Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmym1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmym1 40794
Description: Subtraction of 1 formula for Y sequence. Part 2 of equation 2.10 of [JonesMatijasevic] p. 695. (Contributed by Stefan O'Rear, 19-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmym1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))

Proof of Theorem rmym1
StepHypRef Expression
1 zcn 12366 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„€ β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
21adantl 483 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
3 ax-1cn 10971 . . . . 5 1 ∈ β„‚
4 negsub 11311 . . . . 5 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (𝑁 + -1) = (𝑁 βˆ’ 1))
52, 3, 4sylancl 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 + -1) = (𝑁 βˆ’ 1))
65eqcomd 2742 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝑁 βˆ’ 1) = (𝑁 + -1))
76oveq2d 7319 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)))
8 neg1z 12398 . . 3 -1 ∈ β„€
9 rmyadd 40790 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))))
108, 9mp3an3 1450 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + -1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))))
11 1z 12392 . . . . . . . 8 1 ∈ β„€
12 rmxneg 40783 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
1311, 12mpan2 689 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm -1) = (𝐴 Xrm 1))
14 rmx1 40785 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm 1) = 𝐴)
1513, 14eqtrd 2776 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm -1) = 𝐴)
1716oveq2d 7319 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) = ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴))
18 rmyneg 40787 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 1 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
1911, 18mpan2 689 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -(𝐴 Yrm 1))
20 rmy1 40789 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 1) = 1)
2120negeqd 11257 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ -(𝐴 Yrm 1) = -1)
2219, 21eqtrd 2776 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -1)
2322adantr 482 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm -1) = -1)
2423oveq2d 7319 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)) = ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· -1))
25 frmx 40772 . . . . . . . 8 Xrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„•0
2625fovcl 7430 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„•0)
2726nn0cnd 12337 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚)
28 neg1cn 12129 . . . . . 6 -1 ∈ β„‚
29 mulcom 10999 . . . . . 6 (((𝐴 Xrm 𝑁) ∈ β„‚ ∧ -1 ∈ β„‚) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· -1) = (-1 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
3027, 28, 29sylancl 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· -1) = (-1 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)))
3127mulm1d 11469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (-1 Β· (𝐴 Xrm 𝑁)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
3224, 30, 313eqtrd 2780 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1)) = -(𝐴 Xrm 𝑁))
3317, 32oveq12d 7321 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)))
34 frmy 40773 . . . . . . 7 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
3534fovcl 7430 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
3635zcnd 12469 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„‚)
37 eluzelcn 12636 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3837adantr 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
3936, 38mulcld 11037 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ ((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) ∈ β„‚)
4039, 27negsubd 11380 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) + -(𝐴 Xrm 𝑁)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
4133, 40eqtrd 2776 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· (𝐴 Xrm -1)) + ((𝐴 Xrm 𝑁) Β· (𝐴 Yrm -1))) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
427, 10, 413eqtrd 2780 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 βˆ’ 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑁) Β· 𝐴) βˆ’ (𝐴 Xrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6454  (class class class)co 7303  β„‚cc 10911  1c1 10914   + caddc 10916   Β· cmul 10918   βˆ’ cmin 11247  -cneg 11248  2c2 12070  β„•0cn0 12275  β„€cz 12361  β„€β‰₯cuz 12624   Xrm crmx 40758   Yrm crmy 40759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616  ax-inf2 9439  ax-cnex 10969  ax-resscn 10970  ax-1cn 10971  ax-icn 10972  ax-addcl 10973  ax-addrcl 10974  ax-mulcl 10975  ax-mulrcl 10976  ax-mulcom 10977  ax-addass 10978  ax-mulass 10979  ax-distr 10980  ax-i2m1 10981  ax-1ne0 10982  ax-1rid 10983  ax-rnegex 10984  ax-rrecex 10985  ax-cnre 10986  ax-pre-lttri 10987  ax-pre-lttrn 10988  ax-pre-ltadd 10989  ax-pre-mulgt0 10990  ax-pre-sup 10991  ax-addf 10992  ax-mulf 10993
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-tp 4570  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-se 5552  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-pred 6213  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-isom 6463  df-riota 7260  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-of 7561  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-supp 8005  df-frecs 8124  df-wrecs 8155  df-recs 8229  df-rdg 8268  df-1o 8324  df-2o 8325  df-oadd 8328  df-omul 8329  df-er 8525  df-map 8644  df-pm 8645  df-ixp 8713  df-en 8761  df-dom 8762  df-sdom 8763  df-fin 8764  df-fsupp 9169  df-fi 9210  df-sup 9241  df-inf 9242  df-oi 9309  df-card 9737  df-acn 9740  df-pnf 11053  df-mnf 11054  df-xr 11055  df-ltxr 11056  df-le 11057  df-sub 11249  df-neg 11250  df-div 11675  df-nn 12016  df-2 12078  df-3 12079  df-4 12080  df-5 12081  df-6 12082  df-7 12083  df-8 12084  df-9 12085  df-n0 12276  df-xnn0 12348  df-z 12362  df-dec 12480  df-uz 12625  df-q 12731  df-rp 12773  df-xneg 12890  df-xadd 12891  df-xmul 12892  df-ioo 13125  df-ioc 13126  df-ico 13127  df-icc 13128  df-fz 13282  df-fzo 13425  df-fl 13554  df-mod 13632  df-seq 13764  df-exp 13825  df-fac 14030  df-bc 14059  df-hash 14087  df-shft 14819  df-cj 14851  df-re 14852  df-im 14853  df-sqrt 14987  df-abs 14988  df-limsup 15221  df-clim 15238  df-rlim 15239  df-sum 15439  df-ef 15818  df-sin 15820  df-cos 15821  df-pi 15823  df-dvds 16005  df-gcd 16243  df-numer 16480  df-denom 16481  df-struct 16889  df-sets 16906  df-slot 16924  df-ndx 16936  df-base 16954  df-ress 16983  df-plusg 17016  df-mulr 17017  df-starv 17018  df-sca 17019  df-vsca 17020  df-ip 17021  df-tset 17022  df-ple 17023  df-ds 17025  df-unif 17026  df-hom 17027  df-cco 17028  df-rest 17174  df-topn 17175  df-0g 17193  df-gsum 17194  df-topgen 17195  df-pt 17196  df-prds 17199  df-xrs 17254  df-qtop 17259  df-imas 17260  df-xps 17262  df-mre 17336  df-mrc 17337  df-acs 17339  df-mgm 18367  df-sgrp 18416  df-mnd 18427  df-submnd 18472  df-mulg 18742  df-cntz 18964  df-cmn 19429  df-psmet 20630  df-xmet 20631  df-met 20632  df-bl 20633  df-mopn 20634  df-fbas 20635  df-fg 20636  df-cnfld 20639  df-top 22084  df-topon 22101  df-topsp 22123  df-bases 22137  df-cld 22211  df-ntr 22212  df-cls 22213  df-nei 22290  df-lp 22328  df-perf 22329  df-cn 22419  df-cnp 22420  df-haus 22507  df-tx 22754  df-hmeo 22947  df-fil 23038  df-fm 23130  df-flim 23131  df-flf 23132  df-xms 23514  df-ms 23515  df-tms 23516  df-cncf 24082  df-limc 25071  df-dv 25072  df-log 25753  df-squarenn 40699  df-pell1qr 40700  df-pell14qr 40701  df-pell1234qr 40702  df-pellfund 40703  df-rmx 40760  df-rmy 40761
This theorem is referenced by:  rmyluc  40796  jm2.24nn  40818
  Copyright terms: Public domain W3C validator