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Theorem jm2.17a 39557
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑0))
2 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
41, 3breq12d 5078 . . . 4 (𝑎 = 0 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
54imbi2d 343 . . 3 (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏))
7 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
87oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
96, 8breq12d 5078 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
109imbi2d 343 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)))
12 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
1312oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1411, 13breq12d 5078 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
1514imbi2d 343 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16 oveq2 7163 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁))
17 oveq1 7162 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
1817oveq2d 7171 . . . . 5 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
1916, 18breq12d 5078 . . . 4 (𝑎 = 𝑁 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
2019imbi2d 343 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21 1le1 11267 . . . . 5 1 ≤ 1
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 1)
23 2cn 11711 . . . . . . 7 2 ∈ ℂ
24 eluzelcn 12254 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25 mulcl 10620 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
2623, 24, 25sylancr 589 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
27 ax-1cn 10594 . . . . . 6 1 ∈ ℂ
28 subcl 10884 . . . . . 6 (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
2926, 27, 28sylancl 588 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
3029exp0d 13503 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) = 1)
31 0p1e1 11758 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7166 . . . . 5 (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33 rmy1 39527 . . . . 5 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
3432, 33syl5eq 2868 . . . 4 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
3522, 30, 343brtr4d 5097 . . 3 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36 2re 11710 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
37 eluzelre 12253 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3837adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39 remulcl 10621 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
4036, 38, 39sylancr 589 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41 1re 10640 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 resubcl 10949 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
4340, 41, 42sylancl 588 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 11936 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
4544adantr 483 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
4643, 45reexpcld 13526 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47463adant3 1128 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48 simpr 487 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
49 nn0z 12004 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
5049adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
5150peano2zd 12089 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
52 frmy 39511 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
5352fovcl 7278 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
5453zred 12086 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5548, 51, 54syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5655, 43remulcld 10670 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
57563adant3 1128 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
5851peano2zd 12089 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
5952fovcl 7278 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
6059zred 12086 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
6148, 58, 60syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62613adant3 1128 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63293ad2ant2 1130 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
64 simp1 1132 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
6563, 64expp1d 13510 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)))
66 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
6743, 66reexpcld 13526 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68 2nn 11709 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
69 eluz2nn 12283 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
7069adantl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
71 nnmulcl 11660 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
7268, 70, 71sylancr 589 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
73 nnm1nn0 11937 . . . . . . . . . . 11 ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
74 nn0ge0 11921 . . . . . . . . . . 11 (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
7643, 75jca 514 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1)))
7767, 55, 763jca 1124 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))))
78 lemul1a 11493 . . . . . . . 8 ((((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
7977, 78stoic3 1773 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
8065, 79eqbrtrd 5087 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
81 nn0cn 11906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℂ)
8281adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
83 pncan 10891 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
8482, 27, 83sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
8584oveq2d 7171 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
8652fovcl 7278 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
8786zred 12086 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8848, 50, 87syl2anc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8985, 88eqeltrd 2913 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
90 remulcl 10621 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
9155, 41, 90sylancl 588 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
9240, 55remulcld 10670 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93 nn0re 11905 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℝ)
9493adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
9594lep1d 11570 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 𝑏 ≤ (𝑏 + 1))
96 lermy 39552 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9748, 50, 51, 96syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9895, 97mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9955recnd 10668 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℂ)
10099mulid1d 10657 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
10198, 85, 1003brtr4d 5097 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1))
10289, 91, 92, 101lesub2dd 11256 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) ≤ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
10340recnd 10668 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
10427a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → 1 ∈ ℂ)
10599, 103, 104subdid 11095 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
10699, 103mulcomd 10661 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107106oveq1d 7170 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
108105, 107eqtrd 2856 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
109 rmyluc2 39535 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
11048, 51, 109syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
111102, 108, 1103brtr4d 5097 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1121113adant3 1128 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
11347, 57, 62, 80, 112letrd 10796 . . . . 5 ((𝑏 ∈ ℕ0𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1141133exp 1115 . . . 4 (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115114a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
1165, 10, 15, 20, 35, 115nn0ind 12076 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117116impcom 410 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083   = wceq 1533  wcel 2110   class class class wbr 5065  cfv 6354  (class class class)co 7155  cc 10534  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   · cmul 10541  cle 10675  cmin 10869  cn 11637  2c2 11691  0cn0 11896  cz 11980  cuz 12242  cexp 13428   Yrm crmy 39498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-inf2 9103  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-iin 4921  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-supp 7830  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-2o 8102  df-oadd 8105  df-omul 8106  df-er 8288  df-map 8407  df-pm 8408  df-ixp 8461  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-fsupp 8833  df-fi 8874  df-sup 8905  df-inf 8906  df-oi 8973  df-card 9367  df-acn 9370  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-xnn0 11967  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-q 12348  df-rp 12389  df-xneg 12506  df-xadd 12507  df-xmul 12508  df-ioo 12741  df-ioc 12742  df-ico 12743  df-icc 12744  df-fz 12892  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-fac 13633  df-bc 13662  df-hash 13690  df-shft 14425  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-limsup 14827  df-clim 14844  df-rlim 14845  df-sum 15042  df-ef 15420  df-sin 15422  df-cos 15423  df-pi 15425  df-dvds 15607  df-gcd 15843  df-numer 16074  df-denom 16075  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-sca 16580  df-vsca 16581  df-ip 16582  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-hom 16588  df-cco 16589  df-rest 16695  df-topn 16696  df-0g 16714  df-gsum 16715  df-topgen 16716  df-pt 16717  df-prds 16720  df-xrs 16774  df-qtop 16779  df-imas 16780  df-xps 16782  df-mre 16856  df-mrc 16857  df-acs 16859  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-submnd 17956  df-mulg 18224  df-cntz 18446  df-cmn 18907  df-psmet 20536  df-xmet 20537  df-met 20538  df-bl 20539  df-mopn 20540  df-fbas 20541  df-fg 20542  df-cnfld 20545  df-top 21501  df-topon 21518  df-topsp 21540  df-bases 21553  df-cld 21626  df-ntr 21627  df-cls 21628  df-nei 21705  df-lp 21743  df-perf 21744  df-cn 21834  df-cnp 21835  df-haus 21922  df-tx 22169  df-hmeo 22362  df-fil 22453  df-fm 22545  df-flim 22546  df-flf 22547  df-xms 22929  df-ms 22930  df-tms 22931  df-cncf 23485  df-limc 24463  df-dv 24464  df-log 25139  df-squarenn 39438  df-pell1qr 39439  df-pell14qr 39440  df-pell1234qr 39441  df-pellfund 39442  df-rmx 39499  df-rmy 39500
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  39614
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