Theorem addcnlem 24871

Description: Lemma for addcn 24872, subcn 24873, and mulcn 24874. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
addcn.j	⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
addcn.2	⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
addcn.3	⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))

Assertion

Ref	Expression
addcnlem	⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Distinct variable groups:   𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,𝑎,𝑏,𝑐,𝑢,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcnlem

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcn.2	. 2 ⊢ + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ
2		addcn.3	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
3	2	3coml 1124	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
4		ifcl 4578	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
5	4	adantl 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
6		simpll1 1209	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑏 ∈ ℂ)
7		simprl 769	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑢 ∈ ℂ)
8		eqid 2726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
9	8	cnmetdval 24778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑏 − 𝑢)))
10		abssub 15331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑏 − 𝑢)) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
11	9, 10	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑢 ∈ ℂ) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
12	6, 7, 11	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏(abs ∘ − )𝑢) = (abs‘(𝑢 − 𝑏)))
13	12	breq1d 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
14	7, 6	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 − 𝑏) ∈ ℂ)
15	14	abscld 15441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ)
16		simplrl 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ+)
17	16	rpred 13070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑦 ∈ ℝ)
18		simplrr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19	18	rpred 13070	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑧 ∈ ℝ)
20		ltmin 13227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
21	15, 17, 19, 20	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
22	13, 21	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧)))
23		simpl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦)
24	22, 23	biimtrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦))
25		simpll2 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑐 ∈ ℂ)
26		simprr 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → 𝑣 ∈ ℂ)
27	8	cnmetdval 24778	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑐 − 𝑣)))
28		abssub 15331	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (abs‘(𝑐 − 𝑣)) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
29	27, 28	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
30	25, 26, 29	syl2anc 582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑐(abs ∘ − )𝑣) = (abs‘(𝑣 − 𝑐)))
31	30	breq1d 5163	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
32	26, 25	subcld 11621	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑣 − 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	abscld 15441	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ)
34		ltmin 13227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
35	33, 17, 19, 34	syl3anc 1368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
36	31, 35	bitrd 278	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
37		simpr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)
38	36, 37	biimtrdi 252	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧))
39	24, 38	anim12d 607	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧)))
40	1	fovcl 7554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
41	6, 25, 40	syl2anc 582	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
42	1	fovcl 7554	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
43	42	adantl 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ)
44	8	cnmetdval 24778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))))
45		abssub 15331	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → (abs‘((𝑏 + 𝑐) − (𝑢 + 𝑣))) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
46	44, 45	eqtrd 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ (𝑢 + 𝑣) ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
47	41, 43, 46	syl2anc 582	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) = (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))))
48	47	breq1d 5163	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎 ↔ (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎))
49	48	biimprd 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎 → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
50	39, 49	imim12d 81	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑢 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ∈ ℂ)) → ((((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
51	50	ralimdvva 3195	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
52		breq2 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ↔ (𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
53		breq2 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥 ↔ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
54	52, 53	anbi12d 630	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) ↔ ((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧))))
55	54	imbi1d 340	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → ((((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
56	55	2ralbidv 3209	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎) ↔ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
57	56	rspcev 3608	. . . . . 6 ⊢ ((if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < if(𝑦 ≤ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
58	5, 51, 57	syl6an 682	. . . . 5 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) → (∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
59	58	rexlimdvva 3202	. . . 4 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → (∃𝑦 ∈ ℝ+ ∃𝑧 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((abs‘(𝑢 − 𝑏)) < 𝑦 ∧ (abs‘(𝑣 − 𝑐)) < 𝑧) → (abs‘((𝑢 + 𝑣) − (𝑏 + 𝑐))) < 𝑎) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
60	3, 59	mpd 15	. . 3 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ ∧ 𝑎 ∈ ℝ+) → ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))
61	60	rgen3 3193	. 2 ⊢ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)
62		cnxmet 24780	. . 3 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
63		addcn.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (TopOpen‘ℂfld)
64	63	cnfldtopn 24789	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
65	64, 64, 64	txmetcn 24548	. . 3 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) → ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎))))
66	62, 62, 62, 65	mp3an 1458	. 2 ⊢ ( + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(ℂ × ℂ)⟶ℂ ∧ ∀𝑏 ∈ ℂ ∀𝑐 ∈ ℂ ∀𝑎 ∈ ℝ+ ∃𝑥 ∈ ℝ+ ∀𝑢 ∈ ℂ ∀𝑣 ∈ ℂ (((𝑏(abs ∘ − )𝑢) < 𝑥 ∧ (𝑐(abs ∘ − )𝑣) < 𝑥) → ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ − )(𝑢 + 𝑣)) < 𝑎)))
67	1, 61, 66	mpbir2an 709	1 ⊢ + ∈ ((𝐽 ×t 𝐽) Cn 𝐽)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  ifcif 4533   class class class wbr 5153   × cxp 5680   ∘ ccom 5686  ⟶wf 6550  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℂcc 11156  ℝcr 11157   < clt 11298   ≤ cle 11299   − cmin 11494  ℝ⁺crp 13028  abscabs 15239  TopOpenctopn 17436  ∞Metcxmet 21328  ℂ_fldccnfld 21343   Cn ccn 23219   ×_t ctx 23555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-er 8734  df-map 8857  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-card 9982  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-xms 24317  df-tms 24319

This theorem is referenced by:  addcn  24872  subcn  24873  mulcn  24874  mpomulcn  24876