Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxdiophlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxdiophlem 42348
Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdiophlem ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋

Proof of Theorem rmxdiophlem
StepHypRef Expression
1 nn0sqcl 14072 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
213ad2ant3 1133 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
32nn0cnd 12550 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„‚)
4 simp1 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 nn0z 12599 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
653ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
7 frmx 42246 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
87fovcl 7542 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
94, 6, 8syl2anc 583 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
10 nn0sqcl 14072 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
1211nn0cnd 12550 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
13 rmspecnonsq 42239 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
1413eldifad 3956 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1514nnnn0d 12548 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
16153ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
17 rmynn0 42290 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
18173adant3 1130 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
19 nn0sqcl 14072 . . . . . . 7 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2116, 20nn0mulcld 12553 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12550 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„‚)
233, 12, 22subcan2ad 11632 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24 rmxynorm 42251 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
254, 6, 24syl2anc 583 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
2625eqeq2d 2738 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27 nn0re 12497 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
28 nn0ge0 12513 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑋)
2927, 28jca 511 . . . . 5 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
30293ad2ant3 1133 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
31 nn0re 12497 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32 nn0ge0 12513 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))
3331, 32jca 511 . . . . 5 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
349, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35 sq11 14113 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3630, 34, 35syl2anc 583 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3723, 26, 363bitr3rd 310 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38 oveq1 7421 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
3938oveq2d 7430 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4039oveq2d 7430 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
4140eqeq1d 2729 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4241ceqsrexv 3639 . . 3 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4318, 42syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4437, 43bitr4d 282 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  β„cr 11123  0cc0 11124  1c1 11125   Β· cmul 11129   ≀ cle 11265   βˆ’ cmin 11460  β„•cn 12228  2c2 12283  β„•0cn0 12488  β„€cz 12574  β„€β‰₯cuz 12838  β†‘cexp 14044  β—»NNcsquarenn 42168   Xrm crmx 42232   Yrm crmy 42233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-inf2 9650  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201  ax-pre-sup 11202  ax-addf 11203
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-2o 8479  df-oadd 8482  df-omul 8483  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-fi 9420  df-sup 9451  df-inf 9452  df-oi 9519  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-div 11888  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-xnn0 12561  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-q 12949  df-rp 12993  df-xneg 13110  df-xadd 13111  df-xmul 13112  df-ioo 13346  df-ioc 13347  df-ico 13348  df-icc 13349  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-fl 13775  df-mod 13853  df-seq 13985  df-exp 14045  df-fac 14251  df-bc 14280  df-hash 14308  df-shft 15032  df-cj 15064  df-re 15065  df-im 15066  df-sqrt 15200  df-abs 15201  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15651  df-ef 16029  df-sin 16031  df-cos 16032  df-pi 16034  df-dvds 16217  df-gcd 16455  df-numer 16692  df-denom 16693  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17389  df-topn 17390  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-topgen 17410  df-pt 17411  df-prds 17414  df-xrs 17469  df-qtop 17474  df-imas 17475  df-xps 17477  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-submnd 18726  df-mulg 19008  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-psmet 21251  df-xmet 21252  df-met 21253  df-bl 21254  df-mopn 21255  df-fbas 21256  df-fg 21257  df-cnfld 21260  df-top 22770  df-topon 22787  df-topsp 22809  df-bases 22823  df-cld 22897  df-ntr 22898  df-cls 22899  df-nei 22976  df-lp 23014  df-perf 23015  df-cn 23105  df-cnp 23106  df-haus 23193  df-tx 23440  df-hmeo 23633  df-fil 23724  df-fm 23816  df-flim 23817  df-flf 23818  df-xms 24200  df-ms 24201  df-tms 24202  df-cncf 24772  df-limc 25769  df-dv 25770  df-log 26464  df-squarenn 42173  df-pell1qr 42174  df-pell14qr 42175  df-pell1234qr 42176  df-pellfund 42177  df-rmx 42234  df-rmy 42235
This theorem is referenced by:  rmxdioph  42349
  Copyright terms: Public domain W3C validator