Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem jm2.17c 38371
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 11432 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 eluzelre 11986 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4 remulcl 10344 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 581 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6 nnz 11734 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
76adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
87peano2zd 11820 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9 frmy 38321 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
109fovcl 7030 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
1110zred 11817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
128, 11syldan 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135, 12remulcld 10394 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14 nncn 11366 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
1514adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16 ax-1cn 10317 . . . . . . 7 1 ∈ ℂ
17 pncan 10614 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1815, 16, 17sylancl 580 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
1918oveq2d 6926 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
209fovcl 7030 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
2120zred 11817 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
226, 21sylan2 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2906 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
2413, 23resubcld 10789 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
25 nnnn0 11633 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
2625adantl 475 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
275, 26reexpcld 13326 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
285, 27remulcld 10394 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29 rmy0 38336 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
3029adantr 474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
31 nngt0 11390 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
3231adantl 475 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
33 simpl 476 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
34 0zd 11723 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
35 ltrmy 38361 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1494 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3732, 36mpbid 224 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
3830, 37eqbrtrrd 4899 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
3938, 19breqtrrd 4903 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)))
4023, 13ltsubposd 10945 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
4139, 40mpbid 224 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42 jm2.17b 38370 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
4325, 42sylan2 586 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
44 2nn 11431 . . . . . . . 8 2 ∈ ℕ
45 eluz2nn 12015 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
46 nnmulcl 11382 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4744, 45, 46sylancr 581 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
4847nngt0d 11407 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
4948adantr 474 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2 · 𝐴))
50 lemul2 11213 . . . . 5 (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1497 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
5243, 51mpbid 224 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 10523 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
54 rmyluc2 38345 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
558, 54syldan 585 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
565recnd 10392 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
5756, 26expp1d 13310 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)))
5827recnd 10392 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
5958, 56mulcomd 10385 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
6057, 59eqtrd 2861 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
6153, 55, 603brtr4d 4907 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1656  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cc 10257  cr 10258  0cc0 10259  1c1 10260   + caddc 10262   · cmul 10264   < clt 10398  cle 10399  cmin 10592  cn 11357  2c2 11413  0cn0 11625  cz 11711  cuz 11975  cexp 13161   Yrm crmy 38308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4996  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-inf2 8822  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337  ax-addf 10338  ax-mulf 10339
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-int 4700  df-iun 4744  df-iin 4745  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-se 5306  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-isom 6136  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-of 7162  df-om 7332  df-1st 7433  df-2nd 7434  df-supp 7565  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-1o 7831  df-2o 7832  df-oadd 7835  df-omul 7836  df-er 8014  df-map 8129  df-pm 8130  df-ixp 8182  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-fin 8232  df-fsupp 8551  df-fi 8592  df-sup 8623  df-inf 8624  df-oi 8691  df-card 9085  df-acn 9088  df-cda 9312  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-2 11421  df-3 11422  df-4 11423  df-5 11424  df-6 11425  df-7 11426  df-8 11427  df-9 11428  df-n0 11626  df-xnn0 11698  df-z 11712  df-dec 11829  df-uz 11976  df-q 12079  df-rp 12120  df-xneg 12239  df-xadd 12240  df-xmul 12241  df-ioo 12474  df-ioc 12475  df-ico 12476  df-icc 12477  df-fz 12627  df-fzo 12768  df-fl 12895  df-mod 12971  df-seq 13103  df-exp 13162  df-fac 13361  df-bc 13390  df-hash 13418  df-shft 14191  df-cj 14223  df-re 14224  df-im 14225  df-sqrt 14359  df-abs 14360  df-limsup 14586  df-clim 14603  df-rlim 14604  df-sum 14801  df-ef 15177  df-sin 15179  df-cos 15180  df-pi 15182  df-dvds 15365  df-gcd 15597  df-numer 15821  df-denom 15822  df-struct 16231  df-ndx 16232  df-slot 16233  df-base 16235  df-sets 16236  df-ress 16237  df-plusg 16325  df-mulr 16326  df-starv 16327  df-sca 16328  df-vsca 16329  df-ip 16330  df-tset 16331  df-ple 16332  df-ds 16334  df-unif 16335  df-hom 16336  df-cco 16337  df-rest 16443  df-topn 16444  df-0g 16462  df-gsum 16463  df-topgen 16464  df-pt 16465  df-prds 16468  df-xrs 16522  df-qtop 16527  df-imas 16528  df-xps 16530  df-mre 16606  df-mrc 16607  df-acs 16609  df-mgm 17602  df-sgrp 17644  df-mnd 17655  df-submnd 17696  df-mulg 17902  df-cntz 18107  df-cmn 18555  df-psmet 20105  df-xmet 20106  df-met 20107  df-bl 20108  df-mopn 20109  df-fbas 20110  df-fg 20111  df-cnfld 20114  df-top 21076  df-topon 21093  df-topsp 21115  df-bases 21128  df-cld 21201  df-ntr 21202  df-cls 21203  df-nei 21280  df-lp 21318  df-perf 21319  df-cn 21409  df-cnp 21410  df-haus 21497  df-tx 21743  df-hmeo 21936  df-fil 22027  df-fm 22119  df-flim 22120  df-flf 22121  df-xms 22502  df-ms 22503  df-tms 22504  df-cncf 23058  df-limc 24036  df-dv 24037  df-log 24709  df-squarenn 38248  df-pell1qr 38249  df-pell14qr 38250  df-pell1234qr 38251  df-pellfund 38252  df-rmx 38309  df-rmy 38310
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator