MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  addcnlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem addcnlem 24730
Description: Lemma for addcn 24731, subcn 24732, and mulcn 24733. (Contributed by Mario Carneiro, 5-May-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
addcn.j 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
addcn.2 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
addcn.3 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
Assertion
Ref Expression
addcnlem + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Distinct variable groups:   π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧,𝐽   + ,π‘Ž,𝑏,𝑐,𝑒,𝑣,𝑦,𝑧

Proof of Theorem addcnlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 addcn.2 . 2 + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚
2 addcn.3 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ ℝ+ ∧ 𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
323coml 1124 . . . 4 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
4 ifcl 4568 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
54adantl 481 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+)
6 simpll1 1209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑏 ∈ β„‚)
7 simprl 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑒 ∈ β„‚)
8 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
98cnmetdval 24637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑒)))
10 abssub 15276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑏 βˆ’ 𝑒)) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
119, 10eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑒 ∈ β„‚) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
126, 7, 11syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) = (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)))
1312breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
147, 6subcld 11572 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 βˆ’ 𝑏) ∈ β„‚)
1514abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ)
16 simplrl 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ+)
1716rpred 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
18 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
1918rpred 13019 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑧 ∈ ℝ)
20 ltmin 13176 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
2115, 17, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
2213, 21bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧)))
23 simpl 482 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦)
2422, 23biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦))
25 simpll2 1210 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑐 ∈ β„‚)
26 simprr 770 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ 𝑣 ∈ β„‚)
278cnmetdval 24637 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑣)))
28 abssub 15276 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜(𝑐 βˆ’ 𝑣)) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
2927, 28eqtrd 2766 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑐 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
3025, 26, 29syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) = (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)))
3130breq1d 5151 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
3226, 25subcld 11572 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑣 βˆ’ 𝑐) ∈ β„‚)
3332abscld 15386 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ)
34 ltmin 13176 . . . . . . . . . . . 12 (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
3533, 17, 19, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
3631, 35bitrd 279 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ↔ ((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
37 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)
3836, 37biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧))
3924, 38anim12d 608 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧)))
401fovcl 7532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚) β†’ (𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚)
416, 25, 40syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚)
421fovcl 7532 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
4342adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚)
448cnmetdval 24637 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑏 + 𝑐) βˆ’ (𝑒 + 𝑣))))
45 abssub 15276 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ (absβ€˜((𝑏 + 𝑐) βˆ’ (𝑒 + 𝑣))) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4644, 45eqtrd 2766 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 + 𝑐) ∈ β„‚ ∧ (𝑒 + 𝑣) ∈ β„‚) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4741, 43, 46syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) = (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))))
4847breq1d 5151 . . . . . . . . 9 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ (((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž ↔ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž))
4948biimprd 247 . . . . . . . 8 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
5039, 49imim12d 81 . . . . . . 7 ((((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) ∧ (𝑒 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 ∈ β„‚)) β†’ ((((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5150ralimdvva 3198 . . . . . 6 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
52 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ↔ (𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
53 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ ((𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯ ↔ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)))
5452, 53anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) ↔ ((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧))))
5554imbi1d 341 . . . . . . . 8 (π‘₯ = if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ ((((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž) ↔ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
56552ralbidv 3212 . . . . . . 7 (π‘₯ = if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž) ↔ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5756rspcev 3606 . . . . . 6 ((if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧) ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < if(𝑦 ≀ 𝑧, 𝑦, 𝑧)) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
585, 51, 57syl6an 681 . . . . 5 (((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) ∧ (𝑦 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 ∈ ℝ+)) β†’ (βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
5958rexlimdvva 3205 . . . 4 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘§ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((absβ€˜(𝑒 βˆ’ 𝑏)) < 𝑦 ∧ (absβ€˜(𝑣 βˆ’ 𝑐)) < 𝑧) β†’ (absβ€˜((𝑒 + 𝑣) βˆ’ (𝑏 + 𝑐))) < π‘Ž) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
603, 59mpd 15 . . 3 ((𝑏 ∈ β„‚ ∧ 𝑐 ∈ β„‚ ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))
6160rgen3 3196 . 2 βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)
62 cnxmet 24639 . . 3 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
63 addcn.j . . . . 5 𝐽 = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
6463cnfldtopn 24648 . . . 4 𝐽 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
6564, 64, 64txmetcn 24407 . . 3 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) β†’ ( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž))))
6662, 62, 62, 65mp3an 1457 . 2 ( + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽) ↔ ( + :(β„‚ Γ— β„‚)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘ ∈ β„‚ βˆ€π‘Ž ∈ ℝ+ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ+ βˆ€π‘’ ∈ β„‚ βˆ€π‘£ ∈ β„‚ (((𝑏(abs ∘ βˆ’ )𝑒) < π‘₯ ∧ (𝑐(abs ∘ βˆ’ )𝑣) < π‘₯) β†’ ((𝑏 + 𝑐)(abs ∘ βˆ’ )(𝑒 + 𝑣)) < π‘Ž)))
671, 61, 66mpbir2an 708 1 + ∈ ((𝐽 Γ—t 𝐽) Cn 𝐽)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  βˆƒwrex 3064  ifcif 4523   class class class wbr 5141   Γ— cxp 5667   ∘ ccom 5673  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„+crp 12977  abscabs 15184  TopOpenctopn 17373  βˆžMetcxmet 21220  β„‚fldccnfld 21235   Cn ccn 23078   Γ—t ctx 23414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-xms 24176  df-tms 24178
This theorem is referenced by:  addcn  24731  subcn  24732  mulcn  24733  mpomulcn  24735
  Copyright terms: Public domain W3C validator