Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxdiophlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmxdiophlem 42497
Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdiophlem ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋
Proof of Theorem rmxdiophlem
StepHypRef Expression
1 nn0sqcl 14081 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
213ad2ant3 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
32nn0cnd 12559 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„‚)
4 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 nn0z 12608 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
653ad2ant2 1131 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
7 frmx 42395 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
87fovcl 7543 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
94, 6, 8syl2anc 582 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
10 nn0sqcl 14081 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
1211nn0cnd 12559 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
13 rmspecnonsq 42388 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
1413eldifad 3953 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1514nnnn0d 12557 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
16153ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
17 rmynn0 42439 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
18173adant3 1129 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
19 nn0sqcl 14081 . . . . . . 7 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2116, 20nn0mulcld 12562 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12559 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„‚)
233, 12, 22subcan2ad 11641 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24 rmxynorm 42400 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
254, 6, 24syl2anc 582 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
2625eqeq2d 2736 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27 nn0re 12506 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
28 nn0ge0 12522 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑋)
2927, 28jca 510 . . . . 5 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
30293ad2ant3 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
31 nn0re 12506 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32 nn0ge0 12522 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))
3331, 32jca 510 . . . . 5 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
349, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35 sq11 14122 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3630, 34, 35syl2anc 582 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3723, 26, 363bitr3rd 309 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38 oveq1 7420 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
3938oveq2d 7429 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4039oveq2d 7429 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
4140eqeq1d 2727 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4241ceqsrexv 3635 . . 3 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4318, 42syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4437, 43bitr4d 281 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5144  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  β„cr 11132  0cc0 11133  1c1 11134   Β· cmul 11138   ≀ cle 11274   βˆ’ cmin 11469  β„•cn 12237  2c2 12292  β„•0cn0 12497  β„€cz 12583  β„€β‰₯cuz 12847  β†‘cexp 14053  β—»NNcsquarenn 42317   Xrm crmx 42381   Yrm crmy 42382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-inf2 9659  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210  ax-pre-sup 11211  ax-addf 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-fi 9429  df-sup 9460  df-inf 9461  df-oi 9528  df-card 9957  df-acn 9960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11897  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-xnn0 12570  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-q 12958  df-rp 13002  df-xneg 13119  df-xadd 13120  df-xmul 13121  df-ioo 13355  df-ioc 13356  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-fl 13784  df-mod 13862  df-seq 13994  df-exp 14054  df-fac 14260  df-bc 14289  df-hash 14317  df-shft 15041  df-cj 15073  df-re 15074  df-im 15075  df-sqrt 15209  df-abs 15210  df-limsup 15442  df-clim 15459  df-rlim 15460  df-sum 15660  df-ef 16038  df-sin 16040  df-cos 16041  df-pi 16043  df-dvds 16226  df-gcd 16464  df-numer 16701  df-denom 16702  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-rest 17398  df-topn 17399  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-topgen 17419  df-pt 17420  df-prds 17423  df-xrs 17478  df-qtop 17483  df-imas 17484  df-xps 17486  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-mulg 19023  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-psmet 21270  df-xmet 21271  df-met 21272  df-bl 21273  df-mopn 21274  df-fbas 21275  df-fg 21276  df-cnfld 21279  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-squarenn 42322  df-pell1qr 42323  df-pell14qr 42324  df-pell1234qr 42325  df-pellfund 42326  df-rmx 42383  df-rmy 42384
This theorem is referenced by:  rmxdioph  42498
  Copyright terms: Public domain W3C validator