Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxdiophlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rmxdiophlem 41739
Description: X can be expressed in terms of Y, so it is also Diophantine. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxdiophlem ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝑁   𝑦,𝑋
Proof of Theorem rmxdiophlem
StepHypRef Expression
1 nn0sqcl 14051 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
213ad2ant3 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„•0)
32nn0cnd 12530 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋↑2) ∈ β„‚)
4 simp1 1136 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
5 nn0z 12579 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„•0 β†’ 𝑁 ∈ β„€)
653ad2ant2 1134 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
7 frmx 41637 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
87fovcl 7533 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
94, 6, 8syl2anc 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
10 nn0sqcl 14051 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
119, 10syl 17 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
1211nn0cnd 12530 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ∈ β„‚)
13 rmspecnonsq 41630 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
1413eldifad 3959 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
1514nnnn0d 12528 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
16153ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•0)
17 rmynn0 41681 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
18173adant3 1132 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0)
19 nn0sqcl 14051 . . . . . . 7 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2018, 19syl 17 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2) ∈ β„•0)
2116, 20nn0mulcld 12533 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„•0)
2221nn0cnd 12530 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)) ∈ β„‚)
233, 12, 22subcan2ad 11612 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ (𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2)))
24 rmxynorm 41642 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
254, 6, 24syl2anc 584 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1)
2625eqeq2d 2743 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = (((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
27 nn0re 12477 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
28 nn0ge0 12493 . . . . . 6 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ 𝑋)
2927, 28jca 512 . . . . 5 (𝑋 ∈ β„•0 β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
30293ad2ant3 1135 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋))
31 nn0re 12477 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ)
32 nn0ge0 12493 . . . . . 6 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))
3331, 32jca 512 . . . . 5 ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
349, 33syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁)))
35 sq11 14092 . . . 4 (((𝑋 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑋) ∧ ((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (𝐴 Xrm 𝑁))) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3630, 34, 35syl2anc 584 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ ((𝑋↑2) = ((𝐴 Xrm 𝑁)↑2) ↔ 𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁)))
3723, 26, 363bitr3rd 309 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
38 oveq1 7412 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (𝑦↑2) = ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))
3938oveq2d 7421 . . . . . 6 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2)) = (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2)))
4039oveq2d 7421 . . . . 5 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))))
4140eqeq1d 2734 . . . 4 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) β†’ (((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1 ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4241ceqsrexv 3642 . . 3 ((𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„•0 β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4318, 42syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1) ↔ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· ((𝐴 Yrm 𝑁)↑2))) = 1))
4437, 43bitr4d 281 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ β„•0) β†’ (𝑋 = (𝐴 Xrm 𝑁) ↔ βˆƒπ‘¦ ∈ β„•0 (𝑦 = (𝐴 Yrm 𝑁) ∧ ((𝑋↑2) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝑦↑2))) = 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β†‘cexp 14023  β—»NNcsquarenn 41559   Xrm crmx 41623   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by:  rmxdioph  41740
  Copyright terms: Public domain W3C validator