Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmxluc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmxluc 42357
Description: The X sequence is a Lucas (second-order integer recurrence) sequence. Part 3 of equation 2.11 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 14-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmxluc ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))

Proof of Theorem rmxluc
StepHypRef Expression
1 peano2zm 12636 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€)
2 frmx 42334 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
32fovcl 7549 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„•0)
43nn0cnd 12565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 βˆ’ 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
51, 4sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) ∈ β„‚)
6 peano2z 12634 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
72fovcl 7549 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) ∈ β„•0)
87nn0cnd 12565 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
96, 8sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) ∈ β„‚)
105, 9addcomd 11447 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Xrm (𝑁 + 1))) = ((𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
11 rmxp1 42353 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
12 rmxm1 42355 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))))
1311, 12oveq12d 7438 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) + (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))) = ((((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))))
142fovcl 7549 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
1514nn0cnd 12565 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
16 eluzelcn 12865 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1716adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
1815, 17mulcld 11265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
19 rmspecnonsq 42327 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ (β„• βˆ– β—»NN))
2019eldifad 3959 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„•)
2120nncnd 12259 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
2221adantr 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴↑2) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
23 frmy 42335 . . . . . . . . 9 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
2423fovcl 7549 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2524zcnd 12698 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
2622, 25mulcld 11265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)) ∈ β„‚)
2717, 15mulcld 11265 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„‚)
2818, 26, 27ppncand 11642 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
2915, 17mulcomd 11266 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
3029oveq1d 7435 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
31 2cnd 12321 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 2 ∈ β„‚)
3231, 17, 15mulassd 11268 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) = (2 Β· (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
33272timesd 12486 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
3432, 33eqtr2d 2769 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) + (𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁))) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
3528, 30, 343eqtrd 2772 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((𝐴 Xrm 𝑁) Β· 𝐴) + (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁))) + ((𝐴 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (((𝐴↑2) βˆ’ 1) Β· (𝐴 Yrm 𝑁)))) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
3610, 13, 353eqtrd 2772 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Xrm (𝑁 + 1))) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
37 2cn 12318 . . . . . 6 2 ∈ β„‚
38 mulcl 11223 . . . . . 6 ((2 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
3937, 17, 38sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
4039, 15mulcld 11265 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) ∈ β„‚)
4140, 5, 9subaddd 11620 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) ↔ ((𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1)) + (𝐴 Xrm (𝑁 + 1))) = ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁))))
4236, 41mpbird 257 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))) = (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)))
4342eqcomd 2734 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm (𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) βˆ’ (𝐴 Xrm (𝑁 βˆ’ 1))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  1c1 11140   + caddc 11142   Β· cmul 11144   βˆ’ cmin 11475  β„•cn 12243  2c2 12298  β„•0cn0 12503  β„€cz 12589  β„€β‰₯cuz 12853  β†‘cexp 14059  β—»NNcsquarenn 42256   Xrm crmx 42320   Yrm crmy 42321
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-xnn0 12576  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-fac 14266  df-bc 14295  df-hash 14323  df-shft 15047  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-ef 16044  df-sin 16046  df-cos 16047  df-pi 16049  df-dvds 16232  df-gcd 16470  df-numer 16707  df-denom 16708  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809  df-log 26503  df-squarenn 42261  df-pell1qr 42262  df-pell14qr 42263  df-pell1234qr 42264  df-pellfund 42265  df-rmx 42322  df-rmy 42323
This theorem is referenced by:  jm2.18  42409
  Copyright terms: Public domain W3C validator