Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.17c 41686
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 12282 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 eluzelre 12829 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 remulcl 11191 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
6 nnz 12575 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
76adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87peano2zd 12665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 frmy 41638 . . . . . . . 8 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
109fovcl 7533 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
1110zred 12662 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
128, 11syldan 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135, 12remulcld 11240 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14 nncn 12216 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1514adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
16 ax-1cn 11164 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
17 pncan 11462 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1815, 16, 17sylancl 586 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1918oveq2d 7421 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
209fovcl 7533 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2120zred 12662 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
226, 21sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
2413, 23resubcld 11638 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
25 nnnn0 12475 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2625adantl 482 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
275, 26reexpcld 14124 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
285, 27remulcld 11240 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29 rmy0 41653 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
3029adantr 481 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
31 nngt0 12239 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
3231adantl 482 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
33 simpl 483 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
34 0zd 12566 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
35 ltrmy 41676 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
3830, 37eqbrtrrd 5171 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
3938, 19breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
4023, 13ltsubposd 11796 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
4139, 40mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42 jm2.17b 41685 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
4325, 42sylan2 593 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
44 2nn 12281 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
45 eluz2nn 12864 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
46 nnmulcl 12232 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4744, 45, 46sylancr 587 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4847nngt0d 12257 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
4948adantr 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
50 lemul2 12063 . . . . 5 (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝐴))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1374 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5243, 51mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 11370 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
54 rmyluc2 41662 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
558, 54syldan 591 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
565recnd 11238 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
5756, 26expp1d 14108 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)))
5827recnd 11238 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ β„‚)
5958, 56mulcomd 11231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6057, 59eqtrd 2772 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6153, 55, 603brtr4d 5179 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   Β· cmul 11111   < clt 11244   ≀ cle 11245   βˆ’ cmin 11440  β„•cn 12208  2c2 12263  β„•0cn0 12468  β„€cz 12554  β„€β‰₯cuz 12818  β†‘cexp 14023   Yrm crmy 41624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-xnn0 12541  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-sin 16009  df-cos 16010  df-pi 16012  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-nei 22593  df-lp 22631  df-perf 22632  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-haus 22810  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-fil 23341  df-fm 23433  df-flim 23434  df-flf 23435  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-limc 25374  df-dv 25375  df-log 26056  df-squarenn 41564  df-pell1qr 41565  df-pell14qr 41566  df-pell1234qr 41567  df-pellfund 41568  df-rmx 41625  df-rmy 41626
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator