Theorem jm2.26 42300

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 42278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
2	1	ad2ant2l 743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
3		acongrep 42278	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
4	3	ad2ant2lr 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
5		2z 12595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		simpl1l 1221	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7		nnz 12580	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12612	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	5, 9, 10	sylancr 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12		simplrl 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpl3l 1225	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
15	14	elfzelzd 13505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		simpl2r 1224	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
19		simpl2l 1223	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
21	20	3ad2antl1 1182	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		frmx 42211	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
25	21, 9, 24	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	19	elfzelzd 13505	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27		frmy 42212	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
28	27	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
29	21, 26, 28	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
30	27	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
31	21, 17, 30	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
32	27	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
33	21, 15, 32	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
34	27	fovcl 7532	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
35	21, 13, 34	syl2anc 583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
36		jm2.26a 42298	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
37	21, 9, 26, 13, 36	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
38	18, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40		acongtr 42276	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
41	25, 29, 35, 31, 38, 39, 40	syl222anc 1383	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42		simpl3r 1226	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
43		acongsym 42274	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
44	11, 15, 17, 42, 43	syl31anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
45		jm2.26a 42298	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
46	21, 9, 17, 15, 45	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
48		acongtr 42276	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
49	25, 29, 31, 33, 41, 47, 48	syl222anc 1383	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
50		jm2.26lem3 42299	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))) → 𝑘 = 𝑚)
51	6, 19, 14, 49, 50	syl121anc 1372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 = 𝑚)
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
53		eqidd 2727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐾 = 𝐾)
54	52, 53	acongeq12d 42277	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
56	18, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾)))
57		acongsym 42274	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
58	11, 15, 13, 56, 57	syl31anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
59		acongtr 42276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
60	11, 13, 15, 17, 58, 42, 59	syl222anc 1383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
61	60	3exp1 1349	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
62	61	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))))
63	62	rexlimdv 3147	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
64	4, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
65	64	expd 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
66	65	rexlimdv 3147	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
67	2, 66	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))
68		jm2.26a 42298	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	7, 68	sylanl2 678	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
70	67, 69	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3064   class class class wbr 5141  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  0cc0 11109   · cmul 11114   − cmin 11445  -cneg 11446  ℕcn 12213  2c2 12268  ℕ₀cn0 12473  ℤcz 12559  ℤ_≥cuz 12823  ...cfz 13487   ∥ cdvds 16202   X_rm crmx 42197   Y_rm crmy 42198

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-sin 16017  df-cos 16018  df-pi 16020  df-dvds 16203  df-gcd 16441  df-numer 16678  df-denom 16679  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-psmet 21228  df-xmet 21229  df-met 21230  df-bl 21231  df-mopn 21232  df-fbas 21233  df-fg 21234  df-cnfld 21237  df-top 22747  df-topon 22764  df-topsp 22786  df-bases 22800  df-cld 22874  df-ntr 22875  df-cls 22876  df-nei 22953  df-lp 22991  df-perf 22992  df-cn 23082  df-cnp 23083  df-haus 23170  df-tx 23417  df-hmeo 23610  df-fil 23701  df-fm 23793  df-flim 23794  df-flf 23795  df-xms 24177  df-ms 24178  df-tms 24179  df-cncf 24749  df-limc 25746  df-dv 25747  df-log 26441  df-squarenn 42138  df-pell1qr 42139  df-pell14qr 42140  df-pell1234qr 42141  df-pellfund 42142  df-rmx 42199  df-rmy 42200

This theorem is referenced by:  jm2.27a  42303