Theorem jm2.17a 39901

Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17a	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑0))
2		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝑎 + 1) = (0 + 1))
3	2	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 0 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
4	1, 3	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 0 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
5	4	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏))
7		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 + 1) = (𝑏 + 1))
8	7	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9	6, 8	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
10	9	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)))
12		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝑎 + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
13	12	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
14	11, 13	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
15	14	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = (𝑏 + 1) → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16		oveq2 7143	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) = (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁))
17		oveq1 7142	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝑎 + 1) = (𝑁 + 1))
18	17	oveq2d 7151	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
19	16, 18	breq12d 5043	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1)) ↔ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
20	19	imbi2d 344	. . 3 ⊢ (𝑎 = 𝑁 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑎) ≤ (𝐴 Yrm (𝑎 + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21		1le1 11257	. . . . 5 ⊢ 1 ≤ 1
22	21	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 1 ≤ 1)
23		2cn 11700	. . . . . . 7 ⊢ 2 ∈ ℂ
24		eluzelcn 12243	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
25		mulcl 10610	. . . . . . 7 ⊢ ((2 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
26	23, 24, 25	sylancr 590	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
27		ax-1cn 10584	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
28		subcl 10874	. . . . . 6 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
29	26, 27, 28	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
30	29	exp0d 13500	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) = 1)
31		0p1e1 11747	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
32	31	oveq2i 7146	. . . . 5 ⊢ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33		rmy1 39871	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
34	32, 33	syl5eq 2845	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
35	22, 30, 34	3brtr4d 5062	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑0) ≤ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36		2re 11699	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℝ
37		eluzelre 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
38	37	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℝ)
39		remulcl 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
40	36, 38, 39	sylancr 590	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41		1re 10630	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
42		resubcl 10939	. . . . . . . . 9 ⊢ (((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
43	40, 41, 42	sylancl 589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ)
44		peano2nn0 11925	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
45	44	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℕ0)
46	43, 45	reexpcld 13523	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47	46	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48		simpr 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
49		nn0z 11993	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℤ)
50	49	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℤ)
51	50	peano2zd 12078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 + 1) ∈ ℤ)
52		frmy 39855	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
53	52	fovcl 7258	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℤ)
54	53	zred 12075	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
55	48, 51, 54	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
56	55, 43	remulcld 10660	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
57	56	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ∈ ℝ)
58	51	peano2zd 12078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ)
59	52	fovcl 7258	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℤ)
60	59	zred 12075	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
61	48, 58, 60	syl2anc 587	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62	61	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63	29	3ad2ant2 1131	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℂ)
64		simp1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → 𝑏 ∈ ℕ0)
65	63, 64	expp1d 13507	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)))
66		simpl 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℕ0)
67	43, 66	reexpcld 13523	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68		2nn 11698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
69		eluz2nn 12272	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
70	69	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝐴 ∈ ℕ)
71		nnmulcl 11649	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
72	68, 70, 71	sylancr 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
73		nnm1nn0 11926	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 𝐴) ∈ ℕ → ((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0)
74		nn0ge0 11910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℕ0 → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
75	72, 73, 74	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))
76	43, 75	jca 515	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1)))
77	67, 55, 76	3jca 1125	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))))
78		lemul1a 11483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 · 𝐴) − 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((2 · 𝐴) − 1))) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
79	77, 78	stoic3 1778	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
80	65, 79	eqbrtrd 5052	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)))
81		nn0cn 11895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℂ)
82	81	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℂ)
83		pncan 10881	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
84	82, 27, 83	sylancl 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝑏 + 1) − 1) = 𝑏)
85	84	oveq2d 7151	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
86	52	fovcl 7258	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
87	86	zred 12075	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
88	48, 50, 87	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
89	85, 88	eqeltrd 2890	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
90		remulcl 10611	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
91	55, 41, 90	sylancl 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) ∈ ℝ)
92	40, 55	remulcld 10660	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93		nn0re 11894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → 𝑏 ∈ ℝ)
94	93	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ∈ ℝ)
95	94	lep1d 11560	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 𝑏 ≤ (𝑏 + 1))
96		lermy 39896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
97	48, 50, 51, 96	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝑏 ≤ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
98	95, 97	mpbid 235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
99	55	recnd 10658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℂ)
100	99	mulid1d 10647	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
101	98, 85, 100	3brtr4d 5062	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1)) ≤ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1))
102	89, 91, 92, 101	lesub2dd 11246	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) ≤ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
103	40	recnd 10658	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
104	27	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → 1 ∈ ℂ)
105	99, 103, 104	subdid 11085	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
106	99, 103	mulcomd 10651	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107	106	oveq1d 7150	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · (2 · 𝐴)) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
108	105, 107	eqtrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · 1)))
109		rmyluc2 39879	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
110	48, 51, 109	syl2anc 587	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) − 1))))
111	102, 108, 110	3brtr4d 5062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2)) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
112	111	3adant3 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) · ((2 · 𝐴) − 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
113	47, 57, 62, 80, 112	letrd 10786	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
114	113	3exp 1116	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115	114	a2d 29	. . 3 ⊢ (𝑏 ∈ ℕ0 → ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑏) ≤ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑(𝑏 + 1)) ≤ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
116	5, 10, 15, 20, 35, 115	nn0ind 12065	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117	116	impcom 411	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (((2 · 𝐴) − 1)↑𝑁) ≤ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   ≤ cle 10665   − cmin 10859  ℕcn 11625  2c2 11680  ℕ₀cn0 11885  ℤcz 11969  ℤ_≥cuz 12231  ↑cexp 13425   Y_rm crmy 39842

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-omul 8090  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-fi 8859  df-sup 8890  df-inf 8891  df-oi 8958  df-card 9352  df-acn 9355  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14418  df-cj 14450  df-re 14451  df-im 14452  df-sqrt 14586  df-abs 14587  df-limsup 14820  df-clim 14837  df-rlim 14838  df-sum 15035  df-ef 15413  df-sin 15415  df-cos 15416  df-pi 15418  df-dvds 15600  df-gcd 15834  df-numer 16065  df-denom 16066  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-starv 16572  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-unif 16580  df-hom 16581  df-cco 16582  df-rest 16688  df-topn 16689  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-topgen 16709  df-pt 16710  df-prds 16713  df-xrs 16767  df-qtop 16772  df-imas 16773  df-xps 16775  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-submnd 17949  df-mulg 18217  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-psmet 20083  df-xmet 20084  df-met 20085  df-bl 20086  df-mopn 20087  df-fbas 20088  df-fg 20089  df-cnfld 20092  df-top 21499  df-topon 21516  df-topsp 21538  df-bases 21551  df-cld 21624  df-ntr 21625  df-cls 21626  df-nei 21703  df-lp 21741  df-perf 21742  df-cn 21832  df-cnp 21833  df-haus 21920  df-tx 22167  df-hmeo 22360  df-fil 22451  df-fm 22543  df-flim 22544  df-flf 22545  df-xms 22927  df-ms 22928  df-tms 22929  df-cncf 23483  df-limc 24469  df-dv 24470  df-log 25148  df-squarenn 39782  df-pell1qr 39783  df-pell14qr 39784  df-pell1234qr 39785  df-pellfund 39786  df-rmx 39843  df-rmy 39844

This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  39958