Theorem jm2.17c 44162

Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17c	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12444	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		eluzelre 13003	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		remulcl 11312	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6		nnz 12741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12833	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 44114	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
11	10	zred 12830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
12	8, 11	syldan 603	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
13	5, 12	remulcld 11366	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14		nncn 12370	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11285	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		pncan 11590	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	15, 16, 17	sylancl 598	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	oveq2d 7459	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
20	9	fovcl 7571	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12830	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
22	6, 21	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2864	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
24	13, 23	resubcld 11771	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12640	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	5, 26	reexpcld 14333	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
28	5, 27	remulcld 11366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29		rmy0 44129	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
30	29	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
31		nngt0 12396	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
32	31	adantl 487	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
33		simpl 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		0zd 12732	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
35		ltrmy 44152	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
37	32, 36	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
38	30, 37	eqbrtrrd 5132	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
39	38, 19	breqtrrd 5136	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)))
40	23, 13	ltsubposd 11929	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
41	39, 40	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42		jm2.17b 44161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
43	25, 42	sylan2 605	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
44		2nn 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45		eluz2nn 13042	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
46		nnmulcl 12386	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
47	44, 45, 46	sylancr 599	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
48	47	nngt0d 12414	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
49	48	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2 · 𝐴))
50		lemul2 12197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
51	12, 27, 5, 49, 50	syl112anc 1402	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
52	43, 51	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
53	24, 13, 28, 41, 52	ltletrd 11497	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
54		rmyluc2 44138	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
55	8, 54	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
56	5	recnd 11364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
57	56, 26	expp1d 14317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)))
58	27	recnd 11364	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
59	58, 56	mulcomd 11357	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
60	57, 59	eqtrd 2798	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
61	53, 55, 60	3brtr4d 5140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443  ℂcc 11225  ℝcr 11226  0cc0 11227  1c1 11228   + caddc 11230   · cmul 11232   < clt 11370   ≤ cle 11371   − cmin 11568  ℕcn 12362  2c2 12424  ℕ₀cn0 12633  ℤcz 12720  ℤ_≥cuz 12992  ↑cexp 14231   Y_rm crmy 44101

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7775  ax-inf2 9669  ax-cnex 11283  ax-resscn 11284  ax-1cn 11285  ax-icn 11286  ax-addcl 11287  ax-addrcl 11288  ax-mulcl 11289  ax-mulrcl 11290  ax-mulcom 11291  ax-addass 11292  ax-mulass 11293  ax-distr 11294  ax-i2m1 11295  ax-1ne0 11296  ax-1rid 11297  ax-rnegex 11298  ax-rrecex 11299  ax-cnre 11300  ax-pre-lttri 11301  ax-pre-lttrn 11302  ax-pre-ltadd 11303  ax-pre-mulgt0 11304  ax-pre-sup 11305  ax-addf 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6322  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-isom 6567  df-riota 7400  df-ov 7446  df-oprab 7447  df-mpo 7448  df-of 7717  df-om 7902  df-1st 8025  df-2nd 8026  df-supp 8205  df-frecs 8327  df-wrecs 8358  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8745  df-map 8877  df-pm 8878  df-ixp 8954  df-en 9002  df-dom 9003  df-sdom 9004  df-fin 9005  df-fsupp 9382  df-fi 9430  df-sup 9461  df-inf 9462  df-oi 9531  df-card 10047  df-acn 10050  df-pnf 11372  df-mnf 11373  df-xr 11374  df-ltxr 11375  df-le 11376  df-sub 11570  df-neg 11571  df-div 12001  df-nn 12363  df-2 12432  df-3 12433  df-4 12434  df-5 12435  df-6 12436  df-7 12437  df-8 12438  df-9 12439  df-n0 12634  df-xnn0 12707  df-z 12721  df-dec 12842  df-uz 12993  df-q 13103  df-rp 13148  df-xneg 13268  df-xadd 13269  df-xmul 13270  df-ioo 13507  df-ioc 13508  df-ico 13509  df-icc 13510  df-fz 13667  df-fzo 13816  df-fl 13959  df-mod 14037  df-seq 14172  df-exp 14232  df-fac 14445  df-bc 14474  df-hash 14502  df-shft 15249  df-cj 15295  df-re 15296  df-im 15297  df-sqrt 15431  df-abs 15432  df-limsup 15667  df-clim 15684  df-rlim 15685  df-sum 15883  df-ef 16262  df-sin 16264  df-cos 16265  df-pi 16267  df-dvds 16452  df-gcd 16694  df-numer 16940  df-denom 16941  df-struct 17354  df-sets 17371  df-slot 17389  df-ndx 17401  df-base 17417  df-ress 17438  df-plusg 17470  df-mulr 17471  df-starv 17472  df-sca 17473  df-vsca 17474  df-ip 17475  df-tset 17476  df-ple 17477  df-ds 17479  df-unif 17480  df-hom 17481  df-cco 17482  df-rest 17622  df-topn 17623  df-0g 17641  df-gsum 17642  df-topgen 17643  df-pt 17644  df-prds 17647  df-xrs 17703  df-qtop 17708  df-imas 17709  df-xps 17711  df-mre 17785  df-mrc 17786  df-acs 17788  df-mgm 18845  df-sgrp 18937  df-mnd 18953  df-submnd 19008  df-mulg 19307  df-cntz 19561  df-cmn 20026  df-psmet 21700  df-xmet 21701  df-met 21702  df-bl 21703  df-mopn 21704  df-fbas 21705  df-fg 21706  df-cnfld 21709  df-top 23242  df-topon 23259  df-topsp 23281  df-bases 23294  df-cld 23367  df-ntr 23368  df-cls 23369  df-nei 23446  df-lp 23484  df-perf 23485  df-cn 23575  df-cnp 23576  df-haus 23663  df-tx 23911  df-hmeo 24104  df-fil 24195  df-fm 24287  df-flim 24288  df-flf 24289  df-xms 24669  df-ms 24670  df-tms 24671  df-cncf 25229  df-limc 26216  df-dv 26217  df-log 26914  df-squarenn 44041  df-pell1qr 44042  df-pell14qr 44043  df-pell1234qr 44044  df-pellfund 44045  df-rmx 44102  df-rmy 44103

This theorem is used by: (None)