Theorem jm2.26 41731

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 41709	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
2	1	ad2ant2l 744	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
3		acongrep 41709	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
4	3	ad2ant2lr 746	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
5		2z 12593	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		simpl1l 1224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7		nnz 12578	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	5, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12		simplrl 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpl3l 1228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
15	14	elfzelzd 13501	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		simpl2r 1227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
19		simpl2l 1226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		simplll 773	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
21	20	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		frmx 41642	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
25	21, 9, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	19	elfzelzd 13501	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27		frmy 41643	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
28	27	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
29	21, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
30	27	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
31	21, 17, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
32	27	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
33	21, 15, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
34	27	fovcl 7536	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
35	21, 13, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
36		jm2.26a 41729	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
37	21, 9, 26, 13, 36	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
38	18, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40		acongtr 41707	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
41	25, 29, 35, 31, 38, 39, 40	syl222anc 1386	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42		simpl3r 1229	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
43		acongsym 41705	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
44	11, 15, 17, 42, 43	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
45		jm2.26a 41729	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
46	21, 9, 17, 15, 45	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
48		acongtr 41707	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
49	25, 29, 31, 33, 41, 47, 48	syl222anc 1386	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
50		jm2.26lem3 41730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))) → 𝑘 = 𝑚)
51	6, 19, 14, 49, 50	syl121anc 1375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 = 𝑚)
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
53		eqidd 2733	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐾 = 𝐾)
54	52, 53	acongeq12d 41708	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
56	18, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾)))
57		acongsym 41705	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
58	11, 15, 13, 56, 57	syl31anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
59		acongtr 41707	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
60	11, 13, 15, 17, 58, 42, 59	syl222anc 1386	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
61	60	3exp1 1352	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
62	61	expd 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))))
63	62	rexlimdv 3153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
64	4, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
65	64	expd 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
66	65	rexlimdv 3153	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
67	2, 66	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))
68		jm2.26a 41729	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	7, 68	sylanl2 679	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
70	67, 69	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   class class class wbr 5148  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  0cc0 11109   · cmul 11114   − cmin 11443  -cneg 11444  ℕcn 12211  2c2 12266  ℕ₀cn0 12471  ℤcz 12557  ℤ_≥cuz 12821  ...cfz 13483   ∥ cdvds 16196   X_rm crmx 41628   Y_rm crmy 41629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-xnn0 12544  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ioc 13328  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-mod 13834  df-seq 13966  df-exp 14027  df-fac 14233  df-bc 14262  df-hash 14290  df-shft 15013  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-ef 16010  df-sin 16012  df-cos 16013  df-pi 16015  df-dvds 16197  df-gcd 16435  df-numer 16670  df-denom 16671  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-rest 17367  df-topn 17368  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-topgen 17388  df-pt 17389  df-prds 17392  df-xrs 17447  df-qtop 17452  df-imas 17453  df-xps 17455  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-mulg 18950  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-fbas 20940  df-fg 20941  df-cnfld 20944  df-top 22395  df-topon 22412  df-topsp 22434  df-bases 22448  df-cld 22522  df-ntr 22523  df-cls 22524  df-nei 22601  df-lp 22639  df-perf 22640  df-cn 22730  df-cnp 22731  df-haus 22818  df-tx 23065  df-hmeo 23258  df-fil 23349  df-fm 23441  df-flim 23442  df-flf 23443  df-xms 23825  df-ms 23826  df-tms 23827  df-cncf 24393  df-limc 25382  df-dv 25383  df-log 26064  df-squarenn 41569  df-pell1qr 41570  df-pell14qr 41571  df-pell1234qr 41572  df-pellfund 41573  df-rmx 41630  df-rmy 41631

This theorem is referenced by:  jm2.27a  41734