Theorem divsqrtsumlem 27173

Description: Lemma for divsqrsum 27175 and divsqrtsum2 27176. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumlem	⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥, 𝑛)   𝐿(𝑥, 𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 13463	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
2	1	eqcomi 2774	. . . . 5 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
3		nnuz 12912	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1zzd 12636	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		0red 11222	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		1re 11219	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0nn0 12530	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0addge2i 12564	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (0 + 1)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10		2re 12326	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		rpsqrtcl 15334	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13071	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14		remulcl 11196	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12	rprecred 13082	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		nnrp 13039	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
18	17, 16	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		reelprrecn 11203	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
21	12	rpcnd 13073	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22		2rp 13032	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23		rpmulcl 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	22, 12, 23	sylancr 599	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpreccld 13081	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26		dvsqrt 26936	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28		2cnd 12330	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
29	20, 21, 25, 27, 28	dvmptcmul 26152	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30		2cnd 12330	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31		1cnd 11213	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
32	24	rpcnne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33		divass 11901	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
35	12	rpcnne0d 13080	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36		rpcnne0 13046	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
37	22, 36	mp1i 14	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38		divcan5 11928	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2802	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
41	40	mpteq2dva 5206	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
42	29, 41	eqtrd 2800	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
44	43	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45		simp3r 1221	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ≤ 𝑛)
46		simp2l 1218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rprege0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		simp2r 1219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
49	48	rprege0d 13078	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50		sqrtle 15330	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
51	47, 49, 50	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
52	45, 51	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
53	46	rpsqrtcld 15482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
54	48	rpsqrtcld 15482	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	53, 54	lerecd 13090	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
56	52, 55	mpbid 235	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57		divsqrtsum.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58		sqrtlim 27166	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
61	60	oveq2d 7432	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
62	2, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61	dvfsumrlim3 26221	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
63	62	simp1d 1160	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
64	63	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
65	62	simp2d 1161	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
66	65	mptru 1577	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67		rpge0 13041	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
68	67	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
69	62	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
70	69	mptru 1577	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
71	68, 70	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
72	64, 66, 71	3pm3.2i 1358	1 ⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  {cpr 4593   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  dom cdm 5663  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110  0cc0 11111  1c1 11112   + caddc 11114   · cmul 11116  +∞cpnf 11251   ≤ cle 11255   − cmin 11452   / cdiv 11882  ℕcn 12244  2c2 12306  ℝ⁺crp 13027  (,)cioo 13383  ...cfz 13546  ⌊cfl 13836  √csqrt 15303  abscabs 15304   ⇝_𝑟 crli 15555  Σcsu 15756   D cdv 26051

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-inf2 9613  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-pre-sup 11189  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-fi 9374  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-div 11883  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-q 12984  df-rp 13028  df-xneg 13148  df-xadd 13149  df-xmul 13150  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-fl 13838  df-mod 13916  df-seq 14051  df-exp 14111  df-fac 14323  df-bc 14352  df-hash 14380  df-shft 15123  df-cj 15169  df-re 15170  df-im 15171  df-sqrt 15305  df-abs 15306  df-limsup 15541  df-clim 15558  df-rlim 15559  df-sum 15757  df-ef 16138  df-sin 16140  df-cos 16141  df-pi 16143  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-rest 17492  df-topn 17493  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-topgen 17513  df-pt 17514  df-prds 17517  df-xrs 17573  df-qtop 17578  df-imas 17579  df-xps 17581  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-submnd 18865  df-mulg 19157  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-psmet 21543  df-xmet 21544  df-met 21545  df-bl 21546  df-mopn 21547  df-fbas 21548  df-fg 21549  df-cnfld 21552  df-top 23080  df-topon 23097  df-topsp 23119  df-bases 23132  df-cld 23205  df-ntr 23206  df-cls 23207  df-nei 23284  df-lp 23322  df-perf 23323  df-cn 23413  df-cnp 23414  df-haus 23501  df-cmp 23573  df-tx 23748  df-hmeo 23941  df-fil 24032  df-fm 24124  df-flim 24125  df-flf 24126  df-xms 24506  df-ms 24507  df-tms 24508  df-cncf 25066  df-limc 26054  df-dv 26055  df-log 26750  df-cxp 26751

This theorem is used by:  divsqrsumf  27174  divsqrsum  27175  divsqrtsum2  27176