Theorem jm2.26 40824

Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.26	⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26

Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		acongrep 40802	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
2	1	ad2ant2l 743	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
3		acongrep 40802	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
4	3	ad2ant2lr 745	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
5		2z 12352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 2 ∈ ℤ
6		simpl1l 1223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ))
7		nnz 12342	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	adantl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
9	6, 8	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑁 ∈ ℤ)
10		zmulcl 12369	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
11	5, 9, 10	sylancr 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (2 · 𝑁) ∈ ℤ)
12		simplrl 774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
13	12	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ℤ)
14		simpl3l 1227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ (0...𝑁))
15	14	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑚 ∈ ℤ)
16		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
17	16	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑀 ∈ ℤ)
18		simpl2r 1226	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)))
19		simpl2l 1225	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ (0...𝑁))
20		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
21	20	3ad2antl1 1184	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
22		frmx 40735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
23	22	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
24	23	nn0zd 12424	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
25	21, 9, 24	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ)
26	19	elfzelzd 13257	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 ∈ ℤ)
27		frmy 40736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
28	27	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
29	21, 26, 28	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ)
30	27	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
31	21, 17, 30	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ)
32	27	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑚 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
33	21, 15, 32	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ)
34	27	fovcl 7402	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
35	21, 13, 34	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ)
36		jm2.26a 40822	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
37	21, 9, 26, 13, 36	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
38	18, 37	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40		acongtr 40800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
41	25, 29, 35, 31, 38, 39, 40	syl222anc 1385	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42		simpl3r 1228	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))
43		acongsym 40798	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
44	11, 15, 17, 42, 43	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)))
45		jm2.26a 40822	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
46	21, 9, 17, 15, 45	syl22anc 836	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑀 − -𝑚)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))))
47	44, 46	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
48		acongtr 40800	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑘) ∈ ℤ) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐴 Yrm 𝑚) ∈ ℤ) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑀) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
49	25, 29, 31, 33, 41, 47, 48	syl222anc 1385	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚))))
50		jm2.26lem3 40823	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ 𝑚 ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − (𝐴 Yrm 𝑚)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝑘) − -(𝐴 Yrm 𝑚)))) → 𝑘 = 𝑚)
51	6, 19, 14, 49, 50	syl121anc 1374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → 𝑘 = 𝑚)
52		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝑘 = 𝑚)
53		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → 𝐾 = 𝐾)
54	52, 53	acongeq12d 40801	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑘 = 𝑚 → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
55	51, 54	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))))
56	18, 55	mpbid 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾)))
57		acongsym 40798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝐾))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
58	11, 15, 13, 56, 57	syl31anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)))
59		acongtr 40800	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((2 · 𝑁) ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) ∧ (𝑚 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑚) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑚)) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
60	11, 13, 15, 17, 58, 42, 59	syl222anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) ∧ (𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) ∧ (𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))
61	60	3exp1 1351	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑘 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾))) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
62	61	expd 416	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑘 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))))
63	62	rexlimdv 3212	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑘 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − 𝐾) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑘 − -𝐾)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
64	4, 63	mpd 15	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → ((𝑚 ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀))) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
65	64	expd 416	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝑚 ∈ (0...𝑁) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))))
66	65	rexlimdv 3212	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (∃𝑚 ∈ (0...𝑁)((2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝑚 − -𝑀)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)))))
67	2, 66	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) → ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))
68		jm2.26a 40822	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
69	7, 68	sylanl2 678	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀)) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
70	67, 69	impbid 211	1 ⊢ (((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (((𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) ∥ ((𝐴 Yrm 𝐾) − -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − 𝑀) ∨ (2 · 𝑁) ∥ (𝐾 − -𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871   · cmul 10876   − cmin 11205  -cneg 11206  ℕcn 11973  2c2 12028  ℕ₀cn0 12233  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582  ...cfz 13239   ∥ cdvds 15963   X_rm crmx 40722   Y_rm crmy 40723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-omul 8302  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-acn 9700  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-pi 15782  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-numer 16439  df-denom 16440  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712  df-squarenn 40663  df-pell1qr 40664  df-pell14qr 40665  df-pell1234qr 40666  df-pellfund 40667  df-rmx 40724  df-rmy 40725

This theorem is referenced by:  jm2.27a  40827