Theorem rmxdiophlem 41149

Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmxdiophlem	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Proof of Theorem rmxdiophlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0sqcl 13916	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
2	1	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℕ0)
3	2	nn0cnd 12401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋↑2) ∈ ℂ)
4		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
5		nn0z 12449	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℤ)
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → 𝑁 ∈ ℤ)
7		frmx 41047	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
8	7	fovcl 7469	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
9	4, 6, 8	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
10		nn0sqcl 13916	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
11	9, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
12	11	nn0cnd 12401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ ℂ)
13		rmspecnonsq 41040	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ (ℕ ∖ ◻NN))
14	13	eldifad 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ)
15	14	nnnn0d 12399	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
16	15	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴↑2) − 1) ∈ ℕ0)
17		rmynn0 41091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
18	17	3adant3 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0)
19		nn0sqcl 13916	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
20	18, 19	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ ℕ0)
21	16, 20	nn0mulcld 12404	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℕ0)
22	21	nn0cnd 12401	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ ℂ)
23	3, 12, 22	subcan2ad 11483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24		rmxynorm 41052	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
25	4, 6, 24	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
26	25	eqeq2d 2748	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27		nn0re 12348	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 𝑋 ∈ ℝ)
28		nn0ge0 12364	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝑋)
29	27, 28	jca 513	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℕ0 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
30	29	3ad2ant3 1135	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋))
31		nn0re 12348	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32		nn0ge0 12364	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))
33	31, 32	jca 513	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0 → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
34	9, 33	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35		sq11 13956	. . . 4 ⊢ (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐴 Xrm 𝑁))) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
36	30, 34, 35	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
37	23, 26, 36	3bitr3rd 310	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38		oveq1 7349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
39	38	oveq2d 7358	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
40	39	oveq2d 7358	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
41	40	eqeq1d 2739	. . . 4 ⊢ (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) → (((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
42	41	ceqsrexv 3598	. . 3 ⊢ ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℕ0 → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
43	18, 42	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
44	37, 43	bitr4d 282	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ ℕ0) → (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ∃𝑦 ∈ ℕ0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) − (((𝐴↑2) − 1) · (𝑦↑2))) = 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3071   class class class wbr 5097  ‘cfv 6484  (class class class)co 7342  ℝcr 10976  0cc0 10977  1c1 10978   · cmul 10982   ≤ cle 11116   − cmin 11311  ℕcn 12079  2c2 12134  ℕ₀cn0 12339  ℤcz 12425  ℤ_≥cuz 12688  ↑cexp 13888  ◻_NNcsquarenn 40969   X_rm crmx 41033   Y_rm crmy 41034

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5234  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655  ax-inf2 9503  ax-cnex 11033  ax-resscn 11034  ax-1cn 11035  ax-icn 11036  ax-addcl 11037  ax-addrcl 11038  ax-mulcl 11039  ax-mulrcl 11040  ax-mulcom 11041  ax-addass 11042  ax-mulass 11043  ax-distr 11044  ax-i2m1 11045  ax-1ne0 11046  ax-1rid 11047  ax-rnegex 11048  ax-rrecex 11049  ax-cnre 11050  ax-pre-lttri 11051  ax-pre-lttrn 11052  ax-pre-ltadd 11053  ax-pre-mulgt0 11054  ax-pre-sup 11055  ax-addf 11056  ax-mulf 11057

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3921  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-tp 4583  df-op 4585  df-uni 4858  df-int 4900  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-tr 5215  df-id 5523  df-eprel 5529  df-po 5537  df-so 5538  df-fr 5580  df-se 5581  df-we 5582  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6243  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-f1 6489  df-fo 6490  df-f1o 6491  df-fv 6492  df-isom 6493  df-riota 7298  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-of 7600  df-om 7786  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-supp 8053  df-frecs 8172  df-wrecs 8203  df-recs 8277  df-rdg 8316  df-1o 8372  df-2o 8373  df-oadd 8376  df-omul 8377  df-er 8574  df-map 8693  df-pm 8694  df-ixp 8762  df-en 8810  df-dom 8811  df-sdom 8812  df-fin 8813  df-fsupp 9232  df-fi 9273  df-sup 9304  df-inf 9305  df-oi 9372  df-card 9801  df-acn 9804  df-pnf 11117  df-mnf 11118  df-xr 11119  df-ltxr 11120  df-le 11121  df-sub 11313  df-neg 11314  df-div 11739  df-nn 12080  df-2 12142  df-3 12143  df-4 12144  df-5 12145  df-6 12146  df-7 12147  df-8 12148  df-9 12149  df-n0 12340  df-xnn0 12412  df-z 12426  df-dec 12544  df-uz 12689  df-q 12795  df-rp 12837  df-xneg 12954  df-xadd 12955  df-xmul 12956  df-ioo 13189  df-ioc 13190  df-ico 13191  df-icc 13192  df-fz 13346  df-fzo 13489  df-fl 13618  df-mod 13696  df-seq 13828  df-exp 13889  df-fac 14094  df-bc 14123  df-hash 14151  df-shft 14878  df-cj 14910  df-re 14911  df-im 14912  df-sqrt 15046  df-abs 15047  df-limsup 15280  df-clim 15297  df-rlim 15298  df-sum 15498  df-ef 15877  df-sin 15879  df-cos 15880  df-pi 15882  df-dvds 16064  df-gcd 16302  df-numer 16537  df-denom 16538  df-struct 16946  df-sets 16963  df-slot 16981  df-ndx 16993  df-base 17011  df-ress 17040  df-plusg 17073  df-mulr 17074  df-starv 17075  df-sca 17076  df-vsca 17077  df-ip 17078  df-tset 17079  df-ple 17080  df-ds 17082  df-unif 17083  df-hom 17084  df-cco 17085  df-rest 17231  df-topn 17232  df-0g 17250  df-gsum 17251  df-topgen 17252  df-pt 17253  df-prds 17256  df-xrs 17311  df-qtop 17316  df-imas 17317  df-xps 17319  df-mre 17393  df-mrc 17394  df-acs 17396  df-mgm 18424  df-sgrp 18473  df-mnd 18484  df-submnd 18529  df-mulg 18798  df-cntz 19020  df-cmn 19484  df-psmet 20695  df-xmet 20696  df-met 20697  df-bl 20698  df-mopn 20699  df-fbas 20700  df-fg 20701  df-cnfld 20704  df-top 22149  df-topon 22166  df-topsp 22188  df-bases 22202  df-cld 22276  df-ntr 22277  df-cls 22278  df-nei 22355  df-lp 22393  df-perf 22394  df-cn 22484  df-cnp 22485  df-haus 22572  df-tx 22819  df-hmeo 23012  df-fil 23103  df-fm 23195  df-flim 23196  df-flf 23197  df-xms 23579  df-ms 23580  df-tms 23581  df-cncf 24147  df-limc 25136  df-dv 25137  df-log 25818  df-squarenn 40974  df-pell1qr 40975  df-pell14qr 40976  df-pell1234qr 40977  df-pellfund 40978  df-rmx 41035  df-rmy 41036

This theorem is referenced by:  rmxdioph  41150