Theorem rmym1 44085

Description: Subtraction of 1 formula for Y sequence. Part 2 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmym1	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmym1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zcn 12711	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
2	1	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11271	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
4		negsub 11619	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 + -1) = (𝑁 − 1))
6	5	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑁 − 1) = (𝑁 + -1))
7	6	oveq2d 7446	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)))
8		neg1z 12745	. . 3 ⊢ -1 ∈ ℤ
9		rmyadd 44081	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))))
10	8, 9	mp3an3 1479	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))))
11		1z 12739	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℤ
12		rmxneg 44074	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
13	11, 12	mpan2 704	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
14		rmx1 44076	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
15	13, 14	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
16	15	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
17	16	oveq2d 7446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴))
18		rmyneg 44078	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 1 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
19	11, 18	mpan2 704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20		rmy1 44080	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 1) = 1)
21	20	negeqd 11564	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → -(𝐴 Yrm 1) = -1)
22	19, 21	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
23	22	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -1) = -1)
24	23	oveq2d 7446	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1))
25		frmx 44063	. . . . . . . 8 ⊢ Xrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℕ0
26	25	fovcl 7558	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℕ0)
27	26	nn0cnd 12682	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ)
28		neg1cn 12318	. . . . . 6 ⊢ -1 ∈ ℂ
29		mulcom 11299	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ ℂ ∧ -1 ∈ ℂ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1) = ( -1 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
30	27, 28, 29	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · -1) = ( -1 · (𝐴 Xrm 𝑁)))
31	27	mulm1d 11781	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ( -1 · (𝐴 Xrm 𝑁)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
32	24, 30, 31	3eqtrd 2802	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
33	17, 32	oveq12d 7448	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)))
34		frmy 44064	. . . . . . 7 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
35	34	fovcl 7558	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
36	35	zcnd 12817	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℂ)
37		eluzelcn 12990	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℂ)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → 𝐴 ∈ ℂ)
39	36, 38	mulcld 11342	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) ∈ ℂ)
40	39, 27	negsubd 11688	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
41	33, 40	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (((𝐴 Yrm 𝑁) · (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) · (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))
42	7, 10, 41	3eqtrd 2802	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 − 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) · 𝐴) − (𝐴 Xrm 𝑁)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6547  (class class class)co 7430  ℂcc 11211  1c1 11214   + caddc 11216   · cmul 11218   − cmin 11554   -cneg 11555  2c2 12410  ℕ₀cn0 12619  ℤcz 12706  ℤ_≥cuz 12978   X_rm crmx 44050   Y_rm crmy 44051

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-inf2 9655  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-pre-sup 11291  ax-addf 11292

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-isom 6556  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7703  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-supp 8191  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-2o 8491  df-oadd 8494  df-omul 8495  df-er 8731  df-map 8863  df-pm 8864  df-ixp 8940  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-fsupp 9368  df-fi 9416  df-sup 9447  df-inf 9448  df-oi 9517  df-card 10033  df-acn 10036  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-div 11987  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-7 12423  df-8 12424  df-9 12425  df-n0 12620  df-xnn0 12693  df-z 12707  df-dec 12828  df-uz 12979  df-q 13089  df-rp 13134  df-xneg 13254  df-xadd 13255  df-xmul 13256  df-ioo 13493  df-ioc 13494  df-ico 13495  df-icc 13496  df-fz 13653  df-fzo 13802  df-fl 13945  df-mod 14023  df-seq 14158  df-exp 14218  df-fac 14431  df-bc 14460  df-hash 14488  df-shft 15235  df-cj 15281  df-re 15282  df-im 15283  df-sqrt 15417  df-abs 15418  df-limsup 15653  df-clim 15670  df-rlim 15671  df-sum 15869  df-ef 16248  df-sin 16250  df-cos 16251  df-pi 16253  df-dvds 16438  df-gcd 16680  df-numer 16926  df-denom 16927  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-starv 17458  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-ip 17461  df-tset 17462  df-ple 17463  df-ds 17465  df-unif 17466  df-hom 17467  df-cco 17468  df-rest 17608  df-topn 17609  df-0g 17627  df-gsum 17628  df-topgen 17629  df-pt 17630  df-prds 17633  df-xrs 17689  df-qtop 17694  df-imas 17695  df-xps 17697  df-mre 17771  df-mrc 17772  df-acs 17774  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-mulg 19293  df-cntz 19546  df-cmn 20011  df-psmet 21685  df-xmet 21686  df-met 21687  df-bl 21688  df-mopn 21689  df-fbas 21690  df-fg 21691  df-cnfld 21694  df-top 23227  df-topon 23244  df-topsp 23266  df-bases 23279  df-cld 23352  df-ntr 23353  df-cls 23354  df-nei 23431  df-lp 23469  df-perf 23470  df-cn 23560  df-cnp 23561  df-haus 23648  df-tx 23896  df-hmeo 24089  df-fil 24180  df-fm 24272  df-flim 24273  df-flf 24274  df-xms 24654  df-ms 24655  df-tms 24656  df-cncf 25214  df-limc 26201  df-dv 26202  df-log 26899  df-squarenn 43991  df-pell1qr 43992  df-pell14qr 43993  df-pell1234qr 43994  df-pellfund 43995  df-rmx 44052  df-rmy 44053

This theorem is used by:  rmyluc  44087  jm2.24nn  44109