Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.17a 42259
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0))
2 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7420 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
41, 3breq12d 5154 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
54imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏))
7 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑏 + 1))
87oveq2d 7420 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
96, 8breq12d 5154 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
109imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)))
12 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘Ž + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
1312oveq2d 7420 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1411, 13breq12d 5154 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
1514imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16 oveq2 7412 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁))
17 oveq1 7411 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑁 + 1))
1817oveq2d 7420 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
1916, 18breq12d 5154 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
2019imbi2d 340 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21 1le1 11843 . . . . 5 1 ≀ 1
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ≀ 1)
23 2cn 12288 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
24 eluzelcn 12835 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
25 mulcl 11193 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
2623, 24, 25sylancr 586 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
27 ax-1cn 11167 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
28 subcl 11460 . . . . . 6 (((2 Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2926, 27, 28sylancl 585 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3029exp0d 14107 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) = 1)
31 0p1e1 12335 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7415 . . . . 5 (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33 rmy1 42229 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3432, 33eqtrid 2778 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
3522, 30, 343brtr4d 5173 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36 2re 12287 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
37 eluzelre 12834 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3837adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
39 remulcl 11194 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
4036, 38, 39sylancr 586 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
41 1re 11215 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 resubcl 11525 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4340, 41, 42sylancl 585 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12513 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„•0)
4544adantr 480 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„•0)
4643, 45reexpcld 14130 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47463adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
49 nn0z 12584 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5049adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5150peano2zd 12670 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
52 frmy 42213 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
5352fovcl 7532 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„€)
5453zred 12667 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5548, 51, 54syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5655, 43remulcld 11245 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
57563adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5851peano2zd 12670 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€)
5952fovcl 7532 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ β„€)
6059zred 12667 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
6148, 58, 60syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62613adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63293ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
64 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
6563, 64expp1d 14114 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
66 simpl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
6743, 66reexpcld 14130 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68 2nn 12286 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
69 eluz2nn 12869 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7069adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
71 nnmulcl 12237 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
7268, 70, 71sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
73 nnm1nn0 12514 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· 𝐴) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
74 nn0ge0 12498 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
7643, 75jca 511 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
7767, 55, 763jca 1125 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))))
78 lemul1a 12069 . . . . . . . 8 ((((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
7977, 78stoic3 1770 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
8065, 79eqbrtrd 5163 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
81 nn0cn 12483 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
8281adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
83 pncan 11467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 1) βˆ’ 1) = 𝑏)
8482, 27, 83sylancl 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑏 + 1) βˆ’ 1) = 𝑏)
8584oveq2d 7420 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
8652fovcl 7532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
8786zred 12667 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8848, 50, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8985, 88eqeltrd 2827 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
90 remulcl 11194 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) ∈ ℝ)
9155, 41, 90sylancl 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) ∈ ℝ)
9240, 55remulcld 11245 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93 nn0re 12482 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
9493adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
9594lep1d 12146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ≀ (𝑏 + 1))
96 lermy 42254 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑏 ≀ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9748, 50, 51, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 ≀ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9895, 97mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9955recnd 11243 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„‚)
10099mulridd 11232 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
10198, 85, 1003brtr4d 5173 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1))
10289, 91, 92, 101lesub2dd 11832 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)) ≀ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
10340recnd 11243 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
10427a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 ∈ β„‚)
10599, 103, 104subdid 11671 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
10699, 103mulcomd 11236 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107106oveq1d 7419 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
108105, 107eqtrd 2766 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
109 rmyluc2 42237 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
11048, 51, 109syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
111102, 108, 1103brtr4d 5173 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1121113adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
11347, 57, 62, 80, 112letrd 11372 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1141133exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115114a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
1165, 10, 15, 20, 35, 115nn0ind 12658 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117116impcom 407 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β†‘cexp 14029   Yrm crmy 42199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16677  df-denom 16678  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-squarenn 42139  df-pell1qr 42140  df-pell14qr 42141  df-pell1234qr 42142  df-pellfund 42143  df-rmx 42200  df-rmy 42201
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  42316
  Copyright terms: Public domain W3C validator