Theorem rmym1 40369

Description: Subtraction of 1 formula for Y sequence. Part 2 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmym1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmym1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12079	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10685	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		negsub 11024	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
5	2, 3, 4	sylancl 589	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
6	5	eqcomd 2745	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) = (𝑁 + -1))
7	6	oveq2d 7198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)))
8		neg1z 12111	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		rmyadd 40365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))))
10	8, 9	mp3an3 1451	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))))
11		1z 12105	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		rmxneg 40358	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
13	11, 12	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
14		rmx1 40360	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
15	13, 14	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
16	15	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
17	16	oveq2d 7198	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴))
18		rmyneg 40362	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
19	11, 18	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20		rmy1 40364	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
21	20	negeqd 10970	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → -(𝐴 Yrm 1) = -1)
22	19, 21	eqtrd 2774	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
23	22	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
24	23	oveq2d 7198	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1))
25		frmx 40347	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
26	25	fovcl 7306	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
27	26	nn0cnd 12050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
28		neg1cn 11842	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
29		mulcom 10713	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1) = (-1 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
30	27, 28, 29	sylancl 589	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1) = (-1 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
31	27	mulm1d 11182	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (-1 · (𝐴 Xrm 𝑁)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
32	24, 30, 31	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
33	17, 32	oveq12d 7200	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)))
34		frmy 40348	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
35	34	fovcl 7306	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12181	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
37		eluzelcn 12348	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	36, 38	mulcld 10751	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ)
40	39, 27	negsubd 11093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
41	33, 40	eqtrd 2774	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
42	7, 10, 41	3eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6349  (class class class)co 7182  ℂcc 10625  1c1 10628   + caddc 10630   · cmul 10632   − cmin 10960  -cneg 10961  2c2 11783  ℕ₀cn0 11988  ℤcz 12074  ℤ_≥cuz 12336   X_rm crmx 40334   Y_rm crmy 40335

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7491  ax-inf2 9189  ax-cnex 10683  ax-resscn 10684  ax-1cn 10685  ax-icn 10686  ax-addcl 10687  ax-addrcl 10688  ax-mulcl 10689  ax-mulrcl 10690  ax-mulcom 10691  ax-addass 10692  ax-mulass 10693  ax-distr 10694  ax-i2m1 10695  ax-1ne0 10696  ax-1rid 10697  ax-rnegex 10698  ax-rrecex 10699  ax-cnre 10700  ax-pre-lttri 10701  ax-pre-lttrn 10702  ax-pre-ltadd 10703  ax-pre-mulgt0 10704  ax-pre-sup 10705  ax-addf 10706  ax-mulf 10707

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-int 4847  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-se 5494  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6185  df-on 6186  df-lim 6187  df-suc 6188  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-isom 6358  df-riota 7139  df-ov 7185  df-oprab 7186  df-mpo 7187  df-of 7437  df-om 7612  df-1st 7726  df-2nd 7727  df-supp 7869  df-wrecs 7988  df-recs 8049  df-rdg 8087  df-1o 8143  df-2o 8144  df-oadd 8147  df-omul 8148  df-er 8332  df-map 8451  df-pm 8452  df-ixp 8520  df-en 8568  df-dom 8569  df-sdom 8570  df-fin 8571  df-fsupp 8919  df-fi 8960  df-sup 8991  df-inf 8992  df-oi 9059  df-card 9453  df-acn 9456  df-pnf 10767  df-mnf 10768  df-xr 10769  df-ltxr 10770  df-le 10771  df-sub 10962  df-neg 10963  df-div 11388  df-nn 11729  df-2 11791  df-3 11792  df-4 11793  df-5 11794  df-6 11795  df-7 11796  df-8 11797  df-9 11798  df-n0 11989  df-xnn0 12061  df-z 12075  df-dec 12192  df-uz 12337  df-q 12443  df-rp 12485  df-xneg 12602  df-xadd 12603  df-xmul 12604  df-ioo 12837  df-ioc 12838  df-ico 12839  df-icc 12840  df-fz 12994  df-fzo 13137  df-fl 13265  df-mod 13341  df-seq 13473  df-exp 13534  df-fac 13738  df-bc 13767  df-hash 13795  df-shft 14528  df-cj 14560  df-re 14561  df-im 14562  df-sqrt 14696  df-abs 14697  df-limsup 14930  df-clim 14947  df-rlim 14948  df-sum 15148  df-ef 15525  df-sin 15527  df-cos 15528  df-pi 15530  df-dvds 15712  df-gcd 15950  df-numer 16187  df-denom 16188  df-struct 16600  df-ndx 16601  df-slot 16602  df-base 16604  df-sets 16605  df-ress 16606  df-plusg 16693  df-mulr 16694  df-starv 16695  df-sca 16696  df-vsca 16697  df-ip 16698  df-tset 16699  df-ple 16700  df-ds 16702  df-unif 16703  df-hom 16704  df-cco 16705  df-rest 16811  df-topn 16812  df-0g 16830  df-gsum 16831  df-topgen 16832  df-pt 16833  df-prds 16836  df-xrs 16890  df-qtop 16895  df-imas 16896  df-xps 16898  df-mre 16972  df-mrc 16973  df-acs 16975  df-mgm 17980  df-sgrp 18029  df-mnd 18040  df-submnd 18085  df-mulg 18355  df-cntz 18577  df-cmn 19038  df-psmet 20221  df-xmet 20222  df-met 20223  df-bl 20224  df-mopn 20225  df-fbas 20226  df-fg 20227  df-cnfld 20230  df-top 21657  df-topon 21674  df-topsp 21696  df-bases 21709  df-cld 21782  df-ntr 21783  df-cls 21784  df-nei 21861  df-lp 21899  df-perf 21900  df-cn 21990  df-cnp 21991  df-haus 22078  df-tx 22325  df-hmeo 22518  df-fil 22609  df-fm 22701  df-flim 22702  df-flf 22703  df-xms 23085  df-ms 23086  df-tms 23087  df-cncf 23642  df-limc 24630  df-dv 24631  df-log 25312  df-squarenn 40275  df-pell1qr 40276  df-pell14qr 40277  df-pell1234qr 40278  df-pellfund 40279  df-rmx 40336  df-rmy 40337

This theorem is referenced by:  rmyluc  40371  jm2.24nn  40393