Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.26 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.26 42426
Description: Lemma 2.26 of [JonesMatijasevic] p. 697, the "second step down lemma". (Contributed by Stefan O'Rear, 2-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.26 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))

Proof of Theorem jm2.26
Dummy variables π‘˜ π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 acongrep 42404 . . . 4 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))
21ad2ant2l 744 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))
3 acongrep 42404 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„• ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)))
43ad2ant2lr 746 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)))
5 2z 12630 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ β„€
6 simpl1l 1221 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•))
7 nnz 12615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
96, 8syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
10 zmulcl 12647 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
115, 9, 10sylancr 585 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (2 Β· 𝑁) ∈ β„€)
12 simplrl 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
13123ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐾 ∈ β„€)
14 simpl3l 1225 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ π‘š ∈ (0...𝑁))
1514elfzelzd 13540 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ π‘š ∈ β„€)
16 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
17163ad2antl1 1182 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
18 simpl2r 1224 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)))
19 simpl2l 1223 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ (0...𝑁))
20 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
21203ad2antl1 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
22 frmx 42337 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
2322fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2423nn0zd 12620 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
2521, 9, 24syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€)
2619elfzelzd 13540 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
27 frmy 42338 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2827fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm π‘˜) ∈ β„€)
2921, 26, 28syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 Yrm π‘˜) ∈ β„€)
3027fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑀 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
3121, 17, 30syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€)
3227fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ π‘š ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm π‘š) ∈ β„€)
3321, 15, 32syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 Yrm π‘š) ∈ β„€)
3427fovcl 7553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝐾 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
3521, 13, 34syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€)
36 jm2.26a 42424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (π‘˜ ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
3721, 9, 26, 13, 36syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝐾)))))
3818, 37mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝐾))))
39 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
40 acongtr 42402 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm π‘˜) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm 𝐾) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝐾)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝐾))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
4125, 29, 35, 31, 38, 39, 40syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))))
42 simpl3r 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))
43 acongsym 42400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ -π‘š)))
4411, 15, 17, 42, 43syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ -π‘š)))
45 jm2.26a 42424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ -π‘š)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š)))))
4621, 9, 17, 15, 45syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝑀 βˆ’ -π‘š)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š)))))
4744, 46mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š))))
48 acongtr 42402 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm π‘˜) ∈ β„€) ∧ ((𝐴 Yrm 𝑀) ∈ β„€ ∧ (𝐴 Yrm π‘š) ∈ β„€) ∧ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝑀) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š))))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š))))
4925, 29, 31, 33, 41, 47, 48syl222anc 1383 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š))))
50 jm2.26lem3 42425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ π‘š ∈ (0...𝑁)) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ (𝐴 Yrm π‘š)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm π‘˜) βˆ’ -(𝐴 Yrm π‘š)))) β†’ π‘˜ = π‘š)
516, 19, 14, 49, 50syl121anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ π‘˜ = π‘š)
52 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ π‘˜ = π‘š)
53 eqidd 2728 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘š β†’ 𝐾 = 𝐾)
5452, 53acongeq12d 42403 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = π‘š β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) ↔ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝐾))))
5551, 54syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) ↔ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝐾))))
5618, 55mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝐾)))
57 acongsym 42400 . . . . . . . . . . 11 ((((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ π‘š ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝐾))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -π‘š)))
5811, 15, 13, 56, 57syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -π‘š)))
59 acongtr 42402 . . . . . . . . . 10 ((((2 Β· 𝑁) ∈ β„€ ∧ 𝐾 ∈ β„€) ∧ (π‘š ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€) ∧ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ π‘š) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -π‘š)) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
6011, 13, 15, 17, 58, 42, 59syl222anc 1383 . . . . . . . . 9 (((((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) ∧ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) ∧ (π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)))) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)))
61603exp1 1349 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((π‘˜ ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾))) β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))))
6261expd 414 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (π‘˜ ∈ (0...𝑁) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)))))))
6362rexlimdv 3149 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘˜ ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ 𝐾) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘˜ βˆ’ -𝐾)) β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))))
644, 63mpd 15 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ ((π‘š ∈ (0...𝑁) ∧ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀))) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)))))
6564expd 414 . . . 4 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (π‘š ∈ (0...𝑁) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))))
6665rexlimdv 3149 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (βˆƒπ‘š ∈ (0...𝑁)((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (π‘š βˆ’ -𝑀)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)))))
672, 66mpd 15 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) β†’ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))
68 jm2.26a 42424 . . 3 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
697, 68sylanl2 679 . 2 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀)) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀)))))
7067, 69impbid 211 1 (((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) ∧ (𝐾 ∈ β„€ ∧ 𝑀 ∈ β„€)) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ (𝐴 Yrm 𝑀)) ∨ (𝐴 Xrm 𝑁) βˆ₯ ((𝐴 Yrm 𝐾) βˆ’ -(𝐴 Yrm 𝑀))) ↔ ((2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ 𝑀) ∨ (2 Β· 𝑁) βˆ₯ (𝐾 βˆ’ -𝑀))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3066   class class class wbr 5150  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  0cc0 11144   Β· cmul 11149   βˆ’ cmin 11480  -cneg 11481  β„•cn 12248  2c2 12303  β„•0cn0 12508  β„€cz 12594  β„€β‰₯cuz 12858  ...cfz 13522   βˆ₯ cdvds 16236   Xrm crmx 42323   Yrm crmy 42324
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7689  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-supp 8170  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-2o 8492  df-oadd 8495  df-omul 8496  df-er 8729  df-map 8851  df-pm 8852  df-ixp 8921  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-acn 9971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-xnn0 12581  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-q 12969  df-rp 13013  df-xneg 13130  df-xadd 13131  df-xmul 13132  df-ioo 13366  df-ioc 13367  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-mod 13873  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-sin 16051  df-cos 16052  df-pi 16054  df-dvds 16237  df-gcd 16475  df-numer 16712  df-denom 16713  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-sca 17254  df-vsca 17255  df-ip 17256  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-hom 17262  df-cco 17263  df-rest 17409  df-topn 17410  df-0g 17428  df-gsum 17429  df-topgen 17430  df-pt 17431  df-prds 17434  df-xrs 17489  df-qtop 17494  df-imas 17495  df-xps 17497  df-mre 17571  df-mrc 17572  df-acs 17574  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-mulg 19029  df-cntz 19273  df-cmn 19742  df-psmet 21276  df-xmet 21277  df-met 21278  df-bl 21279  df-mopn 21280  df-fbas 21281  df-fg 21282  df-cnfld 21285  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814  df-log 26508  df-squarenn 42264  df-pell1qr 42265  df-pell14qr 42266  df-pell1234qr 42267  df-pellfund 42268  df-rmx 42325  df-rmy 42326
This theorem is referenced by:  jm2.27a  42429
  Copyright terms: Public domain W3C validator