Theorem jm2.17a 40698

Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑0))
2		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
4	1, 3	breq12d 5083	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
5	4	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏))
7		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
8	7	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9	6, 8	breq12d 5083	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
10	9	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)))
12		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
13	12	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
14	11, 13	breq12d 5083	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
15	14	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16		oveq2 7263	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁))
17		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
18	17	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
19	16, 18	breq12d 5083	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
20	19	imbi2d 340	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21		1le1 11533	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 1)
23		2cn 11978	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		eluzelcn 12523	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		mulcl 10886	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 10860	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 11150	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	26, 27, 28	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
30	29	exp0d 13786	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) = 1)
31		0p1e1 12025	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 7266	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33		rmy1 40668	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
34	32, 33	syl5eq 2791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
35	22, 30, 34	3brtr4d 5102	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36		2re 11977	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		eluzelre 12522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		remulcl 10887	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
40	36, 38, 39	sylancr 586	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41		1re 10906	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		resubcl 11215	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancl 585	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 12203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
46	43, 45	reexpcld 13809	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47	46	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
49		nn0z 12273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
50	49	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
51	50	peano2zd 12358	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
52		frmy 40652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
53	52	fovcl 7380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
54	53	zred 12355	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
55	48, 51, 54	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	55, 43	remulcld 10936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
57	56	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
58	51	peano2zd 12358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
59	52	fovcl 7380	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
60	59	zred 12355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
61	48, 58, 60	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62	61	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63	29	3ad2ant2 1132	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
64		simp1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
65	63, 64	expp1d 13793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)))
66		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	43, 66	reexpcld 13809	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 11976	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12553	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70	69	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
71		nnmulcl 11927	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	68, 70, 71	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
73		nnm1nn0 12204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
74		nn0ge0 12188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
75	72, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
76	43, 75	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1)))
77	67, 55, 76	3jca 1126	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))))
78		lemul1a 11759	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
79	77, 78	stoic3 1780	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
80	65, 79	eqbrtrd 5092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
81		nn0cn 12173	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
82	81	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
83		pncan 11157	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
84	82, 27, 83	sylancl 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
85	84	oveq2d 7271	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
86	52	fovcl 7380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
87	86	zred 12355	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
88	48, 50, 87	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
89	85, 88	eqeltrd 2839	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
90		remulcl 10887	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
91	55, 41, 90	sylancl 585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
92	40, 55	remulcld 10936	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93		nn0re 12172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
94	93	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
95	94	lep1d 11836	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ≤ (𝑏 + 1))
96		lermy 40693	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
97	48, 50, 51, 96	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
98	95, 97	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
99	55	recnd 10934	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	mulid1d 10923	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101	98, 85, 100	3brtr4d 5102	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1))
102	89, 91, 92, 101	lesub2dd 11522	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) ≤ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
103	40	recnd 10934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
104	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℂ)
105	99, 103, 104	subdid 11361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
106	99, 103	mulcomd 10927	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107	106	oveq1d 7270	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
108	105, 107	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
109		rmyluc2 40676	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
110	48, 51, 109	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
111	102, 108, 110	3brtr4d 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
112	111	3adant3 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
113	47, 57, 62, 80, 112	letrd 11062	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
114	113	3exp 1117	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115	114	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
116	5, 10, 15, 20, 35, 115	nn0ind 12345	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117	116	impcom 407	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   ≤ cle 10941   − cmin 11135  ℕcn 11903  2c2 11958  ℕ₀cn0 12163  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ↑cexp 13710   Y_rm crmy 40639

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-oadd 8271  df-omul 8272  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-xnn0 12236  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-dvds 15892  df-gcd 16130  df-numer 16367  df-denom 16368  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617  df-squarenn 40579  df-pell1qr 40580  df-pell14qr 40581  df-pell1234qr 40582  df-pellfund 40583  df-rmx 40640  df-rmy 40641

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  40755