Theorem divsqrtsumlem 26925

Description: Lemma for divsqrsum 26927 and divsqrtsum2 26928. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
divsqrtsum.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))

Assertion

Ref	Expression
divsqrtsumlem	⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Distinct variable group:   𝑥,𝑛,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥,𝑛)   𝐿(𝑥,𝑛)

Proof of Theorem divsqrtsumlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ioorp 13429	. . . . . 6 ⊢ (0(,)+∞) = ℝ+
2	1	eqcomi 2734	. . . . 5 ⊢ ℝ+ = (0(,)+∞)
3		nnuz 12890	. . . . 5 ⊢ ℕ = (ℤ≥‘1)
4		1zzd 12618	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ∈ ℤ)
5		0red 11242	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 0 ∈ ℝ)
6		1re 11239	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℝ
7		0nn0 12512	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℕ0
8	6, 7	nn0addge2i 12546	. . . . . 6 ⊢ 1 ≤ (0 + 1)
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → 1 ≤ (0 + 1))
10		2re 12311	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
11		rpsqrtcl 15238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
12	11	adantl 480	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
13	12	rpred 13043	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℝ)
14		remulcl 11218	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
15	10, 13, 14	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
16	12	rprecred 13054	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
17		nnrp 13012	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℝ+)
18	17, 16	sylan2 591	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (1 / (√‘𝑥)) ∈ ℝ)
19		reelprrecn 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
20	19	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
21	12	rpcnd 13045	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (√‘𝑥) ∈ ℂ)
22		2rp 13006	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℝ+
23		rpmulcl 13024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ (√‘𝑥) ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
24	22, 12, 23	sylancr 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (√‘𝑥)) ∈ ℝ+)
25	24	rpreccld 13053	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (1 / (2 · (√‘𝑥))) ∈ ℝ+)
26		dvsqrt 26689	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥))))
27	26	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (√‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
28		2cnd 12315	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → 2 ∈ ℂ)
29	20, 21, 25, 27, 28	dvmptcmul 25909	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))))
30		2cnd 12315	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 2 ∈ ℂ)
31		1cnd 11234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → 1 ∈ ℂ)
32	24	rpcnne0d 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0))
33		divass 11915	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ ((2 · (√‘𝑥)) ∈ ℂ ∧ (2 · (√‘𝑥)) ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
34	30, 31, 32, 33	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))))
35	12	rpcnne0d 13052	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0))
36		rpcnne0 13019	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 ∈ ℝ+ → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
37	22, 36	mp1i 13	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0))
38		divcan5 11941	. . . . . . . . 9 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ ((√‘𝑥) ∈ ℂ ∧ (√‘𝑥) ≠ 0) ∧ (2 ∈ ℂ ∧ 2 ≠ 0)) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
39	31, 35, 37, 38	syl3anc 1368	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ((2 · 1) / (2 · (√‘𝑥))) = (1 / (√‘𝑥)))
40	34, 39	eqtr3d 2767	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥)))) = (1 / (√‘𝑥)))
41	40	mpteq2dva 5244	. . . . . 6 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (1 / (2 · (√‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
42	29, 41	eqtrd 2765	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (ℝ D (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (2 · (√‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))))
43		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (√‘𝑥) = (√‘𝑛))
44	43	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑛 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝑛)))
45		simp3r 1199	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ≤ 𝑛)
46		simp2l 1196	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑥 ∈ ℝ+)
47	46	rprege0d 13050	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
48		simp2r 1197	. . . . . . . . 9 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → 𝑛 ∈ ℝ+)
49	48	rprege0d 13050	. . . . . . . 8 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛))
50		sqrtle 15234	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ (𝑛 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
51	47, 49, 50	syl2anc 582	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (𝑥 ≤ 𝑛 ↔ (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛)))
52	45, 51	mpbid 231	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛))
53	46	rpsqrtcld 15385	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑥) ∈ ℝ+)
54	48	rpsqrtcld 15385	. . . . . . 7 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (√‘𝑛) ∈ ℝ+)
55	53, 54	lerecd 13062	. . . . . 6 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → ((√‘𝑥) ≤ (√‘𝑛) ↔ (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥))))
56	52, 55	mpbid 231	. . . . 5 ⊢ ((⊤ ∧ (𝑥 ∈ ℝ+ ∧ 𝑛 ∈ ℝ+) ∧ (0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑛)) → (1 / (√‘𝑛)) ≤ (1 / (√‘𝑥)))
57		divsqrtsum.2	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (Σ𝑛 ∈ (1...(⌊‘𝑥))(1 / (√‘𝑛)) − (2 · (√‘𝑥))))
58		sqrtlim 26918	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0
59	58	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (⊤ → (𝑥 ∈ ℝ+ ↦ (1 / (√‘𝑥))) ⇝𝑟 0)
60		fveq2 6890	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (√‘𝑥) = (√‘𝐴))
61	60	oveq2d 7429	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (1 / (√‘𝑥)) = (1 / (√‘𝐴)))
62	2, 3, 4, 5, 9, 5, 15, 16, 18, 42, 44, 56, 57, 59, 61	dvfsumrlim3 25981	. . . 4 ⊢ (⊤ → (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))))
63	62	simp1d 1139	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:ℝ+⟶ℝ)
64	63	mptru 1540	. 2 ⊢ 𝐹:ℝ+⟶ℝ
65	62	simp2d 1140	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 )
66	65	mptru 1540	. 2 ⊢ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟
67		rpge0 13014	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ+ → 0 ≤ 𝐴)
68	67	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → 0 ≤ 𝐴)
69	62	simp3d 1141	. . . 4 ⊢ (⊤ → ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))
70	69	mptru 1540	. . 3 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+ ∧ 0 ≤ 𝐴) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
71	68, 70	mpd3an3 1458	. 2 ⊢ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴)))
72	64, 66, 71	3pm3.2i 1336	1 ⊢ (𝐹:ℝ+⟶ℝ ∧ 𝐹 ∈ dom ⇝𝑟 ∧ ((𝐹 ⇝𝑟 𝐿 ∧ 𝐴 ∈ ℝ+) → (abs‘((𝐹‘𝐴) − 𝐿)) ≤ (1 / (√‘𝐴))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  ⊤wtru 1534   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2930  {cpr 4627   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  dom cdm 5673  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  ℂcc 11131  ℝcr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   + caddc 11136   · cmul 11138  +∞cpnf 11270   ≤ cle 11274   − cmin 11469   / cdiv 11896  ℕcn 12237  2c2 12292  ℝ⁺crp 13001  (,)cioo 13351  ...cfz 13511  ⌊cfl 13782  √csqrt 15207  abscabs 15208   ⇝_𝑟 crli 15456  Σcsu 15659   D cdv 25805

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-cxp 26504

This theorem is referenced by:  divsqrsumf  26926  divsqrsum  26927  divsqrtsum2  26928