Theorem addcnlem 24227

Description: Lemma for addcn 24228, subcn 24229, and mulcn 24230. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
addcn.2	⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
addcn.3	⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
addcnlem	⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.2	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		addcn.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
3	2	3coml 1127	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
4		ifcl 4531	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
6		simpll1 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
7		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 24134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑏 − 𝑢)))
10		abssub 15211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑏 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
11	9, 10	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
12	6, 7, 11	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
13	12	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
14	7, 6	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑏) ∈ ℂ)
15	14	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ)
16		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 12957	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
20		ltmin 13113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
22	13, 21	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
23		simpl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦)
24	22, 23	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦))
25		simpll2 1213	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
26		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
27	8	cnmetdval 24134	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑐 − 𝑣)))
28		abssub 15211	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑐 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
29	27, 28	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
30	25, 26, 29	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
31	30	breq1d 5115	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
32	26, 25	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15321	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ)
34		ltmin 13113	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
35	33, 17, 19, 34	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
36	31, 35	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
37		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)
38	36, 37	syl6bi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧))
39	24, 38	anim12d 609	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
40	1	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
41	6, 25, 40	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
42	1	fovcl 7484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
43	42	adantl 482	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
44	8	cnmetdval 24134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))))
45		abssub 15211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
46	44, 45	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
47	41, 43, 46	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
48	47	breq1d 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
49	48	biimprd 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎 → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
50	39, 49	imim12d 81	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
51	50	ralimdvva 3201	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
52		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ↔ (𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
53		breq2 5109	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
54	52, 53	anbi12d 631	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) ↔ ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧))))
55	54	imbi1d 341	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
56	55	2ralbidv 3212	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
57	56	rspcev 3581	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
58	5, 51, 57	syl6an 682	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
59	58	rexlimdvva 3205	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
60	3, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
61	60	rgen3 3199	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)
62		cnxmet 24136	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		addcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
64	63	cnfldtopn 24145	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65	64, 64, 64	txmetcn 23904	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))))
66	62, 62, 62, 65	mp3an 1461	. 2 ⊢ ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
67	1, 61, 66	mpbir2an 709	1 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064  ∃wrex 3073  ifcif 4486   class class class wbr 5105   × cxp 5631   ∘ ccom 5637  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ℝcr 11050   < clt 11189   ≤ cle 11190   − cmin 11385  ℝ⁺crp 12915  abscabs 15119  TopOpenctopn 17303  ∞Metcxmet 20781  ℂ_fldccnfld 20796   Cn ccn 22575   ×_t ctx 22911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-xms 23673  df-tms 23675

This theorem is referenced by:  addcn  24228  subcn  24229  mulcn  24230