Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.17a 42412
Description: First half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17a ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17a
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0))
2 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘Ž = 0 β†’ (π‘Ž + 1) = (0 + 1))
32oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘Ž = 0 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (0 + 1)))
41, 3breq12d 5165 . . . 4 (π‘Ž = 0 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1))))
54imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1)))))
6 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏))
7 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑏 + 1))
87oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑏 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
96, 8breq12d 5165 . . . 4 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
109imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑏 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))))
11 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)))
12 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (π‘Ž + 1) = ((𝑏 + 1) + 1))
1312oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1411, 13breq12d 5165 . . . 4 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1))))
1514imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = (𝑏 + 1) β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
16 oveq2 7434 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) = (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁))
17 oveq1 7433 . . . . . 6 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (π‘Ž + 1) = (𝑁 + 1))
1817oveq2d 7442 . . . . 5 (π‘Ž = 𝑁 β†’ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
1916, 18breq12d 5165 . . . 4 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
2019imbi2d 339 . . 3 (π‘Ž = 𝑁 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)β†‘π‘Ž) ≀ (𝐴 Yrm (π‘Ž + 1))) ↔ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
21 1le1 11880 . . . . 5 1 ≀ 1
2221a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 1 ≀ 1)
23 2cn 12325 . . . . . . 7 2 ∈ β„‚
24 eluzelcn 12872 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
25 mulcl 11230 . . . . . . 7 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
2623, 24, 25sylancr 585 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
27 ax-1cn 11204 . . . . . 6 1 ∈ β„‚
28 subcl 11497 . . . . . 6 (((2 Β· 𝐴) ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2926, 27, 28sylancl 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
3029exp0d 14144 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) = 1)
31 0p1e1 12372 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
3231oveq2i 7437 . . . . 5 (𝐴 Yrm (0 + 1)) = (𝐴 Yrm 1)
33 rmy1 42382 . . . . 5 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
3432, 33eqtrid 2780 . . . 4 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm (0 + 1)) = 1)
3522, 30, 343brtr4d 5184 . . 3 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑0) ≀ (𝐴 Yrm (0 + 1)))
36 2re 12324 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
37 eluzelre 12871 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
3837adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
39 remulcl 11231 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
4036, 38, 39sylancr 585 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
41 1re 11252 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
42 resubcl 11562 . . . . . . . . 9 (((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
4340, 41, 42sylancl 584 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
44 peano2nn0 12550 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„•0)
4544adantr 479 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„•0)
4643, 45reexpcld 14167 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
47463adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
48 simpr 483 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
49 nn0z 12621 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5049adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„€)
5150peano2zd 12707 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 + 1) ∈ β„€)
52 frmy 42366 . . . . . . . . . . 11 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
5352fovcl 7555 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„€)
5453zred 12704 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5548, 51, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ)
5655, 43remulcld 11282 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
57563adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
5851peano2zd 12707 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€)
5952fovcl 7555 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ β„€)
6059zred 12704 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ ((𝑏 + 1) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
6148, 58, 60syl2anc 582 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
62613adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) ∈ ℝ)
63293ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
64 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
6563, 64expp1d 14151 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) = ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
66 simpl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„•0)
6743, 66reexpcld 14167 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ)
68 2nn 12323 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ β„•
69 eluz2nn 12906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
7069adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
71 nnmulcl 12274 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
7268, 70, 71sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
73 nnm1nn0 12551 . . . . . . . . . . 11 ((2 Β· 𝐴) ∈ β„• β†’ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
74 nn0ge0 12535 . . . . . . . . . . 11 (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
7572, 73, 743syl 18 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))
7643, 75jca 510 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
7767, 55, 763jca 1125 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))))
78 lemul1a 12106 . . . . . . . 8 ((((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ∈ ℝ ∧ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1))) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
7977, 78stoic3 1770 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
8065, 79eqbrtrd 5174 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)))
81 nn0cn 12520 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
83 pncan 11504 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 1) βˆ’ 1) = 𝑏)
8482, 27, 83sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝑏 + 1) βˆ’ 1) = 𝑏)
8584oveq2d 7442 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm 𝑏))
8652fovcl 7555 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ β„€)
8786zred 12704 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8848, 50, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
8985, 88eqeltrd 2829 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
90 remulcl 11231 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) ∈ ℝ)
9155, 41, 90sylancl 584 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) ∈ ℝ)
9240, 55remulcld 11282 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) ∈ ℝ)
93 nn0re 12519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
9493adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ∈ ℝ)
9594lep1d 12183 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 𝑏 ≀ (𝑏 + 1))
96 lermy 42407 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑏 ∈ β„€ ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑏 ≀ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9748, 50, 51, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝑏 ≀ (𝑏 + 1) ↔ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
9895, 97mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm 𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
9955recnd 11280 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) ∈ β„‚)
10099mulridd 11269 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
10198, 85, 1003brtr4d 5184 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1)) ≀ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1))
10289, 91, 92, 101lesub2dd 11869 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)) ≀ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
10340recnd 11280 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
10427a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ 1 ∈ β„‚)
10599, 103, 104subdid 11708 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
10699, 103mulcomd 11273 . . . . . . . . . 10 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))))
107106oveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· (2 Β· 𝐴)) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
108105, 107eqtrd 2768 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· 1)))
109 rmyluc2 42390 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑏 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
11048, 51, 109syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) βˆ’ 1))))
111102, 108, 1103brtr4d 5184 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2)) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1121113adant3 1129 . . . . . 6 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) Β· ((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
11347, 57, 62, 80, 112letrd 11409 . . . . 5 ((𝑏 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))
1141133exp 1116 . . . 4 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
115114a2d 29 . . 3 (𝑏 ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑏) ≀ (𝐴 Yrm (𝑏 + 1))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑(𝑏 + 1)) ≀ (𝐴 Yrm ((𝑏 + 1) + 1)))))
1165, 10, 15, 20, 35, 115nn0ind 12695 . 2 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
117116impcom 406 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (((2 Β· 𝐴) βˆ’ 1)↑𝑁) ≀ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by:  jm3.1lem1  42469
  Copyright terms: Public domain W3C validator