Theorem rmyabs 42653

Description: Y_rm commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)

Assertion

Ref	Expression
rmyabs	⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem rmyabs

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		frmy 42609	. . . 4 ⊢ Yrm :((ℤ≥‘2) × ℤ)⟶ℤ
2	1	fovcl 7546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℤ)
3	2	zred 12712	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℝ)
4		simp1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝐴 ∈ (ℤ≥‘2))
5		elnn0z 12617	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
6	5	biimpri 227	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
7	6	3adant1 1127	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
8		rmxypos 42642	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)))
9	4, 7, 8	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)))
10	9	simprd 494	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))
11		rmyneg 42623	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑏) = -(𝐴 Yrm 𝑏))
12		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
13		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑎 = -𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm -𝑏))
14		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑎 = 𝐵 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝐵))
15		oveq2 7424	. 2 ⊢ (𝑎 = (abs‘𝐵) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))
16	3, 10, 11, 12, 13, 14, 15	oddcomabszz 42639	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (ℤ≥‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  ‘cfv 6546  (class class class)co 7416  0cc0 11149   < clt 11289   ≤ cle 11290  -cneg 11486  2c2 12313  ℕ₀cn0 12518  ℤcz 12604  ℤ_≥cuz 12868  abscabs 15234   X_rm crmx 42594   Y_rm crmy 42595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-inf2 9677  ax-cnex 11205  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226  ax-pre-sup 11227  ax-addf 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4906  df-int 4947  df-iun 4995  df-iin 4996  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-se 5630  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-isom 6555  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8167  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-oadd 8492  df-omul 8493  df-er 8726  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9399  df-fi 9447  df-sup 9478  df-inf 9479  df-oi 9546  df-card 9975  df-acn 9978  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488  df-div 11913  df-nn 12259  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12519  df-xnn0 12591  df-z 12605  df-dec 12724  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-xneg 13140  df-xadd 13141  df-xmul 13142  df-ioo 13376  df-ioc 13377  df-ico 13378  df-icc 13379  df-fz 13533  df-fzo 13676  df-fl 13806  df-mod 13884  df-seq 14016  df-exp 14076  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-dvds 16252  df-gcd 16490  df-numer 16732  df-denom 16733  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19058  df-cntz 19307  df-cmn 19776  df-psmet 21331  df-xmet 21332  df-met 21333  df-bl 21334  df-mopn 21335  df-fbas 21336  df-fg 21337  df-cnfld 21340  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22937  df-cld 23011  df-ntr 23012  df-cls 23013  df-nei 23090  df-lp 23128  df-perf 23129  df-cn 23219  df-cnp 23220  df-haus 23307  df-tx 23554  df-hmeo 23747  df-fil 23838  df-fm 23930  df-flim 23931  df-flf 23932  df-xms 24314  df-ms 24315  df-tms 24316  df-cncf 24886  df-limc 25883  df-dv 25884  df-log 26580  df-squarenn 42535  df-pell1qr 42536  df-pell14qr 42537  df-pell1234qr 42538  df-pellfund 42539  df-rmx 42596  df-rmy 42597

This theorem is referenced by:  jm2.19  42688  jm2.26lem3  42696