Theorem pellexlem4 43511

Description: Lemma for pellex 43514. Invoking irrapx1 43507, we have infinitely many near-solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem4	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷,𝑧

Proof of Theorem pellexlem4

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12242	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7755	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5757	. . . 4 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4		ssdomg 9000	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ V → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)))
5	2, 3, 4	mp2 9	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)
6		xpnnen 16270	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
7		domentr 9013	. . 3 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 704	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ
9		nnrp 13031	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
10	9	rpsqrtcld 15466	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
11	10	anim1i 626	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
12		eldif 3923	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ↔ ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
13	11, 12	sylibr 237	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ))
14		irrapx1 43507	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ)
15		ensym 9003	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
16	13, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
17		pellexlem3 43510	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
18		endomtr 9012	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ∧ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
19	16, 17, 18	syl2anc 595	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
20		sbth 9088	. 2 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)
21	8, 19, 20	sylancr 598	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2150   ≠ wne 2965  {crab 3423  Vcvv 3462   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913   class class class wbr 5114  {copab 5178   × cxp 5663  ‘cfv 6540  (class class class)co 7414   ≈ cen 8943   ≼ cdom 8944  0cc0 11103  1c1 11104   + caddc 11106   · cmul 11108   < clt 11246   − cmin 11444  -cneg 11445  ℕcn 12236  2c2 12298  ℚcq 12975  ℝ⁺crp 13019  ↑cexp 14100  √csqrt 15287  abscabs 15288  denomcdenom 16796

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-inf2 9613  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180  ax-pre-sup 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-se 5619  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-oadd 8460  df-omul 8461  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-fin 8950  df-sup 9405  df-inf 9406  df-oi 9475  df-card 9928  df-acn 9931  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11875  df-nn 12237  df-2 12306  df-3 12307  df-n0 12508  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-uz 12866  df-q 12976  df-rp 13020  df-ico 13381  df-fz 13539  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14041  df-exp 14101  df-hash 14370  df-cj 15153  df-re 15154  df-im 15155  df-sqrt 15289  df-abs 15290  df-dvds 16314  df-gcd 16556  df-numer 16797  df-denom 16798

This theorem is referenced by:  pellexlem5  43512