Theorem elringlsmd 33206

Description: Membership in a product of two subsets of a ring, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elringlsm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elringlsm.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elringlsm.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elringlsm.4	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elringlsm.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elringlsm.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elringlsmd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elringlsmd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elringlsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elringlsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elringlsmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elringlsmd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2726	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7467	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1368	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elringlsm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elringlsm.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elringlsm.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elringlsm.4	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elringlsm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elringlsm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elringlsm 33205	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  LSSumclsm 19601  mulGrpcmgp 20086

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-plusg 17249  df-lsm 19603  df-mgp 20087

This theorem is referenced by:  idlmulssprm  33254