Theorem jm2.17c 43390

Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
jm2.17c	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Proof of Theorem jm2.17c

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2re 12255	. . . . . 6 ⊢ 2 ∈ ℝ
2		eluzelre 12799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
3	2	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		remulcl 11123	. . . . . 6 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5	1, 3, 4	sylancr 588	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
6		nnz 12545	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℤ)
7	6	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℤ)
8	7	peano2zd 12636	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℤ)
9		frmy 43342	. . . . . . . 8 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
10	9	fovcl 7495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℤ)
11	10	zred 12633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
12	8, 11	syldan 592	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
13	5, 12	remulcld 11175	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14		nncn 12182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
15	14	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℂ)
16		ax-1cn 11096	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℂ
17		pncan 11399	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
18	15, 16, 17	sylancl 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
19	18	oveq2d 7383	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
20	9	fovcl 7495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℤ)
21	20	zred 12633	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
22	6, 21	sylan2 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
23	19, 22	eqeltrd 2836	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ∈ ℝ)
24	13, 23	resubcld 11578	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) ∈ ℝ)
25		nnnn0 12444	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
26	25	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝑁 ∈ ℕ0)
27	5, 26	reexpcld 14125	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
28	5, 27	remulcld 11175	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29		rmy0 43357	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
30	29	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) = 0)
31		nngt0 12208	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 0 < 𝑁)
32	31	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < 𝑁)
33		simpl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
34		0zd 12536	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 ∈ ℤ)
35		ltrmy 43380	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
36	33, 34, 7, 35	syl3anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
37	32, 36	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
38	30, 37	eqbrtrrd 5109	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
39	38, 19	breqtrrd 5113	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)))
40	23, 13	ltsubposd 11736	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1)) ↔ (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
41	39, 40	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42		jm2.17b 43389	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
43	25, 42	sylan2 594	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁))
44		2nn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℕ
45		eluz2nn 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
46		nnmulcl 12198	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 ∈ ℕ ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
47	44, 45, 46	sylancr 588	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → (2 · 𝐴) ∈ ℕ)
48	47	nngt0d 12226	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) → 0 < (2 · 𝐴))
49	48	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → 0 < (2 · 𝐴))
50		lemul2 12008	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 · 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 · 𝐴))) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
51	12, 27, 5, 49, 50	syl112anc 1377	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≤ ((2 · 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁))))
52	43, 51	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≤ ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
53	24, 13, 28, 41, 52	ltletrd 11306	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))) < ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
54		rmyluc2 43366	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
55	8, 54	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 · 𝐴) · (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) − (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) − 1))))
56	5	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (2 · 𝐴) ∈ ℂ)
57	56, 26	expp1d 14109	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)))
58	27	recnd 11173	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑𝑁) ∈ ℂ)
59	58, 56	mulcomd 11166	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (((2 · 𝐴)↑𝑁) · (2 · 𝐴)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
60	57, 59	eqtrd 2771	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 · 𝐴) · ((2 · 𝐴)↑𝑁)))
61	53, 55, 60	3brtr4d 5117	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 · 𝐴)↑(𝑁 + 1)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5085  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11179   ≤ cle 11180   − cmin 11377  ℕcn 12174  2c2 12236  ℕ₀cn0 12437  ℤcz 12524  ℤ_≥cuz 12788  ↑cexp 14023   Y_rm crmy 43329

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-inf2 9562  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116  ax-addf 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4851  df-int 4890  df-iun 4935  df-iin 4936  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-isom 6507  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-of 7631  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-2o 8406  df-oadd 8409  df-omul 8410  df-er 8643  df-map 8775  df-pm 8776  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-fi 9324  df-sup 9355  df-inf 9356  df-oi 9425  df-card 9863  df-acn 9866  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-div 11808  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-xnn0 12511  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-q 12899  df-rp 12943  df-xneg 13063  df-xadd 13064  df-xmul 13065  df-ioo 13302  df-ioc 13303  df-ico 13304  df-icc 13305  df-fz 13462  df-fzo 13609  df-fl 13751  df-mod 13829  df-seq 13964  df-exp 14024  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15029  df-cj 15061  df-re 15062  df-im 15063  df-sqrt 15197  df-abs 15198  df-limsup 15433  df-clim 15450  df-rlim 15451  df-sum 15649  df-ef 16032  df-sin 16034  df-cos 16035  df-pi 16037  df-dvds 16222  df-gcd 16464  df-numer 16705  df-denom 16706  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-hom 17244  df-cco 17245  df-rest 17385  df-topn 17386  df-0g 17404  df-gsum 17405  df-topgen 17406  df-pt 17407  df-prds 17410  df-xrs 17466  df-qtop 17471  df-imas 17472  df-xps 17474  df-mre 17548  df-mrc 17549  df-acs 17551  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-submnd 18752  df-mulg 19044  df-cntz 19292  df-cmn 19757  df-psmet 21344  df-xmet 21345  df-met 21346  df-bl 21347  df-mopn 21348  df-fbas 21349  df-fg 21350  df-cnfld 21353  df-top 22859  df-topon 22876  df-topsp 22898  df-bases 22911  df-cld 22984  df-ntr 22985  df-cls 22986  df-nei 23063  df-lp 23101  df-perf 23102  df-cn 23192  df-cnp 23193  df-haus 23280  df-tx 23527  df-hmeo 23720  df-fil 23811  df-fm 23903  df-flim 23904  df-flf 23905  df-xms 24285  df-ms 24286  df-tms 24287  df-cncf 24845  df-limc 25833  df-dv 25834  df-log 26520  df-squarenn 43269  df-pell1qr 43270  df-pell14qr 43271  df-pell1234qr 43272  df-pellfund 43273  df-rmx 43330  df-rmy 43331

This theorem is referenced by: (None)