Theorem pellexlem4 42813

Description: Lemma for pellex 42816. Invoking irrapx1 42809, we have infinitely many near-solutions. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
pellexlem4	⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Distinct variable group:   𝑦,𝐷,𝑧

Proof of Theorem pellexlem4

Dummy variable 𝑏 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnex 12168	. . . . 5 ⊢ ℕ ∈ V
2	1, 1	xpex 7709	. . . 4 ⊢ (ℕ × ℕ) ∈ V
3		opabssxp 5723	. . . 4 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ)
4		ssdomg 8948	. . . 4 ⊢ ((ℕ × ℕ) ∈ V → ({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ⊆ (ℕ × ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)))
5	2, 3, 4	mp2 9	. . 3 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ)
6		xpnnen 16155	. . 3 ⊢ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ
7		domentr 8961	. . 3 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ (ℕ × ℕ) ∧ (ℕ × ℕ) ≈ ℕ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ)
8	5, 6, 7	mp2an 692	. 2 ⊢ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ
9		nnrp 12939	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → 𝐷 ∈ ℝ+)
10	9	rpsqrtcld 15354	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℕ → (√‘𝐷) ∈ ℝ+)
11	10	anim1i 615	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
12		eldif 3921	. . . . 5 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) ↔ ((√‘𝐷) ∈ ℝ+ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ))
13	11, 12	sylibr 234	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → (√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ))
14		irrapx1 42809	. . . 4 ⊢ ((√‘𝐷) ∈ (ℝ+ ∖ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ)
15		ensym 8951	. . . 4 ⊢ ({𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≈ ℕ → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
16	13, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))})
17		pellexlem3 42812	. . 3 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
18		endomtr 8960	. . 3 ⊢ ((ℕ ≈ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ∧ {𝑏 ∈ ℚ ∣ (0 < 𝑏 ∧ (abs‘(𝑏 − (√‘𝐷))) < ((denom‘𝑏)↑-2))} ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))})
20		sbth 9038	. 2 ⊢ (({⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≼ ℕ ∧ ℕ ≼ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))}) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)
21	8, 19, 20	sylancr 587	1 ⊢ ((𝐷 ∈ ℕ ∧ ¬ (√‘𝐷) ∈ ℚ) → {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) ∧ (((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2))) ≠ 0 ∧ (abs‘((𝑦↑2) − (𝐷 · (𝑧↑2)))) < (1 + (2 · (√‘𝐷)))))} ≈ ℕ)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3402  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  {copab 5164   × cxp 5629  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ≈ cen 8892   ≼ cdom 8893  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   − cmin 11381  -cneg 11382  ℕcn 12162  2c2 12217  ℚcq 12883  ℝ⁺crp 12927  ↑cexp 14002  √csqrt 15175  abscabs 15176  denomcdenom 16680

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-ico 13288  df-fz 13445  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-numer 16681  df-denom 16682

This theorem is referenced by:  pellexlem5  42814