Theorem jm2.17c 43408

Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17c	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12246	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		eluzelre 12790	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		remulcl 11114	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6		nnz 12536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 43360	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
11	10	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
12	8, 11	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
13	5, 12	remulcld 11166	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14		nncn 12173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11087	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		pncan 11390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
20	9	fovcl 7488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12624	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
22	6, 21	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
24	13, 23	resubcld 11569	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12435	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	5, 26	reexpcld 14116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
28	5, 27	remulcld 11166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29		rmy0 43375	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
31		nngt0 12199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
33		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		0zd 12527	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
35		ltrmy 43398	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
37	32, 36	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
38	30, 37	eqbrtrrd 5110	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
39	38, 19	breqtrrd 5114	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)))
40	23, 13	ltsubposd 11727	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
41	39, 40	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42		jm2.17b 43407	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
43	25, 42	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
44		2nn 12245	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45		eluz2nn 12829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
46		nnmulcl 12189	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
47	44, 45, 46	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
48	47	nngt0d 12217	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2 · 𝐴))
50		lemul2 11999	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
51	12, 27, 5, 49, 50	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
52	43, 51	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
53	24, 13, 28, 41, 52	ltletrd 11297	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
54		rmyluc2 43384	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
55	8, 54	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
56	5	recnd 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
57	56, 26	expp1d 14100	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)))
58	27	recnd 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
59	58, 56	mulcomd 11157	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
60	57, 59	eqtrd 2772	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
61	53, 55, 60	3brtr4d 5118	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   ≤ cle 11171   − cmin 11368  ℕcn 12165  2c2 12227  ℕ₀cn0 12428  ℤcz 12515  ℤ_≥cuz 12779  ↑cexp 14014   Y_rm crmy 43347

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107  ax-addf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-fi 9317  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ioc 13294  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-fac 14227  df-bc 14256  df-hash 14284  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-ef 16023  df-sin 16025  df-cos 16026  df-pi 16028  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-numer 16696  df-denom 16697  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-starv 17226  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-unif 17234  df-hom 17235  df-cco 17236  df-rest 17376  df-topn 17377  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-topgen 17397  df-pt 17398  df-prds 17401  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18743  df-mulg 19035  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-fbas 21341  df-fg 21342  df-cnfld 21345  df-top 22869  df-topon 22886  df-topsp 22908  df-bases 22921  df-cld 22994  df-ntr 22995  df-cls 22996  df-nei 23073  df-lp 23111  df-perf 23112  df-cn 23202  df-cnp 23203  df-haus 23290  df-tx 23537  df-hmeo 23730  df-fil 23821  df-fm 23913  df-flim 23914  df-flf 23915  df-xms 24295  df-ms 24296  df-tms 24297  df-cncf 24855  df-limc 25843  df-dv 25844  df-log 26533  df-squarenn 43287  df-pell1qr 43288  df-pell14qr 43289  df-pell1234qr 43290  df-pellfund 43291  df-rmx 43348  df-rmy 43349

This theorem is referenced by: (None)