Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  jm2.17c Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem jm2.17c 42261
Description: Second half of lemma 2.17 of [JonesMatijasevic] p. 696. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
jm2.17c ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Proof of Theorem jm2.17c
StepHypRef Expression
1 2re 12287 . . . . . 6 2 ∈ ℝ
2 eluzelre 12834 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
32adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
4 remulcl 11194 . . . . . 6 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
51, 3, 4sylancr 586 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ ℝ)
6 nnz 12580 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„€)
76adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„€)
87peano2zd 12670 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝑁 + 1) ∈ β„€)
9 frmy 42213 . . . . . . . 8 Yrm :((β„€β‰₯β€˜2) Γ— β„€)βŸΆβ„€
109fovcl 7532 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ β„€)
1110zred 12667 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
128, 11syldan 590 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ)
135, 12remulcld 11245 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ∈ ℝ)
14 nncn 12221 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
1514adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„‚)
16 ax-1cn 11167 . . . . . . 7 1 ∈ β„‚
17 pncan 11467 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ β„‚ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1815, 16, 17sylancl 585 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝑁 + 1) βˆ’ 1) = 𝑁)
1918oveq2d 7420 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) = (𝐴 Yrm 𝑁))
209fovcl 7532 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ β„€)
2120zred 12667 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
226, 21sylan2 592 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 𝑁) ∈ ℝ)
2319, 22eqeltrd 2827 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ∈ ℝ)
2413, 23resubcld 11643 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) ∈ ℝ)
25 nnnn0 12480 . . . . . 6 (𝑁 ∈ β„• β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
2625adantl 481 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
275, 26reexpcld 14130 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ)
285, 27remulcld 11245 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)) ∈ ℝ)
29 rmy0 42228 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
3029adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) = 0)
31 nngt0 12244 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ β„• β†’ 0 < 𝑁)
3231adantl 481 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < 𝑁)
33 simpl 482 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
34 0zd 12571 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 ∈ β„€)
35 ltrmy 42251 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 0 ∈ β„€ ∧ 𝑁 ∈ β„€) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3633, 34, 7, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
3732, 36mpbid 231 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm 0) < (𝐴 Yrm 𝑁))
3830, 37eqbrtrrd 5165 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm 𝑁))
3938, 19breqtrrd 5169 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)))
4023, 13ltsubposd 11801 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (0 < (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1)) ↔ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)))))
4139, 40mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))))
42 jm2.17b 42260 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•0) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
4325, 42sylan2 592 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))
44 2nn 12286 . . . . . . . 8 2 ∈ β„•
45 eluz2nn 12869 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 𝐴 ∈ β„•)
46 nnmulcl 12237 . . . . . . . 8 ((2 ∈ β„• ∧ 𝐴 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4744, 45, 46sylancr 586 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„•)
4847nngt0d 12262 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
4948adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ 0 < (2 Β· 𝐴))
50 lemul2 12068 . . . . 5 (((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ ℝ ∧ ((2 Β· 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (2 Β· 𝐴))) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5112, 27, 5, 49, 50syl112anc 1371 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((𝐴 Yrm (𝑁 + 1)) ≀ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ↔ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁))))
5243, 51mpbid 231 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) ≀ ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
5324, 13, 28, 41, 52ltletrd 11375 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))) < ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
54 rmyluc2 42237 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ (𝑁 + 1) ∈ β„€) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
558, 54syldan 590 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) = (((2 Β· 𝐴) Β· (𝐴 Yrm (𝑁 + 1))) βˆ’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) βˆ’ 1))))
565recnd 11243 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (2 Β· 𝐴) ∈ β„‚)
5756, 26expp1d 14114 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)))
5827recnd 11243 . . . 4 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑𝑁) ∈ β„‚)
5958, 56mulcomd 11236 . . 3 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (((2 Β· 𝐴)↑𝑁) Β· (2 Β· 𝐴)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6057, 59eqtrd 2766 . 2 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)) = ((2 Β· 𝐴) Β· ((2 Β· 𝐴)↑𝑁)))
6153, 55, 603brtr4d 5173 1 ((𝐴 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) ∧ 𝑁 ∈ β„•) β†’ (𝐴 Yrm ((𝑁 + 1) + 1)) < ((2 Β· 𝐴)↑(𝑁 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   Β· cmul 11114   < clt 11249   ≀ cle 11250   βˆ’ cmin 11445  β„•cn 12213  2c2 12268  β„•0cn0 12473  β„€cz 12559  β„€β‰₯cuz 12823  β†‘cexp 14029   Yrm crmy 42199
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-2o 8465  df-oadd 8468  df-omul 8469  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-fi 9405  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-xnn0 12546  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-q 12934  df-rp 12978  df-xneg 13095  df-xadd 13096  df-xmul 13097  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-ico 13333  df-icc 13334  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-mod 13838  df-seq 13970  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15017  df-cj 15049  df-re 15050  df-im 15051  df-sqrt 15185  df-abs 15186  df-limsup 15418  df-clim 15435  df-rlim 15436  df-sum 15636  df-ef 16014  df-sin 16016  df-cos 16017  df-pi 16019  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-numer 16677  df-denom 16678  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17454  df-qtop 17459  df-imas 17460  df-xps 17462  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-submnd 18711  df-mulg 18993  df-cntz 19230  df-cmn 19699  df-psmet 21227  df-xmet 21228  df-met 21229  df-bl 21230  df-mopn 21231  df-fbas 21232  df-fg 21233  df-cnfld 21236  df-top 22746  df-topon 22763  df-topsp 22785  df-bases 22799  df-cld 22873  df-ntr 22874  df-cls 22875  df-nei 22952  df-lp 22990  df-perf 22991  df-cn 23081  df-cnp 23082  df-haus 23169  df-tx 23416  df-hmeo 23609  df-fil 23700  df-fm 23792  df-flim 23793  df-flf 23794  df-xms 24176  df-ms 24177  df-tms 24178  df-cncf 24748  df-limc 25745  df-dv 25746  df-log 26440  df-squarenn 42139  df-pell1qr 42140  df-pell14qr 42141  df-pell1234qr 42142  df-pellfund 42143  df-rmx 42200  df-rmy 42201
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator