Theorem divsqrtsumlem 25120

Description: Lemma for divsqrsum 25122 and divsqrtsum2 25123. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumlem	⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 12540	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
2	1	eqcomi 2835	. . . . 5 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
3		nnuz 12006	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1zzd 11737	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		0red 10361	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		1re 10357	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0nn0 11636	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0addge2i 11670	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (0 + 1)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10		2re 11426	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		rpsqrtcl 14383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 475	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12157	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14		remulcl 10338	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	sylancr 583	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12	rprecred 12168	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		nnrp 12126	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
18	17, 16	sylan2 588	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		reelprrecn 10345	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
21	12	rpcnd 12159	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22		2rp 12118	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23		rpmulcl 12138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	22, 12, 23	sylancr 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpreccld 12167	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26		dvsqrt 24886	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28		2cnd 11430	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
29	20, 21, 25, 27, 28	dvmptcmul 24127	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30		2cnd 11430	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31		1cnd 10352	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
32	24	rpcnne0d 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33		divass 11029	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
35	12	rpcnne0d 12166	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36		rpcnne0 12133	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
37	22, 36	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38		divcan5 11054	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1496	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2864	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
41	40	mpteq2dva 4968	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
42	29, 41	eqtrd 2862	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43		fveq2 6434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
44	43	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45		simp3r 1265	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ≤ 𝑛)
46		simp2l 1262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rprege0d 12164	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		simp2r 1263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
49	48	rprege0d 12164	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50		sqrtle 14379	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
51	47, 49, 50	syl2anc 581	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
52	45, 51	mpbid 224	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
53	46	rpsqrtcld 14528	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
54	48	rpsqrtcld 14528	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	53, 54	lerecd 12176	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
56	52, 55	mpbid 224	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57		divsqrtsum.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58		sqrtlim 25113	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60		fveq2 6434	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
61	60	oveq2d 6922	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
62	2, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61	dvfsumrlim3 24196	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
63	62	simp1d 1178	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
64	63	mptru 1666	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
65	62	simp2d 1179	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
66	65	mptru 1666	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67		rpge0 12128	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
68	67	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
69	62	simp3d 1180	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
70	69	mptru 1666	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
71	68, 70	mpd3an3 1592	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
72	64, 66, 71	3pm3.2i 1444	1 ⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658  ⊤wtru 1659   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000  {cpr 4400   class class class wbr 4874   ↦ cmpt 4953  dom cdm 5343  ⟶wf 6120  ‘cfv 6124  (class class class)co 6906  ℂcc 10251  ℝcr 10252  0cc0 10253  1c1 10254   + caddc 10256   · cmul 10258  +∞cpnf 10389   ≤ cle 10393   − cmin 10586   / cdiv 11010  ℕcn 11351  2c2 11407  ℝ⁺crp 12113  (,)cioo 12464  ...cfz 12620  ⌊cfl 12887  √csqrt 14351  abscabs 14352   ⇝_𝑟 crli 14594  Σcsu 14794   D cdv 24027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-rep 4995  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-inf2 8816  ax-cnex 10309  ax-resscn 10310  ax-1cn 10311  ax-icn 10312  ax-addcl 10313  ax-addrcl 10314  ax-mulcl 10315  ax-mulrcl 10316  ax-mulcom 10317  ax-addass 10318  ax-mulass 10319  ax-distr 10320  ax-i2m1 10321  ax-1ne0 10322  ax-1rid 10323  ax-rnegex 10324  ax-rrecex 10325  ax-cnre 10326  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328  ax-pre-ltadd 10329  ax-pre-mulgt0 10330  ax-pre-sup 10331  ax-addf 10332  ax-mulf 10333

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-fal 1672  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-reu 3125  df-rmo 3126  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-pss 3815  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4660  df-int 4699  df-iun 4743  df-iin 4744  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-tr 4977  df-id 5251  df-eprel 5256  df-po 5264  df-so 5265  df-fr 5302  df-se 5303  df-we 5304  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-pred 5921  df-ord 5967  df-on 5968  df-lim 5969  df-suc 5970  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-isom 6133  df-riota 6867  df-ov 6909  df-oprab 6910  df-mpt2 6911  df-of 7158  df-om 7328  df-1st 7429  df-2nd 7430  df-supp 7561  df-wrecs 7673  df-recs 7735  df-rdg 7773  df-1o 7827  df-2o 7828  df-oadd 7831  df-er 8010  df-map 8125  df-pm 8126  df-ixp 8177  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-fin 8227  df-fsupp 8546  df-fi 8587  df-sup 8618  df-inf 8619  df-oi 8685  df-card 9079  df-cda 9306  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-xr 10396  df-ltxr 10397  df-le 10398  df-sub 10588  df-neg 10589  df-div 11011  df-nn 11352  df-2 11415  df-3 11416  df-4 11417  df-5 11418  df-6 11419  df-7 11420  df-8 11421  df-9 11422  df-n0 11620  df-z 11706  df-dec 11823  df-uz 11970  df-q 12073  df-rp 12114  df-xneg 12233  df-xadd 12234  df-xmul 12235  df-ioo 12468  df-ioc 12469  df-ico 12470  df-icc 12471  df-fz 12621  df-fzo 12762  df-fl 12889  df-mod 12965  df-seq 13097  df-exp 13156  df-fac 13355  df-bc 13384  df-hash 13412  df-shft 14185  df-cj 14217  df-re 14218  df-im 14219  df-sqrt 14353  df-abs 14354  df-limsup 14580  df-clim 14597  df-rlim 14598  df-sum 14795  df-ef 15171  df-sin 15173  df-cos 15174  df-pi 15176  df-struct 16225  df-ndx 16226  df-slot 16227  df-base 16229  df-sets 16230  df-ress 16231  df-plusg 16319  df-mulr 16320  df-starv 16321  df-sca 16322  df-vsca 16323  df-ip 16324  df-tset 16325  df-ple 16326  df-ds 16328  df-unif 16329  df-hom 16330  df-cco 16331  df-rest 16437  df-topn 16438  df-0g 16456  df-gsum 16457  df-topgen 16458  df-pt 16459  df-prds 16462  df-xrs 16516  df-qtop 16521  df-imas 16522  df-xps 16524  df-mre 16600  df-mrc 16601  df-acs 16603  df-mgm 17596  df-sgrp 17638  df-mnd 17649  df-submnd 17690  df-mulg 17896  df-cntz 18101  df-cmn 18549  df-psmet 20099  df-xmet 20100  df-met 20101  df-bl 20102  df-mopn 20103  df-fbas 20104  df-fg 20105  df-cnfld 20108  df-top 21070  df-topon 21087  df-topsp 21109  df-bases 21122  df-cld 21195  df-ntr 21196  df-cls 21197  df-nei 21274  df-lp 21312  df-perf 21313  df-cn 21403  df-cnp 21404  df-haus 21491  df-cmp 21562  df-tx 21737  df-hmeo 21930  df-fil 22021  df-fm 22113  df-flim 22114  df-flf 22115  df-xms 22496  df-ms 22497  df-tms 22498  df-cncf 23052  df-limc 24030  df-dv 24031  df-log 24703  df-cxp 24704

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  25121  divsqrsum  25122  divsqrtsum2  25123