Theorem jm2.26 43539

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 43517	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
2	1	ad2ant2l 756	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
3		acongrep 43517	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
4	3	ad2ant2lr 758	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
5		2z 12596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		simpl1l 1237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7		nnz 12582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	5, 9, 10	sylancr 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12		simplrl 786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	3ad2antl1 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpl3l 1241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
15	14	elfzelzd 13523	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		simplrr 787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	3ad2antl1 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		simpl2r 1240	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
19		simpl2l 1239	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
21	20	3ad2antl1 1198	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		frmx 43450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12586	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
25	21, 9, 24	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	19	elfzelzd 13523	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27		frmy 43451	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
28	27	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
29	21, 26, 28	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
30	27	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
31	21, 17, 30	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
32	27	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
33	21, 15, 32	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
34	27	fovcl 7518	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
35	21, 13, 34	syl2anc 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
36		jm2.26a 43537	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
37	21, 9, 26, 13, 36	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
38	18, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40		acongtr 43515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
41	25, 29, 35, 31, 38, 39, 40	syl222anc 1404	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42		simpl3r 1242	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
43		acongsym 43513	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
44	11, 15, 17, 42, 43	syl31anc 1391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
45		jm2.26a 43537	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
46	21, 9, 17, 15, 45	syl22anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
48		acongtr 43515	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
49	25, 29, 31, 33, 41, 47, 48	syl222anc 1404	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
50		jm2.26lem3 43538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))) → 𝑘 = 𝑚)
51	6, 19, 14, 49, 50	syl121anc 1393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 = 𝑚)
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
53		eqidd 2762	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐾 = 𝐾)
54	52, 53	acongeq12d 43516	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
56	18, 55	mpbid 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾)))
57		acongsym 43513	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
58	11, 15, 13, 56, 57	syl31anc 1391	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
59		acongtr 43515	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
60	11, 13, 15, 17, 58, 42, 59	syl222anc 1404	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
61	60	3exp1 1365	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
62	61	expd 419	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))))
63	62	rexlimdv 3160	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
64	4, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
65	64	expd 419	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
66	65	rexlimdv 3160	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
67	2, 66	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))
68		jm2.26a 43537	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	7, 68	sylanl2 691	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
70	67, 69	impbid 214	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∧ w3a 1097   ∈ wcel 2141  ∃wrex 3085   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390  0cc0 11066   · cmul 11071   − cmin 11407  -cneg 11408  ℕcn 12203  2c2 12265  ℕ₀cn0 12474  ℤcz 12561  ℤ_≥cuz 12832  ...cfz 13505   ∥ cdvds 16276   X_rm crmx 43437   Y_rm crmy 43438

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712  ax-inf2 9589  ax-cnex 11122  ax-resscn 11123  ax-1cn 11124  ax-icn 11125  ax-addcl 11126  ax-addrcl 11127  ax-mulcl 11128  ax-mulrcl 11129  ax-mulcom 11130  ax-addass 11131  ax-mulass 11132  ax-distr 11133  ax-i2m1 11134  ax-1ne0 11135  ax-1rid 11136  ax-rnegex 11137  ax-rrecex 11138  ax-cnre 11139  ax-pre-lttri 11140  ax-pre-lttrn 11141  ax-pre-ltadd 11142  ax-pre-mulgt0 11143  ax-pre-sup 11144  ax-addf 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-lim 6345  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-isom 6524  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7654  df-om 7841  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-supp 8134  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-rdg 8374  df-1o 8430  df-2o 8431  df-oadd 8434  df-omul 8435  df-er 8671  df-map 8803  df-pm 8804  df-ixp 8873  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-fin 8924  df-fsupp 9301  df-fi 9350  df-sup 9381  df-inf 9382  df-oi 9451  df-card 9890  df-acn 9893  df-pnf 11211  df-mnf 11212  df-xr 11213  df-ltxr 11214  df-le 11215  df-sub 11409  df-neg 11410  df-div 11838  df-nn 12204  df-2 12273  df-3 12274  df-4 12275  df-5 12276  df-6 12277  df-7 12278  df-8 12279  df-9 12280  df-n0 12475  df-xnn0 12548  df-z 12562  df-dec 12682  df-uz 12833  df-q 12943  df-rp 12987  df-xneg 13107  df-xadd 13108  df-xmul 13109  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13506  df-fzo 13653  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14008  df-exp 14068  df-fac 14280  df-bc 14309  df-hash 14337  df-shft 15073  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-limsup 15488  df-clim 15505  df-rlim 15506  df-sum 15704  df-ef 16087  df-sin 16089  df-cos 16090  df-pi 16092  df-dvds 16277  df-gcd 16519  df-numer 16760  df-denom 16761  df-struct 17173  df-sets 17190  df-slot 17208  df-ndx 17220  df-base 17236  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17522  df-qtop 17527  df-imas 17528  df-xps 17530  df-mre 17604  df-mrc 17605  df-acs 17607  df-mgm 18664  df-sgrp 18743  df-mnd 18759  df-submnd 18808  df-mulg 19100  df-cntz 19347  df-cmn 19812  df-psmet 21403  df-xmet 21404  df-met 21405  df-bl 21406  df-mopn 21407  df-fbas 21408  df-fg 21409  df-cnfld 21412  df-top 22941  df-topon 22958  df-topsp 22980  df-bases 22993  df-cld 23066  df-ntr 23067  df-cls 23068  df-nei 23145  df-lp 23183  df-perf 23184  df-cn 23274  df-cnp 23275  df-haus 23362  df-tx 23609  df-hmeo 23802  df-fil 23893  df-fm 23985  df-flim 23986  df-flf 23987  df-xms 24367  df-ms 24368  df-tms 24369  df-cncf 24927  df-limc 25915  df-dv 25916  df-log 26608  df-squarenn 43378  df-pell1qr 43379  df-pell14qr 43380  df-pell1234qr 43381  df-pellfund 43382  df-rmx 43439  df-rmy 43440

This theorem is referenced by:  jm2.27a  43542