Theorem divsqrtsumlem 26920

Description: Lemma for divsqrsum 26922 and divsqrtsum2 26923. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumlem	⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 13329	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
2	1	eqcomi 2742	. . . . 5 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
3		nnuz 12779	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1zzd 12511	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		0red 11124	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		1re 11121	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0nn0 12405	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0addge2i 12439	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (0 + 1)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10		2re 12208	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		rpsqrtcl 15175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 12938	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14		remulcl 11100	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	sylancr 587	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12	rprecred 12949	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		nnrp 12906	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
18	17, 16	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		reelprrecn 11107	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
21	12	rpcnd 12940	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22		2rp 12899	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23		rpmulcl 12919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	22, 12, 23	sylancr 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpreccld 12948	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26		dvsqrt 26681	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28		2cnd 12212	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
29	20, 21, 25, 27, 28	dvmptcmul 25898	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30		2cnd 12212	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31		1cnd 11116	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
32	24	rpcnne0d 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33		divass 11803	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
35	12	rpcnne0d 12947	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36		rpcnne0 12913	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
37	22, 36	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38		divcan5 11832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1373	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
41	40	mpteq2dva 5188	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
42	29, 41	eqtrd 2768	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
44	43	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45		simp3r 1203	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ≤ 𝑛)
46		simp2l 1200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rprege0d 12945	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		simp2r 1201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
49	48	rprege0d 12945	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50		sqrtle 15171	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
51	47, 49, 50	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
52	45, 51	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
53	46	rpsqrtcld 15323	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
54	48	rpsqrtcld 15323	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	53, 54	lerecd 12957	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
56	52, 55	mpbid 232	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57		divsqrtsum.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58		sqrtlim 26913	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60		fveq2 6830	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
61	60	oveq2d 7370	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
62	2, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61	dvfsumrlim3 25970	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
63	62	simp1d 1142	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
64	63	mptru 1548	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
65	62	simp2d 1143	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
66	65	mptru 1548	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67		rpge0 12908	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
68	67	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
69	62	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
70	69	mptru 1548	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
71	68, 70	mpd3an3 1464	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
72	64, 66, 71	3pm3.2i 1340	1 ⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ⊤wtru 1542   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  {cpr 4579   class class class wbr 5095   ↦ cmpt 5176  dom cdm 5621  ⟶wf 6484  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014  0cc0 11015  1c1 11016   + caddc 11018   · cmul 11020  +∞cpnf 11152   ≤ cle 11156   − cmin 11353   / cdiv 11783  ℕcn 12134  2c2 12189  ℝ⁺crp 12894  (,)cioo 13249  ...cfz 13411  ⌊cfl 13698  √csqrt 15144  abscabs 15145   ⇝_𝑟 crli 15396  Σcsu 15597   D cdv 25794

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-inf2 9540  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092  ax-pre-sup 11093  ax-addf 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-fi 9304  df-sup 9335  df-inf 9336  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-div 11784  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-q 12851  df-rp 12895  df-xneg 13015  df-xadd 13016  df-xmul 13017  df-ioo 13253  df-ioc 13254  df-ico 13255  df-icc 13256  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-fl 13700  df-mod 13778  df-seq 13913  df-exp 13973  df-fac 14185  df-bc 14214  df-hash 14242  df-shft 14978  df-cj 15010  df-re 15011  df-im 15012  df-sqrt 15146  df-abs 15147  df-limsup 15382  df-clim 15399  df-rlim 15400  df-sum 15598  df-ef 15978  df-sin 15980  df-cos 15981  df-pi 15983  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-starv 17180  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-unif 17188  df-hom 17189  df-cco 17190  df-rest 17330  df-topn 17331  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-topgen 17351  df-pt 17352  df-prds 17355  df-xrs 17410  df-qtop 17415  df-imas 17416  df-xps 17418  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-submnd 18696  df-mulg 18985  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-psmet 21287  df-xmet 21288  df-met 21289  df-bl 21290  df-mopn 21291  df-fbas 21292  df-fg 21293  df-cnfld 21296  df-top 22812  df-topon 22829  df-topsp 22851  df-bases 22864  df-cld 22937  df-ntr 22938  df-cls 22939  df-nei 23016  df-lp 23054  df-perf 23055  df-cn 23145  df-cnp 23146  df-haus 23233  df-cmp 23305  df-tx 23480  df-hmeo 23673  df-fil 23764  df-fm 23856  df-flim 23857  df-flf 23858  df-xms 24238  df-ms 24239  df-tms 24240  df-cncf 24801  df-limc 25797  df-dv 25798  df-log 26495  df-cxp 26496

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  26921  divsqrsum  26922  divsqrtsum2  26923