Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmynn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltrmynn0 39819
Description: The Y-sequence is strictly monotonic on 0. Strengthened by ltrmy 39823. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmynn0 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) < (𝐴 Yrm 𝑁)))

Proof of Theorem ltrmynn0
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 11993 . . . . . . 7 (𝑏 ∈ ℕ0𝑏 ∈ ℤ)
2 frmy 39785 . . . . . . . 8 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
32fovcl 7263 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
41, 3sylan2 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℤ)
54zred 12075 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ∈ ℝ)
6 eluzelre 12242 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℝ)
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ ℝ)
85, 7remulcld 10660 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) ∈ ℝ)
9 frmx 39784 . . . . . . . . 9 Xrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℕ0
109fovcl 7263 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
111, 10sylan2 595 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℕ0)
1211nn0red 11944 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Xrm 𝑏) ∈ ℝ)
138, 12readdcld 10659 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)) ∈ ℝ)
14 rmxypos 39818 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏)))
1514simprd 499 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑏))
16 eluz2nn 12272 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 𝐴 ∈ ℕ)
1716nnge1d 11673 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (ℤ‘2) → 1 ≤ 𝐴)
1817adantr 484 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 1 ≤ 𝐴)
195, 7, 15, 18lemulge11d 11566 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) ≤ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴))
2014simpld 498 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → 0 < (𝐴 Xrm 𝑏))
2112, 8ltaddposd 11213 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑏) ↔ ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏))))
2220, 21mpbid 235 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → ((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) < (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
235, 8, 13, 19, 22lelttrd 10787 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
24 rmyp1 39804 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
251, 24sylan2 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)) = (((𝐴 Yrm 𝑏) · 𝐴) + (𝐴 Xrm 𝑏)))
2623, 25breqtrrd 5070 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑏) < (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
27 nn0z 11993 . . . . 5 (𝑎 ∈ ℕ0𝑎 ∈ ℤ)
282fovcl 7263 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℤ)
2927, 28sylan2 595 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℤ)
3029zred 12075 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℝ)
31 nn0uz 12268 . . 3 0 = (ℤ‘0)
32 oveq2 7148 . . 3 (𝑎 = (𝑏 + 1) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (𝑏 + 1)))
33 oveq2 7148 . . 3 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
34 oveq2 7148 . . 3 (𝑎 = 𝑀 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑀))
35 oveq2 7148 . . 3 (𝑎 = 𝑁 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑁))
3626, 30, 31, 32, 33, 34, 35monotuz 39812 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ (𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
37363impb 1112 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑀 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝐴 Yrm 𝑀) < (𝐴 Yrm 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cfv 6334  (class class class)co 7140  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531   < clt 10664  cle 10665  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231   Xrm crmx 39771   Yrm crmy 39772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-inf2 9092  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604  ax-addf 10605  ax-mulf 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rmo 3138  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-int 4852  df-iun 4896  df-iin 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-se 5492  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-isom 6343  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-of 7394  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-xnn0 11956  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-xneg 12495  df-xadd 12496  df-xmul 12497  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-ico 12732  df-icc 12733  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-fl 13157  df-mod 13233  df-seq 13365  df-exp 13426  df-fac 13630  df-bc 13659  df-hash 13687  df-shft 14417  df-cj 14449  df-re 14450  df-im 14451  df-sqrt 14585  df-abs 14586  df-limsup 14819  df-clim 14836  df-rlim 14837  df-sum 15034  df-ef 15412  df-sin 15414  df-cos 15415  df-pi 15417  df-dvds 15599  df-gcd 15833  df-numer 16064  df-denom 16065  df-struct 16476  df-ndx 16477  df-slot 16478  df-base 16480  df-sets 16481  df-ress 16482  df-plusg 16569  df-mulr 16570  df-starv 16571  df-sca 16572  df-vsca 16573  df-ip 16574  df-tset 16575  df-ple 16576  df-ds 16578  df-unif 16579  df-hom 16580  df-cco 16581  df-rest 16687  df-topn 16688  df-0g 16706  df-gsum 16707  df-topgen 16708  df-pt 16709  df-prds 16712  df-xrs 16766  df-qtop 16771  df-imas 16772  df-xps 16774  df-mre 16848  df-mrc 16849  df-acs 16851  df-mgm 17843  df-sgrp 17892  df-mnd 17903  df-submnd 17948  df-mulg 18216  df-cntz 18438  df-cmn 18899  df-psmet 20081  df-xmet 20082  df-met 20083  df-bl 20084  df-mopn 20085  df-fbas 20086  df-fg 20087  df-cnfld 20090  df-top 21497  df-topon 21514  df-topsp 21536  df-bases 21549  df-cld 21622  df-ntr 21623  df-cls 21624  df-nei 21701  df-lp 21739  df-perf 21740  df-cn 21830  df-cnp 21831  df-haus 21918  df-tx 22165  df-hmeo 22358  df-fil 22449  df-fm 22541  df-flim 22542  df-flf 22543  df-xms 22925  df-ms 22926  df-tms 22927  df-cncf 23481  df-limc 24467  df-dv 24468  df-log 25146  df-squarenn 39712  df-pell1qr 39713  df-pell14qr 39714  df-pell1234qr 39715  df-pellfund 39716  df-rmx 39773  df-rmy 39774
This theorem is referenced by:  ltrmy  39823  jm2.19  39864
  Copyright terms: Public domain W3C validator