Theorem elringlsmd 33409

Description: Membership in a product of two subsets of a ring, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elringlsm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elringlsm.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elringlsm.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elringlsm.4	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elringlsm.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elringlsm.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elringlsmd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elringlsmd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elringlsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elringlsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elringlsmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elringlsmd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2737	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7478	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elringlsm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elringlsm.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elringlsm.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elringlsm.4	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elringlsm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elringlsm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elringlsm 33408	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∃wrex 3069   ⊆ wss 3950  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  ._rcmulr 17294  LSSumclsm 19648  mulGrpcmgp 20133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5277  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-1st 8010  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-lsm 19650  df-mgp 20134

This theorem is referenced by:  idlmulssprm  33457