Theorem elringlsmd 33365

Description: Membership in a product of two subsets of a ring, one direction. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Apr-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elringlsm.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elringlsm.2	⊢ · = (.r‘𝑅)
elringlsm.3	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
elringlsm.4	⊢ × = (LSSum‘𝐺)
elringlsm.6	⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
elringlsm.7	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
elringlsmd.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
elringlsmd.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elringlsmd	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Proof of Theorem elringlsmd

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elringlsmd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐸)
2		elringlsmd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐹)
3		eqidd 2734	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌))
4		rspceov 7474	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐹 ∧ (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 · 𝑌)) → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
5	1, 2, 3, 4	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦))
6		elringlsm.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		elringlsm.2	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
8		elringlsm.3	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
9		elringlsm.4	. . 3 ⊢ × = (LSSum‘𝐺)
10		elringlsm.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ⊆ 𝐵)
11		elringlsm.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ 𝐵)
12	6, 7, 8, 9, 10, 11	elringlsm 33364	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐸 ∃𝑦 ∈ 𝐹 (𝑋 · 𝑌) = (𝑥 · 𝑦)))
13	5, 12	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) ∈ (𝐸 × 𝐹))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1535   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3066   ⊆ wss 3963  ‘cfv 6558  (class class class)co 7425  Basecbs 17234  ._rcmulr 17288  LSSumclsm 19652  mulGrpcmgp 20137

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2137  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5366  ax-pr 5430  ax-un 7747  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2536  df-eu 2565  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-nfc 2888  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6317  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6510  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-riota 7381  df-ov 7428  df-oprab 7429  df-mpo 7430  df-om 7881  df-1st 8007  df-2nd 8008  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8738  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11485  df-neg 11486  df-nn 12258  df-2 12320  df-sets 17187  df-slot 17205  df-ndx 17217  df-base 17235  df-plusg 17300  df-lsm 19654  df-mgp 20138

This theorem is referenced by:  idlmulssprm  33413