Theorem rmxdiophlem 43172

Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdiophlem	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Proof of Theorem rmxdiophlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 14003	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
4		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
5		nn0z 12503	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		frmx 43070	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
8	7	fovcl 7483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
9	4, 6, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
10		nn0sqcl 14003	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
13		rmspecnonsq 43064	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
14	13	eldifad 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12453	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
17		rmynn0 43114	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19		nn0sqcl 14003	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
21	16, 20	nn0mulcld 12458	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
23	3, 12, 22	subcan2ad 11528	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24		rmxynorm 43075	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
25	4, 6, 24	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
26	25	eqeq2d 2744	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27		nn0re 12401	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
28		nn0ge0 12417	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑋)
29	27, 28	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
30	29	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
31		nn0re 12401	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32		nn0ge0 12417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
33	31, 32	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
34	9, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35		sq11 14045	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
36	30, 34, 35	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
37	23, 26, 36	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38		oveq1 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
39	38	oveq2d 7371	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
40	39	oveq2d 7371	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
41	40	eqeq1d 2735	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
42	41	ceqsrexv 3606	. . 3 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
43	18, 42	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
44	37, 43	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3057   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   · cmul 11022   ≤ cle 11158   − cmin 11355  ℕcn 12136  2c2 12191  ℕ₀cn0 12392  ℤcz 12479  ℤ_≥cuz 12742  ↑cexp 13975  ◻_NNcsquarenn 42993   X_rm crmx 43057   Y_rm crmy 43058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-inf2 9542  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-pre-sup 11095  ax-addf 11096

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-supp 8100  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-oadd 8398  df-omul 8399  df-er 8631  df-map 8761  df-pm 8762  df-ixp 8832  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-fsupp 9257  df-fi 9306  df-sup 9337  df-inf 9338  df-oi 9407  df-card 9843  df-acn 9846  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-div 11786  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-xnn0 12466  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-q 12853  df-rp 12897  df-xneg 13017  df-xadd 13018  df-xmul 13019  df-ioo 13256  df-ioc 13257  df-ico 13258  df-icc 13259  df-fz 13415  df-fzo 13562  df-fl 13703  df-mod 13781  df-seq 13916  df-exp 13976  df-fac 14188  df-bc 14217  df-hash 14245  df-shft 14981  df-cj 15013  df-re 15014  df-im 15015  df-sqrt 15149  df-abs 15150  df-limsup 15385  df-clim 15402  df-rlim 15403  df-sum 15601  df-ef 15981  df-sin 15983  df-cos 15984  df-pi 15986  df-dvds 16171  df-gcd 16413  df-numer 16653  df-denom 16654  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-starv 17183  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-unif 17191  df-hom 17192  df-cco 17193  df-rest 17333  df-topn 17334  df-0g 17352  df-gsum 17353  df-topgen 17354  df-pt 17355  df-prds 17358  df-xrs 17414  df-qtop 17419  df-imas 17420  df-xps 17422  df-mre 17496  df-mrc 17497  df-acs 17499  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-mulg 18989  df-cntz 19237  df-cmn 19702  df-psmet 21292  df-xmet 21293  df-met 21294  df-bl 21295  df-mopn 21296  df-fbas 21297  df-fg 21298  df-cnfld 21301  df-top 22829  df-topon 22846  df-topsp 22868  df-bases 22881  df-cld 22954  df-ntr 22955  df-cls 22956  df-nei 23033  df-lp 23071  df-perf 23072  df-cn 23162  df-cnp 23163  df-haus 23250  df-tx 23497  df-hmeo 23690  df-fil 23781  df-fm 23873  df-flim 23874  df-flf 23875  df-xms 24255  df-ms 24256  df-tms 24257  df-cncf 24818  df-limc 25814  df-dv 25815  df-log 26512  df-squarenn 42998  df-pell1qr 42999  df-pell14qr 43000  df-pell1234qr 43001  df-pellfund 43002  df-rmx 43059  df-rmy 43060

This theorem is referenced by:  rmxdioph  43173