 13991  df-exp 14051  df-fac 14257  df-bc 14286  df-hash 14314  df-shft 15038  df-cj 15070  df-re 15071  df-im 15072  df-sqrt 15206  df-abs 15207  df-limsup 15439  df-clim 15456  df-rlim 15457  df-sum 15657  df-ef 16035  df-sin 16037  df-cos 16038  df-pi 16040  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-starv 17239  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-unif 17247  df-hom 17248  df-cco 17249  df-rest 17395  df-topn 17396  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-topgen 17416  df-pt 17417  df-prds 17420  df-xrs 17475  df-qtop 17480  df-imas 17481  df-xps 17483  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-mulg 19015  df-cntz 19259  df-cmn 19728  df-psmet 21258  df-xmet 21259  df-met 21260  df-bl 21261  df-mopn 21262  df-fbas 21263  df-fg 21264  df-cnfld 21267  df-top 22783  df-topon 22800  df-topsp 22822  df-bases 22836  df-cld 22910  df-ntr 22911  df-cls 22912  df-nei 22989  df-lp 23027  df-perf 23028  df-cn 23118  df-cnp 23119  df-haus 23206  df-cmp 23278  df-tx 23453  df-hmeo 23646  df-fil 23737  df-fm 23829  df-flim 23830  df-flf 23831  df-xms 24213  df-ms 24214  df-tms 24215  df-cncf 24785  df-limc 25782  df-dv 25783  df-log 26477  df-cxp 26478
This theorem is referenced by:  divsqrsumf  26900  divsqrsum  26901  divsqrtsum2  26902
  Copyright terms: Public domain W3C validator