Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.17c 42414
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 12324 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 eluzelre 12871 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 remulcl 11231 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 585 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
6 nnz 12617 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
76adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87peano2zd 12707 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 frmy 42366 . . . . . . . 8 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
109fovcl 7555 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
1110zred 12704 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
128, 11syldan 589 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135, 12remulcld 11282 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14 nncn 12258 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1514adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
16 ax-1cn 11204 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
17 pncan 11504 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1815, 16, 17sylancl 584 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1918oveq2d 7442 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
209fovcl 7555 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2120zred 12704 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
226, 21sylan2 591 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2829 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
2413, 23resubcld 11680 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
25 nnnn0 12517 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2625adantl 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
275, 26reexpcld 14167 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
285, 27remulcld 11282 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29 rmy0 42381 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
3029adantr 479 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
31 nngt0 12281 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
3231adantl 480 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
33 simpl 481 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
34 0zd 12608 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
35 ltrmy 42404 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
3830, 37eqbrtrrd 5176 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
3938, 19breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
4023, 13ltsubposd 11838 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
4139, 40mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42 jm2.17b 42413 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
4325, 42sylan2 591 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
44 2nn 12323 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
45 eluz2nn 12906 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
46 nnmulcl 12274 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4744, 45, 46sylancr 585 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4847nngt0d 12299 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
4948adantr 479 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
50 lemul2 12105 . . . . 5 (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝐴))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5243, 51mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 11412 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
54 rmyluc2 42390 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
558, 54syldan 589 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
565recnd 11280 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
5756, 26expp1d 14151 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)))
5827recnd 11280 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ β„‚)
5958, 56mulcomd 11273 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6057, 59eqtrd 2768 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6153, 55, 603brtr4d 5184 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  β„‚cc 11144  β„cr 11145  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   Β· cmul 11151   < clt 11286   ≀ cle 11287   βˆ’ cmin 11482  β„•cn 12250  2c2 12305  β„•0cn0 12510  β„€cz 12596  β„€β‰₯cuz 12860  β†‘cexp 14066   Yrm crmy 42352
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9672  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224  ax-addf 11225
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-omul 8498  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-fi 9442  df-sup 9473  df-inf 9474  df-oi 9541  df-card 9970  df-acn 9973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-xneg 13132  df-xadd 13133  df-xmul 13134  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-ico 13370  df-icc 13371  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-fac 14273  df-bc 14302  df-hash 14330  df-shft 15054  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-limsup 15455  df-clim 15472  df-rlim 15473  df-sum 15673  df-ef 16051  df-sin 16053  df-cos 16054  df-pi 16056  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-numer 16714  df-denom 16715  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-starv 17255  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-unif 17263  df-hom 17264  df-cco 17265  df-rest 17411  df-topn 17412  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-topgen 17432  df-pt 17433  df-prds 17436  df-xrs 17491  df-qtop 17496  df-imas 17497  df-xps 17499  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-mulg 19031  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-psmet 21278  df-xmet 21279  df-met 21280  df-bl 21281  df-mopn 21282  df-fbas 21283  df-fg 21284  df-cnfld 21287  df-top 22816  df-topon 22833  df-topsp 22855  df-bases 22869  df-cld 22943  df-ntr 22944  df-cls 22945  df-nei 23022  df-lp 23060  df-perf 23061  df-cn 23151  df-cnp 23152  df-haus 23239  df-tx 23486  df-hmeo 23679  df-fil 23770  df-fm 23862  df-flim 23863  df-flf 23864  df-xms 24246  df-ms 24247  df-tms 24248  df-cncf 24818  df-limc 25815  df-dv 25816  df-log 26510  df-squarenn 42292  df-pell1qr 42293  df-pell14qr 42294  df-pell1234qr 42295  df-pellfund 42296  df-rmx 42353  df-rmy 42354
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator