Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  rmyabs Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rmyabs 39679
Description: Yrm commutes with abs. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
rmyabs ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))

Proof of Theorem rmyabs
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 frmy 39635 . . . 4 Yrm :((ℤ‘2) × ℤ)⟶ℤ
21fovcl 7254 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℤ)
32zred 12064 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm 𝑎) ∈ ℝ)
4 simp1 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝐴 ∈ (ℤ‘2))
5 elnn0z 11971 . . . . . 6 (𝑎 ∈ ℕ0 ↔ (𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎))
65biimpri 230 . . . . 5 ((𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
763adant1 1126 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ ℕ0)
8 rmxypos 39668 . . . 4 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℕ0) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)))
94, 7, 8syl2anc 586 . . 3 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → (0 < (𝐴 Xrm 𝑎) ∧ 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎)))
109simprd 498 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑎 ∈ ℤ ∧ 0 ≤ 𝑎) → 0 ≤ (𝐴 Yrm 𝑎))
11 rmyneg 39649 . 2 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝑏 ∈ ℤ) → (𝐴 Yrm -𝑏) = -(𝐴 Yrm 𝑏))
12 oveq2 7139 . 2 (𝑎 = 𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝑏))
13 oveq2 7139 . 2 (𝑎 = -𝑏 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm -𝑏))
14 oveq2 7139 . 2 (𝑎 = 𝐵 → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm 𝐵))
15 oveq2 7139 . 2 (𝑎 = (abs‘𝐵) → (𝐴 Yrm 𝑎) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))
163, 10, 11, 12, 13, 14, 15oddcomabszz 39665 1 ((𝐴 ∈ (ℤ‘2) ∧ 𝐵 ∈ ℤ) → (abs‘(𝐴 Yrm 𝐵)) = (𝐴 Yrm (abs‘𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398  w3a 1083   = wceq 1537  wcel 2114   class class class wbr 5040  cfv 6329  (class class class)co 7131  0cc0 10513   < clt 10651  cle 10652  -cneg 10847  2c2 11669  0cn0 11874  cz 11958  cuz 12220  abscabs 14571   Xrm crmx 39621   Yrm crmy 39622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5240  ax-pr 5304  ax-un 7437  ax-inf2 9080  ax-cnex 10569  ax-resscn 10570  ax-1cn 10571  ax-icn 10572  ax-addcl 10573  ax-addrcl 10574  ax-mulcl 10575  ax-mulrcl 10576  ax-mulcom 10577  ax-addass 10578  ax-mulass 10579  ax-distr 10580  ax-i2m1 10581  ax-1ne0 10582  ax-1rid 10583  ax-rnegex 10584  ax-rrecex 10585  ax-cnre 10586  ax-pre-lttri 10587  ax-pre-lttrn 10588  ax-pre-ltadd 10589  ax-pre-mulgt0 10590  ax-pre-sup 10591  ax-addf 10592  ax-mulf 10593
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3915  df-un 3917  df-in 3919  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4268  df-if 4442  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4813  df-int 4851  df-iun 4895  df-iin 4896  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-se 5489  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6122  df-ord 6168  df-on 6169  df-lim 6170  df-suc 6171  df-iota 6288  df-fun 6331  df-fn 6332  df-f 6333  df-f1 6334  df-fo 6335  df-f1o 6336  df-fv 6337  df-isom 6338  df-riota 7089  df-ov 7134  df-oprab 7135  df-mpo 7136  df-of 7385  df-om 7557  df-1st 7665  df-2nd 7666  df-supp 7807  df-wrecs 7923  df-recs 7984  df-rdg 8022  df-1o 8078  df-2o 8079  df-oadd 8082  df-omul 8083  df-er 8265  df-map 8384  df-pm 8385  df-ixp 8438  df-en 8486  df-dom 8487  df-sdom 8488  df-fin 8489  df-fsupp 8810  df-fi 8851  df-sup 8882  df-inf 8883  df-oi 8950  df-card 9344  df-acn 9347  df-pnf 10653  df-mnf 10654  df-xr 10655  df-ltxr 10656  df-le 10657  df-sub 10848  df-neg 10849  df-div 11274  df-nn 11615  df-2 11677  df-3 11678  df-4 11679  df-5 11680  df-6 11681  df-7 11682  df-8 11683  df-9 11684  df-n0 11875  df-xnn0 11945  df-z 11959  df-dec 12076  df-uz 12221  df-q 12326  df-rp 12367  df-xneg 12484  df-xadd 12485  df-xmul 12486  df-ioo 12719  df-ioc 12720  df-ico 12721  df-icc 12722  df-fz 12875  df-fzo 13016  df-fl 13144  df-mod 13220  df-seq 13352  df-exp 13413  df-fac 13617  df-bc 13646  df-hash 13674  df-shft 14404  df-cj 14436  df-re 14437  df-im 14438  df-sqrt 14572  df-abs 14573  df-limsup 14806  df-clim 14823  df-rlim 14824  df-sum 15021  df-ef 15399  df-sin 15401  df-cos 15402  df-pi 15404  df-dvds 15586  df-gcd 15820  df-numer 16051  df-denom 16052  df-struct 16461  df-ndx 16462  df-slot 16463  df-base 16465  df-sets 16466  df-ress 16467  df-plusg 16554  df-mulr 16555  df-starv 16556  df-sca 16557  df-vsca 16558  df-ip 16559  df-tset 16560  df-ple 16561  df-ds 16563  df-unif 16564  df-hom 16565  df-cco 16566  df-rest 16672  df-topn 16673  df-0g 16691  df-gsum 16692  df-topgen 16693  df-pt 16694  df-prds 16697  df-xrs 16751  df-qtop 16756  df-imas 16757  df-xps 16759  df-mre 16833  df-mrc 16834  df-acs 16836  df-mgm 17828  df-sgrp 17877  df-mnd 17888  df-submnd 17933  df-mulg 18201  df-cntz 18423  df-cmn 18884  df-psmet 20510  df-xmet 20511  df-met 20512  df-bl 20513  df-mopn 20514  df-fbas 20515  df-fg 20516  df-cnfld 20519  df-top 21475  df-topon 21492  df-topsp 21514  df-bases 21527  df-cld 21600  df-ntr 21601  df-cls 21602  df-nei 21679  df-lp 21717  df-perf 21718  df-cn 21808  df-cnp 21809  df-haus 21896  df-tx 22143  df-hmeo 22336  df-fil 22427  df-fm 22519  df-flim 22520  df-flf 22521  df-xms 22903  df-ms 22904  df-tms 22905  df-cncf 23459  df-limc 24445  df-dv 24446  df-log 25124  df-squarenn 39562  df-pell1qr 39563  df-pell14qr 39564  df-pell1234qr 39565  df-pellfund 39566  df-rmx 39623  df-rmy 39624
This theorem is referenced by:  jm2.19  39714  jm2.26lem3  39722
  Copyright terms: Public domain W3C validator