Theorem rmxdiophlem 42708

Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdiophlem	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Proof of Theorem rmxdiophlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14101	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
4		simp1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
5		nn0z 12627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1131	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		frmx 42606	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
8	7	fovcl 7544	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
9	4, 6, 8	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
10		nn0sqcl 14101	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
13		rmspecnonsq 42599	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
14	13	eldifad 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12576	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
17		rmynn0 42650	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	3adant3 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19		nn0sqcl 14101	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
21	16, 20	nn0mulcld 12581	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12578	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
23	3, 12, 22	subcan2ad 11655	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24		rmxynorm 42611	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
25	4, 6, 24	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
26	25	eqeq2d 2737	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27		nn0re 12525	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
28		nn0ge0 12541	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑋)
29	27, 28	jca 510	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
30	29	3ad2ant3 1132	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
31		nn0re 12525	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32		nn0ge0 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
33	31, 32	jca 510	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
34	9, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35		sq11 14142	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
36	30, 34, 35	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
37	23, 26, 36	3bitr3rd 309	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38		oveq1 7421	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
39	38	oveq2d 7430	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
40	39	oveq2d 7430	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
41	40	eqeq1d 2728	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
42	41	ceqsrexv 3640	. . 3 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
43	18, 42	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
44	37, 43	bitr4d 281	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∃wrex 3060   class class class wbr 5144  ‘cfv 6544  (class class class)co 7414  ℝcr 11146  0cc0 11147  1c1 11148   · cmul 11152   ≤ cle 11288   − cmin 11483  ℕcn 12256  2c2 12311  ℕ₀cn0 12516  ℤcz 12602  ℤ_≥cuz 12866  ↑cexp 14073  ◻_NNcsquarenn 42528   X_rm crmx 42592   Y_rm crmy 42593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7736  ax-inf2 9675  ax-cnex 11203  ax-resscn 11204  ax-1cn 11205  ax-icn 11206  ax-addcl 11207  ax-addrcl 11208  ax-mulcl 11209  ax-mulrcl 11210  ax-mulcom 11211  ax-addass 11212  ax-mulass 11213  ax-distr 11214  ax-i2m1 11215  ax-1ne0 11216  ax-1rid 11217  ax-rnegex 11218  ax-rrecex 11219  ax-cnre 11220  ax-pre-lttri 11221  ax-pre-lttrn 11222  ax-pre-ltadd 11223  ax-pre-mulgt0 11224  ax-pre-sup 11225  ax-addf 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3465  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4324  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4907  df-int 4948  df-iun 4996  df-iin 4997  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6303  df-ord 6369  df-on 6370  df-lim 6371  df-suc 6372  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7680  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-1o 8486  df-2o 8487  df-oadd 8490  df-omul 8491  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9397  df-fi 9445  df-sup 9476  df-inf 9477  df-oi 9544  df-card 9973  df-acn 9976  df-pnf 11289  df-mnf 11290  df-xr 11291  df-ltxr 11292  df-le 11293  df-sub 11485  df-neg 11486  df-div 11911  df-nn 12257  df-2 12319  df-3 12320  df-4 12321  df-5 12322  df-6 12323  df-7 12324  df-8 12325  df-9 12326  df-n0 12517  df-xnn0 12589  df-z 12603  df-dec 12722  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13138  df-xadd 13139  df-xmul 13140  df-ioo 13374  df-ioc 13375  df-ico 13376  df-icc 13377  df-fz 13531  df-fzo 13674  df-fl 13804  df-mod 13882  df-seq 14014  df-exp 14074  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-shft 15065  df-cj 15097  df-re 15098  df-im 15099  df-sqrt 15233  df-abs 15234  df-limsup 15466  df-clim 15483  df-rlim 15484  df-sum 15684  df-ef 16062  df-sin 16064  df-cos 16065  df-pi 16067  df-dvds 16250  df-gcd 16488  df-numer 16730  df-denom 16731  df-struct 17142  df-sets 17159  df-slot 17177  df-ndx 17189  df-base 17207  df-ress 17236  df-plusg 17272  df-mulr 17273  df-starv 17274  df-sca 17275  df-vsca 17276  df-ip 17277  df-tset 17278  df-ple 17279  df-ds 17281  df-unif 17282  df-hom 17283  df-cco 17284  df-rest 17430  df-topn 17431  df-0g 17449  df-gsum 17450  df-topgen 17451  df-pt 17452  df-prds 17455  df-xrs 17510  df-qtop 17515  df-imas 17516  df-xps 17518  df-mre 17592  df-mrc 17593  df-acs 17595  df-mgm 18626  df-sgrp 18705  df-mnd 18721  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19774  df-psmet 21329  df-xmet 21330  df-met 21331  df-bl 21332  df-mopn 21333  df-fbas 21334  df-fg 21335  df-cnfld 21338  df-top 22882  df-topon 22899  df-topsp 22921  df-bases 22935  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24312  df-ms 24313  df-tms 24314  df-cncf 24884  df-limc 25881  df-dv 25882  df-log 26578  df-squarenn 42533  df-pell1qr 42534  df-pell14qr 42535  df-pell1234qr 42536  df-pellfund 42537  df-rmx 42594  df-rmy 42595

This theorem is referenced by:  rmxdioph  42709