Theorem pellexlem4 38235

Description: Lemma for pellex 38238. Invoking irrapx1 38231, we have infinitely many near-solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem4	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷,𝑧

Proof of Theorem pellexlem4

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 11364	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7228	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5432	. . . 4 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4		ssdomg 8274	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ V → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)))
5	2, 3, 4	mp2 9	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)
6		xpnnen 15320	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
7		domentr 8287	. . 3 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 683	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ
9		nnrp 12132	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
10	9	rpsqrtcld 14534	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
11	10	anim1i 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
12		eldif 3808	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ↔ ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
13	11, 12	sylibr 226	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ))
14		irrapx1 38231	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ)
15		ensym 8277	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
17		pellexlem3 38234	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
18		endomtr 8286	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ∧ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
19	16, 17, 18	syl2anc 579	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
20		sbth 8355	. 2 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)
21	8, 19, 20	sylancr 581	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999  {crab 3121  Vcvv 3414   ∖ cdif 3795   ⊆ wss 3798   class class class wbr 4875  {copab 4937   × cxp 5344  ‘cfv 6127  (class class class)co 6910   ≈ cen 8225   ≼ cdom 8226  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398   − cmin 10592  -cneg 10593  ℕcn 11357  2c2 11413  ℚcq 12078  ℝ⁺crp 12119  ↑cexp 13161  √csqrt 14357  abscabs 14358  denomcdenom 15820

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-ico 12476  df-fz 12627  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-hash 13418  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-numer 15821  df-denom 15822

This theorem is referenced by:  pellexlem5  38236