Theorem jm2.26 42978

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 42956	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
2	1	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
3		acongrep 42956	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
4	3	ad2ant2lr 748	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
5		2z 12525	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		simpl1l 1225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7		nnz 12510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12542	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	5, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12		simplrl 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpl3l 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
15	14	elfzelzd 13446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		simpl2r 1228	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
19		simpl2l 1227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
21	20	3ad2antl1 1186	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		frmx 42889	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12515	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
25	21, 9, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	19	elfzelzd 13446	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27		frmy 42890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
28	27	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
29	21, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
30	27	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
31	21, 17, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
32	27	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
33	21, 15, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
34	27	fovcl 7481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
35	21, 13, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
36		jm2.26a 42976	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
37	21, 9, 26, 13, 36	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
38	18, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40		acongtr 42954	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
41	25, 29, 35, 31, 38, 39, 40	syl222anc 1388	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42		simpl3r 1230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
43		acongsym 42952	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
44	11, 15, 17, 42, 43	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
45		jm2.26a 42976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
46	21, 9, 17, 15, 45	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
48		acongtr 42954	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
49	25, 29, 31, 33, 41, 47, 48	syl222anc 1388	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
50		jm2.26lem3 42977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))) → 𝑘 = 𝑚)
51	6, 19, 14, 49, 50	syl121anc 1377	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 = 𝑚)
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
53		eqidd 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐾 = 𝐾)
54	52, 53	acongeq12d 42955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
56	18, 55	mpbid 232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾)))
57		acongsym 42952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
58	11, 15, 13, 56, 57	syl31anc 1375	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
59		acongtr 42954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
60	11, 13, 15, 17, 58, 42, 59	syl222anc 1388	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
61	60	3exp1 1353	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
62	61	expd 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))))
63	62	rexlimdv 3128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
64	4, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
65	64	expd 415	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
66	65	rexlimdv 3128	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
67	2, 66	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))
68		jm2.26a 42976	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	7, 68	sylanl2 681	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
70	67, 69	impbid 212	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  0cc0 11028   · cmul 11033   − cmin 11365  -cneg 11366  ℕcn 12146  2c2 12201  ℕ₀cn0 12402  ℤcz 12489  ℤ_≥cuz 12753  ...cfz 13428   ∥ cdvds 16181   X_rm crmx 42876   Y_rm crmy 42877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-inf2 9556  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106  ax-addf 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-iin 4947  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-of 7617  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-omul 8400  df-er 8632  df-map 8762  df-pm 8763  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9271  df-fi 9320  df-sup 9351  df-inf 9352  df-oi 9421  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-xnn0 12476  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-q 12868  df-rp 12912  df-xneg 13032  df-xadd 13033  df-xmul 13034  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-ico 13272  df-icc 13273  df-fz 13429  df-fzo 13576  df-fl 13714  df-mod 13792  df-seq 13927  df-exp 13987  df-fac 14199  df-bc 14228  df-hash 14256  df-shft 14992  df-cj 15024  df-re 15025  df-im 15026  df-sqrt 15160  df-abs 15161  df-limsup 15396  df-clim 15413  df-rlim 15414  df-sum 15612  df-ef 15992  df-sin 15994  df-cos 15995  df-pi 15997  df-dvds 16182  df-gcd 16424  df-numer 16664  df-denom 16665  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-hom 17203  df-cco 17204  df-rest 17344  df-topn 17345  df-0g 17363  df-gsum 17364  df-topgen 17365  df-pt 17366  df-prds 17369  df-xrs 17424  df-qtop 17429  df-imas 17430  df-xps 17432  df-mre 17506  df-mrc 17507  df-acs 17509  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-submnd 18676  df-mulg 18965  df-cntz 19214  df-cmn 19679  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22797  df-topon 22814  df-topsp 22836  df-bases 22849  df-cld 22922  df-ntr 22923  df-cls 22924  df-nei 23001  df-lp 23039  df-perf 23040  df-cn 23130  df-cnp 23131  df-haus 23218  df-tx 23465  df-hmeo 23658  df-fil 23749  df-fm 23841  df-flim 23842  df-flf 23843  df-xms 24224  df-ms 24225  df-tms 24226  df-cncf 24787  df-limc 25783  df-dv 25784  df-log 26481  df-squarenn 42817  df-pell1qr 42818  df-pell14qr 42819  df-pell1234qr 42820  df-pellfund 42821  df-rmx 42878  df-rmy 42879

This theorem is referenced by:  jm2.27a  42981